謝文賢 許鵬飛 蔡力 李東平

(西北工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系,西安 710072)

(2012年11月26日收到;2012年12月12日收到修改稿)

1 引言

眾所周知,廣義朗之萬方程(generalized Langevin equation,GLE)是描述反常擴(kuò)散的主要途徑之一[1-5].大量研究表明,在冪函數(shù)型[6,7]、指數(shù)型[6,8]、雙指數(shù)型記憶核函數(shù)[9-11]中均觀察到不同類的反常擴(kuò)散現(xiàn)象.Wang等[3,12]建立了GLE所對(duì)應(yīng)的反常擴(kuò)散及其?？?普朗克(Fokker-Planck)方程與概率密度函數(shù)之間的關(guān)系.Porr`a等[6]針對(duì)GLE在耗散記憶核函數(shù)與噪聲相關(guān)函數(shù)變化的情況下,研究了粒子運(yùn)動(dòng)由平穩(wěn)狀態(tài)到超擴(kuò)散的演化趨勢(shì),隨著參數(shù)的變化呈現(xiàn)出了欠擴(kuò)散、正常擴(kuò)散等現(xiàn)象.Bao等[4,13,14]基于GLE針對(duì)簡(jiǎn)諧速度噪聲(harmonic-velocity noise)深入研究了反常擴(kuò)散下的動(dòng)力學(xué)等問題.Vi?nales等[7,15]則圍繞Mittag-Leffl er噪聲和長(zhǎng)時(shí)拖尾噪聲(long-time tail noise)研究了GLE帶有簡(jiǎn)諧振子的反常擴(kuò)散現(xiàn)象,大大深化了隨機(jī)環(huán)境對(duì)擴(kuò)散現(xiàn)象的影響.除反常擴(kuò)散一系列研究外,此領(lǐng)域還涉及GLE的數(shù)值模擬[11,16]、遍歷性[17]、隨機(jī)共振[18-20]等的研究.

上述研究結(jié)果多限于單自由度耗散系統(tǒng),而關(guān)于多自由度情形涉及較少.多自由度情形中不容忽視的問題就是不同噪聲源的互關(guān)聯(lián)性[21-28].以往諸多研究表明互關(guān)聯(lián)性對(duì)隨機(jī)共振[22-24]、平均首次穿越[26,27]等現(xiàn)象影響深刻.近來,Wang等[28]在互關(guān)聯(lián)噪聲激勵(lì)的兩自由度耦合系統(tǒng)(可用GLEs表示)中,細(xì)致分析了含有冪函數(shù)型的記憶核情形下的反常擴(kuò)散問題.而Roy等[29]和Kumar[30]應(yīng)用具有耦合阻尼項(xiàng)的兩自由度耗散系統(tǒng)來研究電子受垂直于相平面方向的均勻磁場(chǎng)作用下的軌道磁力矩的特性.但是此類系統(tǒng)的擴(kuò)散問題筆者目前尚未見報(bào)道.鑒于此,本文將其GLEs推廣至互關(guān)聯(lián)情形,研究具有雙指數(shù)記憶核函數(shù)和阻尼耦合的系統(tǒng)的響應(yīng)二階矩所呈現(xiàn)出的非馬爾可夫擴(kuò)散行為,并分析不同噪聲源間的互關(guān)聯(lián)性對(duì)其影響.具體的GLEs如下：

其中粒子質(zhì)量為m,阻尼耦合因子為B.內(nèi)噪聲ξi(t)滿足 〈ξi(t)〉=0,以及漲落耗散定理 〈ξi(t)ξj(t′)〉=kBTβij(|t-t′|)(i=x,y),kB為 Boltzmann 常數(shù),T 為環(huán)境的絕對(duì)溫度.

方程(1)也可視為一般機(jī)械振動(dòng)理論中具有耦合黏性阻尼B的運(yùn)動(dòng)方程的推廣.

2 熱寬帶噪聲激勵(lì)下的系統(tǒng)響應(yīng)矩

2.1 兩噪聲不存在互關(guān)聯(lián)的情形

首先考慮系統(tǒng)(1)的雙指數(shù)記憶核函數(shù)(i=x,y),其滿足

其中τ1和τ2為兩個(gè)相關(guān)時(shí)間,β0為摩擦系數(shù).此時(shí),兩噪聲不存在互關(guān)聯(lián)性,系統(tǒng)(1)退化為具有耦合阻尼項(xiàng)的GLEs.不失一般性,令m=1,引入新變量x˙(t)=v(t),y˙(t)=u(t),并運(yùn)用Laplace變換,易得系統(tǒng)(1)的位移x(t),y(t)和速度v(t),u(t)的表達(dá)式

其中,取初始位移x0=y0=0及初始速度v0=1.2,u0=0.8,而 βxx(t),hi(t),Hi(t)分別為對(duì)應(yīng)于 β?xx(s),h?i(s),H?i(s)的逆Laplace變換(i=1,2).這里

結(jié)合(2)—(5)式,并運(yùn)用Laplace變換可得系統(tǒng)響應(yīng)二階矩的表達(dá)式

其中αi為如下方程di(z)=0的根(i=1,2)：

由于系統(tǒng)(1)的對(duì)稱性,位移y(t)和速度u(t)的二階矩與(6)式結(jié)構(gòu)類似.

特別地,當(dāng)相關(guān)時(shí)間τ1→∞,則ξi(t)(i=x,y)退化為Ornstein-Uhlenbeck噪聲,文獻(xiàn)[6,8]對(duì)此類單自由度系統(tǒng)的反常擴(kuò)散的研究已有報(bào)道.進(jìn)一步,當(dāng)相關(guān)時(shí)間τ2→0,則ξi(t)(i=x,y)退化為高斯白噪聲,系統(tǒng)(1)的耗散記憶核函數(shù)失效,表現(xiàn)為馬爾可夫性;其位移二階矩是正常擴(kuò)散的.為了具體分析噪聲性質(zhì)和耗散性質(zhì)對(duì)擴(kuò)散現(xiàn)象的影響,以下討論中均選定參數(shù)值kBT=5.0,k=1.0.

圖1和圖2中給出位移二階矩〈x2(t)〉隨時(shí)間t的非馬爾可夫振蕩擴(kuò)散.熱寬帶噪聲僅在其相關(guān)時(shí)間τ2充分小時(shí)退化為“綠”噪聲[11].在“綠”噪聲范圍內(nèi),〈x2(t)〉隨著相關(guān)時(shí)間τ1的增大而遞增,但相關(guān)時(shí)間τ1增加到一定程度時(shí),〈x2(t)〉隨τ1的增加其變化減弱.圖1中τ1=10與τ1=15所對(duì)應(yīng)的〈x2(t)〉非常接近,這表明τ1增加到一定程度時(shí),“綠”噪聲逐漸退化成高斯白噪聲,即有此時(shí)，結(jié)合(4)—(6)式可得高斯白噪聲激勵(lì)下位移二階矩：

其中

當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)k=B=0時(shí),系統(tǒng)(1)退化為無簡(jiǎn)諧勢(shì)束縛的單自由度系統(tǒng),此時(shí),位移二階矩〈x2(t)〉在“綠”噪聲范圍內(nèi)將退化為彈道擴(kuò)散[9].圖2分析了(2)式中摩擦系數(shù)β0對(duì)位移二階矩〈x2(t)〉的影響.當(dāng)摩擦系數(shù) β0=0.01 時(shí),〈x2(t)〉呈現(xiàn)振蕩形式的擴(kuò)散,并且振蕩幅度隨著時(shí)間的演化逐漸增大.而隨著摩擦系數(shù)β0的不斷增大,系統(tǒng)阻尼使粒子運(yùn)動(dòng)減弱,〈x2(t)〉明顯趨于平穩(wěn)狀態(tài),即符合物理直觀.

圖 1 〈x2(t)〉作為t的函數(shù)隨τ1變化的曲線 (B=0.05,β0=0.01)

圖2 〈x2(t)〉作為t的函數(shù)隨 β0變化的曲線 (τ1=7,τ2=3,B=0.05)

2.2 兩噪聲互關(guān)聯(lián)的情形

若考慮兩噪聲色相關(guān)的情形：

其中D1和D2分別表示兩激勵(lì)噪聲的強(qiáng)度(D1=λ 為互關(guān)聯(lián)強(qiáng)度,τ3為互關(guān)聯(lián)時(shí)間.若τ3→0,則(7)式退化為白關(guān)聯(lián)情形

考慮到兩噪聲所滿足漲落耗散定理,可得系統(tǒng)(1)中記憶核函數(shù)

類似(4)和(5)式,導(dǎo)出βxy(t),gi(t),Gi(t)(i=1,2)的Laplace變換如下：

結(jié)合(4),(7),(9)—(11)式,可得系統(tǒng)(1)各響應(yīng)的二階矩.這里僅列出〈x2(t)〉的表達(dá)式：

其中αi為如下方程wi(z)=0的根(i=1,2)：

圖3描述了粒子沿著x軸方向的位移二階矩〈x2(t)〉隨耦合因子B的變化情況,在短時(shí)間內(nèi)影響不顯著,但長(zhǎng)時(shí)間后隨著B的增加而其擴(kuò)散加劇.在兩噪聲存在互關(guān)聯(lián)(λ=1)情形時(shí),圖3中虛線表明〈x2(t)〉仍呈現(xiàn)振蕩擴(kuò)散,且耦合因子B同樣將促進(jìn)〈x2(t)〉的擴(kuò)散.相較于無關(guān)聯(lián)(λ=0)情形(實(shí)線),互關(guān)聯(lián)情形的擴(kuò)散加劇.

圖3 兩噪聲有(無)互關(guān)聯(lián)情形下〈x2(t)〉作為t的函數(shù)隨B變化的曲線 (τ1=7,τ2=3,β0=0.05)

圖4 〈x2(t)〉作為t的函數(shù)隨B和λ變化的曲線(τ1=7,τ2=3,β0=0.05)

圖4 描述了系統(tǒng)(1)的位移二階矩〈x2(t)〉在阻尼耦合因子B=0時(shí)隨時(shí)間t的變化情況.當(dāng)兩噪聲無關(guān)聯(lián)(λ=0)時(shí),系統(tǒng)退化為僅受簡(jiǎn)諧勢(shì)場(chǎng)束縛的單自由度系統(tǒng),此時(shí),〈x2(t)〉在長(zhǎng)時(shí)間后趨于平穩(wěn)狀態(tài),即 〈x2(∞)〉=kBT/k.而在兩噪聲互關(guān)聯(lián)(λ=1,τ3=4.5)時(shí),系統(tǒng)(1)退化為僅受二維簡(jiǎn)諧勢(shì)場(chǎng)束縛的兩自由度系統(tǒng),互關(guān)聯(lián)性延長(zhǎng)了〈x2(t)〉的弛豫時(shí)間.

結(jié)合圖3和圖4,在兩噪聲有(無)關(guān)聯(lián)情形下,耦合因子B將使得粒子遠(yuǎn)離簡(jiǎn)諧勢(shì)場(chǎng)的束縛,而呈現(xiàn)普遍的振蕩擴(kuò)散.

圖5 〈x2(t)〉作為 τ3的函數(shù)隨 λ 變化的曲線(τ1=7,τ2=3,B=0.05,β0=0.3,t=30)

圖6 〈x(t)y(t)〉作為t的函數(shù)隨τ3和λ變化的曲線(τ1=10,τ2=0.01,B=0.02,β0=0.3)

圖5 描述了位移二階矩〈x2(t)〉(12)式作為互關(guān)聯(lián)時(shí)間τ3的函數(shù),隨著兩噪聲間的互關(guān)聯(lián)強(qiáng)度λ變化情況.〈x2(t)〉隨著τ3的增加而單調(diào)遞減,突顯了色關(guān)聯(lián)性(7)式演化為白關(guān)聯(lián)性(8)式時(shí),〈x2(t)〉的擴(kuò)散得到顯著加劇.〈x2(t)〉隨著互關(guān)聯(lián)強(qiáng)度λ的增加而增大,即兩個(gè)色噪聲之間的互關(guān)聯(lián)性越強(qiáng),位移二階矩?cái)U(kuò)散就越強(qiáng).圖6表明,色關(guān)聯(lián)性(7)式延緩〈x(t)y(t)〉趨于平穩(wěn)狀態(tài)的趨勢(shì),τ3越小其負(fù)相關(guān)性越強(qiáng),弛豫時(shí)間越長(zhǎng).

3 結(jié)論

本文導(dǎo)出了(互關(guān)聯(lián))熱寬帶噪聲激勵(lì)的具有耦合阻尼項(xiàng)的系統(tǒng)(1)響應(yīng)二階矩的解析表達(dá)式,并討論了〈x2(t)〉和〈x(t)y(t)〉隨各系統(tǒng)參數(shù)的變化情況.粒子在簡(jiǎn)諧勢(shì)場(chǎng)中受阻尼耦合因子B的作用,位移二階矩〈x2(t)〉出現(xiàn)了普遍振蕩式的非馬爾可夫擴(kuò)散,其在一定范圍內(nèi)隨噪聲相關(guān)時(shí)間τ1和耦合因子B的增大而擴(kuò)散加劇,耗散記憶核函數(shù)的摩擦系數(shù)不斷增大將使〈x2(t)〉呈現(xiàn)平穩(wěn)狀態(tài).而兩熱寬帶噪聲之間的互關(guān)聯(lián)性對(duì)響應(yīng)二階矩起著十分顯著的影響：互關(guān)聯(lián)強(qiáng)度對(duì)〈x2(t)〉的非馬爾可夫擴(kuò)散呈現(xiàn)促進(jìn)作用,并加強(qiáng)了兩位移間的互相關(guān)性;相反,較大的互關(guān)聯(lián)時(shí)間卻抑制〈x2(t)〉擴(kuò)散和位移間相關(guān)性的加強(qiáng).上述二階矩特性將有助于系統(tǒng)(1)的隨機(jī)共振及遍歷性的討論.

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