陳 勇

(西南電子技術(shù)研究所， 四川 成都 610036)

機(jī)械因素對(duì)齒輪傳動(dòng)軸系扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的影響分析

陳 勇

(西南電子技術(shù)研究所， 四川 成都 610036)

齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)是雷達(dá)伺服傳動(dòng)系統(tǒng)的常用形式，其扭轉(zhuǎn)振動(dòng)對(duì)雷達(dá)伺服機(jī)構(gòu)的響應(yīng)速度和穩(wěn)定性有重要影響。以某雷達(dá)第一級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)為研究對(duì)象，基于工程軟件ANSYS/LS-DYNA，應(yīng)用顯示中心差分法分析了支撐位置、軸徑尺寸、軸上質(zhì)量分布等機(jī)械參數(shù)對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)扭振響應(yīng)的影響，通過(guò)對(duì)比分析，得出這些機(jī)械因素對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)扭振響應(yīng)特性影響的定性結(jié)論，為進(jìn)一步分析雷達(dá)伺服系統(tǒng)提供指導(dǎo)。

齒輪傳動(dòng)；扭振；中心差分法；機(jī)械因素；LS-DYNA

引 言

伺服傳動(dòng)機(jī)構(gòu)是雷達(dá)系統(tǒng)的重要組成部分，齒輪傳動(dòng)是伺服傳動(dòng)系統(tǒng)中最常用的形式。齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)作為復(fù)雜的多體非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，扭轉(zhuǎn)振動(dòng)是其主要振動(dòng)形式[1]，也是影響雷達(dá)伺服機(jī)構(gòu)響應(yīng)速度和穩(wěn)定性的重要因素。而特定的齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)都有一個(gè)固有扭振頻率，它與齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、剛度、阻尼等機(jī)械參數(shù)有密切的關(guān)系。隨著雷達(dá)系統(tǒng)對(duì)目標(biāo)跟蹤速度、定位精度的要求越來(lái)越高，對(duì)伺服傳動(dòng)系統(tǒng)的精度、響應(yīng)速度和穩(wěn)定性的要求也越來(lái)越高。因而，機(jī)械參數(shù)對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的影響研究對(duì)提高雷達(dá)伺服傳動(dòng)系統(tǒng)的性能具有重要的意義。

目前軸系扭振的計(jì)算方法主要包括Holzer法、傳遞矩陣法和有限元法[2]。本文以LS-DYNA為計(jì)算平臺(tái)，應(yīng)用顯示中心差分法分析了轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、支撐位置、質(zhì)量分布等對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)固有扭振頻率和幅值的影響。

1 齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析

1.1 扭轉(zhuǎn)振動(dòng)計(jì)算方法

在國(guó)內(nèi)外對(duì)傳動(dòng)系統(tǒng)扭振的分析過(guò)程中，傳統(tǒng)的理論計(jì)算分析將傳動(dòng)系統(tǒng)簡(jiǎn)化為多自由度的慣性-彈簧系統(tǒng)，通過(guò)測(cè)試系統(tǒng)各零部件的慣性參數(shù)和剛度參數(shù)，計(jì)算扭振的固有特性。其中軸系扭振的建模方法發(fā)展出了分布質(zhì)量模型和集中質(zhì)量模型，計(jì)算方法發(fā)展出了Holzer法、傳遞矩陣法和系統(tǒng)矩陣法等多種分析方法[1-3]。這些方法對(duì)齒輪傳動(dòng)進(jìn)行簡(jiǎn)化處理，并不能很好地反映扭振過(guò)程中齒輪嚙合傳動(dòng)的影響。

1.2 中心差分法

在動(dòng)力學(xué)有限元分析中，系統(tǒng)的控制方程可描述為[4-6]

(1)

(2)

(3)

將式(2)、(3)代入式(1)可得求解各離散時(shí)間點(diǎn)的遞推公式：

(4)

可用式(4)求解各離散時(shí)間點(diǎn)的位移值，但由于中心差分法是條件穩(wěn)定算法，即用它求解具體問(wèn)題時(shí)，時(shí)間步長(zhǎng)Δt必須小于該問(wèn)題求解方程性質(zhì)所決定的某個(gè)臨界值Δtcr，否則算法將不穩(wěn)定。算法的穩(wěn)定性條件：

(5)

式中：Tn為有限元系統(tǒng)的最小固有振動(dòng)周期。在實(shí)際應(yīng)用中，Δtcr可由下式進(jìn)行估計(jì)：

(6)

式中：lmin為最小單元長(zhǎng)度；ρ為材料密度；υ為材料泊松比；E為材料彈性模量。

在軸系的扭振計(jì)算中，必然涉及到齒輪的時(shí)變嚙合剛度、齒側(cè)間隙、軸承滾珠與內(nèi)外圈的接觸剛度等強(qiáng)非線性特性。如果采用經(jīng)典的扭振理論計(jì)算公式或隱式計(jì)算方法來(lái)求解軸系的扭振問(wèn)題，將對(duì)軸系模型進(jìn)行大量簡(jiǎn)化，會(huì)忽略許多與扭振頻率相關(guān)的因素，必然導(dǎo)致求解精度下降。本文采用顯示中心差分法，主要是考慮到該方法在求解非線性問(wèn)題上的優(yōu)勢(shì)。因?yàn)樵诜蔷€性分析中，每一個(gè)增量步的剛度矩陣都會(huì)被修改，這時(shí)采用顯示算法，避免了矩陣求逆運(yùn)算，計(jì)算上的好處更加明顯。另外，采用中心差分法可以通過(guò)控制其時(shí)間步長(zhǎng)來(lái)達(dá)到計(jì)算時(shí)間與計(jì)算精度的平衡，以最少的計(jì)算時(shí)間來(lái)滿足求解精度的需要。

2 彎振的消除

在通常情況下，軸系旋轉(zhuǎn)時(shí)，扭振與彎振同時(shí)存在。設(shè)軸旋轉(zhuǎn)角速度為ω(規(guī)定逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎较?，扭振角速度為ωr，彎振速度為V，其速度分量為Vy，該分量將產(chǎn)生附加角位移：

(7)

式中：R為轉(zhuǎn)子半徑。對(duì)于高精度扭振分析來(lái)說(shuō)，必須消除彎振對(duì)扭振分析的影響。

在笛卡爾坐標(biāo)系下獲得的位移信息中，只要選取同一軸截面直徑上兩端的節(jié)點(diǎn)，排除其平動(dòng)特性，即可消除彎振信息。圖1所示為消除彎振影響原理圖，在軸截面上取直徑上的兩個(gè)點(diǎn)，確定這兩個(gè)點(diǎn)X方向和Y方向的相對(duì)距離uX、uY，基本上可以消除彎振的影響。

圖1 消除彎振影響的原理圖

由于LS-DYNA中的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)輸出結(jié)果是在笛卡爾坐標(biāo)系下的節(jié)點(diǎn)位移結(jié)果，不能直接反映出結(jié)構(gòu)的扭振特性。因此，需要把笛卡爾坐標(biāo)系下的位移結(jié)果轉(zhuǎn)換為柱坐標(biāo)系下的時(shí)間與扭轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系曲線，才能獲得伺服轉(zhuǎn)臺(tái)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的扭振特性。

3 機(jī)械參數(shù)影響分析

影響伺服轉(zhuǎn)臺(tái)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)扭振響應(yīng)的主要因素有干擾力矩和軸系的動(dòng)態(tài)特性。兩者的共同作用決定了軸系扭振響應(yīng)的特性。

對(duì)于伺服轉(zhuǎn)臺(tái)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)，軸系的動(dòng)態(tài)特性主要針對(duì)特定的干擾力矩而言，軸系在整個(gè)工作轉(zhuǎn)速內(nèi)的扭振響應(yīng)越小越好。影響伺服轉(zhuǎn)臺(tái)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)扭振響應(yīng)的主要因素在于軸系動(dòng)態(tài)特性3個(gè)方面的性質(zhì)：1)工作轉(zhuǎn)速內(nèi)的共振頻率，它是系統(tǒng)產(chǎn)生共振的關(guān)鍵；2)系統(tǒng)的振型，即幅值和相位的關(guān)系，它決定了系統(tǒng)扭振響應(yīng)的強(qiáng)弱；3)阻尼對(duì)扭振的抑制作用，適當(dāng)?shù)淖枘峥梢韵母蓴_力矩的輸入能量，削弱共振響應(yīng)的峰值。

下文以一級(jí)齒輪傳動(dòng)為例，分析支撐位置、質(zhì)量分布、軸徑尺寸、軸的材料密度等機(jī)械參數(shù)對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)扭振特性的影響。

3.1 一級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的仿真分析模型

圖2所示為某雷達(dá)伺服轉(zhuǎn)臺(tái)第一級(jí)直齒齒輪傳動(dòng)模型。該級(jí)齒輪傳動(dòng)由額定轉(zhuǎn)速為955 rpm的伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)。齒輪模數(shù)為0.8，齒數(shù)分別為26和67。齒輪及軸的材料為40Cr，彈性模量為211GPa，泊松比為0.28。由于LS-DYNA分析中施加轉(zhuǎn)速為固定邊界條件，不是初始條件，因此，在施加轉(zhuǎn)速時(shí)應(yīng)由零逐漸增加至額定轉(zhuǎn)速值，這樣能夠避免因突然施加轉(zhuǎn)速而造成系統(tǒng)分析結(jié)果不穩(wěn)定的問(wèn)題。現(xiàn)以斜坡曲線加速到額定轉(zhuǎn)速955 rpm，施加的速度曲線如圖3所示。對(duì)齒輪與齒輪、軸承與軸系之間的接觸算法采用自動(dòng)面對(duì)面滑移接觸算法，采用了質(zhì)量縮放因子以兼顧時(shí)間與精度的平衡。

圖2 齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)原始結(jié)構(gòu)有限元模型

圖3 電機(jī)轉(zhuǎn)速施加曲線

由LS-DYNA瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析軟件計(jì)算俯仰傳動(dòng)系統(tǒng)在955 rpm轉(zhuǎn)速下、0.4 s內(nèi)的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)特性，根據(jù)計(jì)算結(jié)果，經(jīng)過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換得到該模型的扭振時(shí)域曲線，如圖4所示。

圖4 原始結(jié)構(gòu)的扭振時(shí)域曲線

再通過(guò)FFT(快速傅里葉變換)得到該模型的扭振頻域曲線，如圖5所示。

圖5 原始結(jié)構(gòu)的扭振頻域曲線

3.2 改變支撐位置的仿真

僅將大齒輪軸的支撐位置向內(nèi)平移7 mm，得到的有限元模型如圖6所示。

圖6 改變支撐位置的有限元模型

在其他條件與3.1節(jié)相同的情況下應(yīng)用LS-DYNA計(jì)算0.4 s內(nèi)的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)特性，根據(jù)計(jì)算結(jié)果，經(jīng)過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換得到該模型的扭振時(shí)域曲線，如圖7所示。

圖7 改變支撐位置的扭振時(shí)域曲線

再通過(guò)FFT得到該條件下的扭振頻域曲線，如圖8所示。

圖8 改變支撐位置的扭振頻域曲線

對(duì)比圖8和圖5可知，支撐位置的改變不能改變系統(tǒng)的扭振頻率，但可以影響扭振的幅值。

3.3 改變軸上質(zhì)量分布的仿真

在大齒輪軸齒輪外側(cè)增加一圓盤(pán)質(zhì)量塊，得到的有限元模型如圖9所示。

圖9 改變軸上質(zhì)量分布的有限元模型

在其他條件與3.1節(jié)相同的情況下應(yīng)用LS-DYNA計(jì)算0.4 s內(nèi)的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)特性，根據(jù)計(jì)算結(jié)果，經(jīng)過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換得到該模型的扭振時(shí)域曲線，如圖10所示。

圖10 改變軸上質(zhì)量分布的扭振時(shí)域曲線

再通過(guò)FFT得到該模型的扭振頻域曲線，如圖11所示。

圖11 改變軸上質(zhì)量分布的扭振頻域曲線

對(duì)比圖11和圖5可知，在嚙合區(qū)域以外的部位，改變軸上質(zhì)量分布不能改變系統(tǒng)的扭振頻率，對(duì)扭振幅值略有影響。

3.4 增大軸徑的仿真

大齒輪軸直徑增大10 mm，得到的模型如圖12所示。

圖12 增大軸徑的有限元模型

在其他條件與3.1節(jié)相同的情況下應(yīng)用LS-DYNA計(jì)算0.4 s內(nèi)的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)特性，根據(jù)計(jì)算結(jié)果，經(jīng)過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換得到該模型的扭振時(shí)域曲線，如圖13所示。

圖13 增大軸徑的扭振時(shí)域曲線

再通過(guò)FFT得到該結(jié)構(gòu)第一根軸的扭振頻域曲線，如圖14所示。

圖14 增大軸徑的扭振頻域曲線

對(duì)比圖14和圖5可知，增大軸徑不能改變系統(tǒng)的扭振頻率，但可以較大地降低扭振的幅值。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文以某雷達(dá)伺服傳動(dòng)系統(tǒng)的第一級(jí)齒輪傳動(dòng)為例，通過(guò)改變支撐位置、軸上質(zhì)量分布以及軸徑等機(jī)械因素，分析了這些因素對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)扭振響應(yīng)特性的影響，可以得出如下結(jié)論：

1)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的扭振頻率對(duì)支撐位置、軸上質(zhì)量分布和軸徑的變化等結(jié)構(gòu)因素不敏感。

2)改變支撐位置和增大軸徑能有效降低扭振幅值，控制扭振響應(yīng)。

通過(guò)定性分析支撐位置、軸徑尺寸、軸上質(zhì)量分布等機(jī)械因素對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)扭振響應(yīng)特性的影響，可以為改善雷達(dá)伺服傳動(dòng)系統(tǒng)扭振響應(yīng)提供有益參考。

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陳 勇(1977-)，男，碩士研究生，工程師，主要從事雷達(dá)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)工作。

Analysis on the Effects of Mechanical Factors on Torsional VibrationBehavior of Gear Transmission

CHEN Yong

(Southwest China Institute of Electronic Technology， Chengdu 610036, China)

Gear transmission is a common method for radar servo driving system, its torsional vibration can directly influence the response speed and the stability of radar servo system. Aiming at the first level gear transmission system of a radar, based on the software of ANSYS/LS-DYNA, the effects of some mechanical factors such as supporting position, shaft diameter and mass distribution of shaft on the torsional vibration response are studied by the center difference method. Some qualitative conclusions are presented by comparison analysis. The research results will guide further study of radar servo system.

gear transmission; torsional vibration; center difference method; mechanical factors; LS-DYNA

2013-07-22

軍工制造業(yè)數(shù)字化技術(shù)重大項(xiàng)目(A1120131044)

TH132.41；TH113.1

A

1008-5300(2013)06-0036-04