李 杰，趙紅東，蘇 周

（河北工業(yè)大學(xué) 天津 300401）

信號采樣問題是信號處理中的一個(gè)基本問題[2]，利用計(jì)算機(jī)來處理連續(xù)時(shí)間信號，首要的問題就是要將時(shí)間和幅度都連續(xù)的模擬信號轉(zhuǎn)換成離散信號，得到數(shù)字信號。模擬信號要數(shù)字化，就是對其進(jìn)行離散化處理。采樣就是實(shí)現(xiàn)將連續(xù)的模擬信號在時(shí)間上離散化的過程。從采樣時(shí)間的間隔不同的角度上可以將采樣分成兩種——均勻采樣和非均勻采樣[3]。非均勻采樣是相對于均勻采樣提出的一種采樣方法，非均勻采樣有時(shí)也會(huì)被稱為隨機(jī)采樣。理想均勻采樣的采樣時(shí)間間隔完全相等，而非均勻采樣的采樣時(shí)間間隔是不確定的[4]?，F(xiàn)實(shí)中經(jīng)過采樣得到的真實(shí)數(shù)據(jù)，采樣時(shí)間間隔往往是非均勻的[5]。

1 非均勻離散傅里葉變換

假設(shè) x（t）是有限帶通信號，x（n）和 x（tn）其中（n=1，2，3，…，N）分別表示均勻采樣和非均勻采樣信號，Xs（f）為連續(xù)信號 x（t）的傅里葉變換結(jié)果，T為采樣的時(shí)間間隔，N為總的采樣點(diǎn)數(shù)，NT為總的采樣時(shí)間，連續(xù)時(shí)間的傅里葉變換為：

均勻采樣信號的離散傅里葉變換就是將式（1）的積分換成求和累加的形式，由于均勻采樣情況下采樣時(shí)間間隔相等[7]，也就是每個(gè)采樣時(shí)間段的寬度都相同，均勻采樣信號的離散傅里葉的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

類似的可以得到非均勻采樣的離散傅里葉變換的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

非均勻采樣信號的傅里葉變換和均勻采樣信號的傅里葉變換的主要區(qū)別在于積分時(shí)間上的不同[8]。

2 非均勻采樣的頻譜分析

文中將利用Matlab對式（3）進(jìn)行驗(yàn)證，并對非均勻采樣信號的數(shù)字頻譜進(jìn)行分析研究。設(shè)置一個(gè)簡單的非均勻時(shí)間函數(shù)，將采樣時(shí)間設(shè)置成非線性的關(guān)系，設(shè)置采樣點(diǎn)總數(shù)N=1 024，設(shè)置采樣時(shí)間函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

從式 （4）可以知道到采樣點(diǎn)數(shù)和采樣時(shí)間是三折線關(guān)系，t1時(shí)間段對應(yīng)的采樣頻率為512 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為256；t2時(shí)間段對應(yīng)的采樣頻率為1 024 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為256；t3時(shí)間段對應(yīng)的采樣頻率為512 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為512。

為了能夠直觀的觀察非線性采樣時(shí)間對信號頻譜的檢測結(jié)果，以連續(xù)的簡單單正弦信號作為研究對象。簡單正弦信號設(shè)置如下：

式中取f0=150 Hz。分別對正弦信號進(jìn)行均勻采樣和非均勻采樣，非均勻采樣按照式定義的非線性時(shí)間函數(shù)對正弦信號采樣，并進(jìn)行非均勻采樣的頻譜分析。頻譜分析結(jié)果分別如圖 1，圖2所示。

其中均勻采樣信號的頻譜如圖1所示?？梢杂^察到圖中有2個(gè)頻譜成分，分別是150 Hz和 874 Hz。這2個(gè)頻譜成分的相對幅值十分接近。其中，150 Hz為真實(shí)信號的頻譜，874 Hz為混疊信號的頻譜。

觀察圖 2非均勻采樣信號頻譜圖中4個(gè)信號的頻譜，分別是 150 Hz、362 Hz、662 Hz和 874 Hz。 其中 150 Hz為真實(shí)信號的頻譜，幅值為1 V。由于t1時(shí)間段對應(yīng)的采樣頻率為512 Hz，根據(jù)香農(nóng)采樣定理可知，512 Hz的采樣頻率產(chǎn)生的1 000 Hz以下的混疊信號分別為 512-150=362 Hz；512+150=662 Hz；2×512-150=874 Hz，由于其他的混疊信號均超過了1 000 Hz，所以圖中并未顯示，由此可見該采樣頻率產(chǎn)生的混疊信號分別為 372 Hz、652 Hz和884 Hz。另外，由于t1采樣時(shí)間段的采樣點(diǎn)數(shù)為256點(diǎn)，所以它們的頻譜幅值均為0.25 V。類似的t2還有時(shí)間段對應(yīng)的采樣頻率為1 024 Hz，該采樣頻率產(chǎn)生的混疊信號圖中只能顯示出一個(gè)，即1 024-140=884 Hz，由于該混疊信號和t1采樣頻率的884 Hz混疊信號重合，且t2采樣時(shí)間段的采樣點(diǎn)數(shù)為256點(diǎn)，混疊信號頻譜幅值也為0.25 V，所以t1和t2采樣時(shí)間的雙重作用下，使得884 Hz處的頻譜幅值達(dá)到0.5 V。此外，由于t3采樣時(shí)間段產(chǎn)生的混疊信號頻率均超過1 000 Hz，所以圖中沒有顯示。

從圖 1和圖2之間的對比可以觀察到，如果使用均勻采樣結(jié)果會(huì)出現(xiàn)混疊信號與真實(shí)信號的頻譜幅值非常接近，以至于無法準(zhǔn)確的分辨出真實(shí)信號的頻譜，所以香農(nóng)采樣定理要求采樣頻率至少為信號頻率的兩倍以上[9]。由于本例中均勻采樣使用的采樣頻率為1 024 Hz，根據(jù)香農(nóng)采樣定理的要求可知此采樣頻率理論上只能夠檢測到512 Hz以下的信號[10]，所以圖2.5中874 Hz的信號將會(huì)被排除（圖中874 Hz信號是由于采樣周期性延拓的結(jié)果，以下為了說明的方便會(huì)將統(tǒng)稱為混疊信號）。所以均勻采樣可以使用香農(nóng)采樣定理來排除混疊的頻譜，從而檢測得到真實(shí)的信號頻譜[11]。如果使用非線性采樣，由圖2可以觀察到，頻譜圖中真實(shí)信號頻譜的相對幅值大于混疊信號的相對幅值，所以非線性采樣可以方便的直接依據(jù)頻譜的相對幅值來檢測出真實(shí)信號。

圖1 均勻采樣頻譜結(jié)果Fig.1 Uniform sampling frequency spectrum

圖2 三折線非均勻采樣頻譜Fig.2 Non-uniform sampling frequency spectrum of Three line

從以上分析可以看出，當(dāng)采樣時(shí)間的非線性程度越大，混疊頻譜的幅值會(huì)不斷的降低。可以推想如果將采樣時(shí)間設(shè)置為完全隨機(jī)，那么混疊頻譜的幅值將可能會(huì)下降到更低[12]。現(xiàn)定義采樣時(shí)間函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

式中rand定義為均勻分布在（0，1）之間的隨機(jī)數(shù)，由于隨機(jī)數(shù)的引入，可以認(rèn)為采樣時(shí)間間隔完全隨機(jī)，同樣取N=1 024，對式簡單正弦信號再次采樣得到如下的頻譜圖3。

圖3 非均勻采樣頻譜Fig.3 Non-uniform sampling frequency spectrum

3 結(jié) 論

由于真實(shí)信號不會(huì)隨采樣頻率的不同而變換[13]，在所有的采樣點(diǎn)中，所以都會(huì)含有真實(shí)信號的信息；而對于混疊信號，由于每個(gè)采樣頻率下的混疊信號都不相同，所以出現(xiàn)混疊頻譜已經(jīng)降低到不足真實(shí)頻譜幅值的1/10，不再會(huì)影響到對真實(shí)頻譜的檢測。

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