崔 翔

(華北電力大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院，北京 102206)

“電磁場”課程是高等學(xué)校電氣工程及其自動(dòng)化等本科專業(yè)學(xué)生必修的一門重要基礎(chǔ)課程。電磁場仿真軟件包已經(jīng)成為學(xué)生畢業(yè)后解決工程電磁場問題的主要工具。因此，在“電磁場”課程的教學(xué)過程中，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)工程電磁場問題的數(shù)學(xué)抽象及其邊值問題的正確描述的能力，已經(jīng)成為很多教師的共識(shí)［1］?，F(xiàn)在，隨著筆記本電腦在學(xué)生中的廣泛普及，越來越多的教師開始嘗試鼓勵(lì)學(xué)生應(yīng)用電磁場仿真軟件包分析典型的工程電磁場問題，以提高學(xué)生學(xué)習(xí)“電磁場”課程的興趣，加深對(duì)基本概念和基本理論的理解。

筆者在“電磁場”課程討論課上使用過一個(gè)靜電場邊值問題的教學(xué)案例，課堂討論表明，通過這個(gè)教學(xué)案例，可以全面地訓(xùn)練學(xué)生對(duì)靜電場邊值問題的數(shù)學(xué)抽象及其正確描述的能力。

1 教學(xué)案例

圖1為一個(gè)三相電力匯流排的截面示意圖［2］，場域Ω的結(jié)構(gòu)對(duì)于圖中的虛線Ss對(duì)稱。設(shè)其在縱向方向無限長，匯流排內(nèi)介質(zhì)為空氣且無空間電荷，匯流排外框S0接地，三個(gè)矩形截面導(dǎo)體與工頻三相對(duì)稱電壓源聯(lián)接，其相電壓分別為

圖1 三相電力匯流排的截面圖

試分別討論如下五種情況下對(duì)應(yīng)的靜電場邊值問題，并要求計(jì)算代價(jià)盡可能低(如在相同計(jì)算精度下計(jì)算規(guī)模盡量小等):①ωt+π/2;②ωt=π;③ωt任意;④導(dǎo)體Sa電位懸浮且其上單位長總電荷為0;⑤導(dǎo)體Sa電位懸浮且其上單位長總電荷為Q0。

顯然，圖1是一個(gè)電準(zhǔn)靜態(tài)場問題，即導(dǎo)體施加電壓源后其上電荷產(chǎn)生的庫侖電場遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于磁場變化產(chǎn)生的感生電場。所以，電位函數(shù)在場域中滿足的邊值問題與靜電場邊值問題相似。對(duì)于案例前三個(gè)問題，電位函數(shù)在任意時(shí)刻t滿足的邊值問題為

如果不考慮計(jì)算代價(jià)盡可能低的要求，案例前三個(gè)問題并無本質(zhì)區(qū)別。然而，我們不妨向?qū)W生提問，能否利用圖1所示場域Ω結(jié)構(gòu)上的對(duì)稱性來降低上文②的計(jì)算代價(jià)?并為此展開討論。

2 電位給定導(dǎo)體問題

［討論1］:在 t=π/2ω 時(shí)刻，即 ωt=π/2相位時(shí)，ua=0，ub=-uc=0.866Um，如圖 2(a)所示。此時(shí)，電位函數(shù)關(guān)于虛線Ss呈奇對(duì)稱分布，即在圖2(a)Ω域中任意一點(diǎn)的電位與虛線Ss對(duì)稱點(diǎn)的電位大小相等，極性相反。如圖上兩個(gè)對(duì)稱方框所示，而虛線Ss上的電位為0。因此，只要分析虛線Ss左側(cè)或右側(cè)一半場域Ω0.5的靜電場邊值問題就可以了，另一半場域內(nèi)的電位函數(shù)可以直接通過奇對(duì)稱性質(zhì)獲得。至此，圖2(a)全場域就可以簡化為圖2(b)半場域的靜電場邊值問題，并取虛線Ss為第一類邊界且電位為0。式(2)可以改寫為

圖2(c)給出了通過半場域計(jì)算后獲得的全場域的電位分布圖。顯然，圖2(b)半場域的靜電場邊值問題的計(jì)算代價(jià)要比圖2(a)全場域的計(jì)算代價(jià)低得多。

圖2 ωt=π/2時(shí)三相電力匯流排的電位分布

［討論2］:在t=π/ω時(shí)刻，即為ωt=π相位時(shí)，ua=-Um，ub=uc=0.5Um，如圖 3(a)所示。此時(shí)，電位函數(shù)關(guān)于圖3(a)虛線Ss呈偶對(duì)稱分布，即在圖上Ω域內(nèi)任意一點(diǎn)的電位與虛線Ss對(duì)稱點(diǎn)的電位大小相等、極性相同，如圖3(a)兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)方框所示，而在虛線Ss上電位函數(shù)的法向偏導(dǎo)數(shù)為0。因此，只要分析虛線Ss左側(cè)或右側(cè)一半場域Ω0.5的靜電場邊值問題就可以了，另一半場域內(nèi)的電位函數(shù)可以直接通過偶對(duì)稱性質(zhì)獲得。

圖3 ωt=π時(shí)三相電力匯流排的電位分布

至此，圖3(a)全場域就可以簡化為圖3(b)半場域，并取虛線Ss為第二類邊界且電位函數(shù)的法向偏導(dǎo)數(shù)為0。式(2)可以改寫為

圖3(c)給出了通過半場域計(jì)算后獲得的全場域的電位分布圖。顯然，圖3(b)半場域的靜電場邊值問題的計(jì)算代價(jià)要比圖3(c)全場域的計(jì)算代價(jià)低得多。

［討論3］:對(duì)于任意時(shí)刻t，即任意相位ωt時(shí)，全場域的電位分布關(guān)于虛線Ss既非奇對(duì)稱分布也非偶對(duì)稱分布。不妨繼續(xù)向?qū)W生提問，能否仍然利用場域Ω結(jié)構(gòu)上的對(duì)稱性來降低靜電場邊值問題的計(jì)算代價(jià)?答案是肯定的，即利用疊加定理將全場域的電位函數(shù)分解為關(guān)于虛線Ss奇對(duì)稱分布場和偶對(duì)稱分布場的疊加。分解過程為如下三步。

(1)將圖1電位函數(shù)分解為圖4(a)和圖4(b)所示關(guān)于虛線Ss奇對(duì)稱分布場和偶對(duì)稱分布場，且A、B和C三相導(dǎo)體的電位分別滿足

由上式，得

圖4 全場域電位分布的分解

(2)基于［討論1］和［討論2］，圖4(a)和圖4(b)可以分別歸結(jié)為圖5(a)和圖5(b)對(duì)應(yīng)半場域的靜電場邊值問題，求解電位函數(shù)φ1和φ2的邊值問題分別為

(3)為了求解式(7)和式(8)，由疊加定理得到圖1左、右半場域的電位分布分別為

圖5(c)給出了ωt=π/3時(shí)，通過求解上述兩個(gè)半場域靜電場邊值問題獲得的圖1全場域的電位分布圖。

圖5 半場域的電位分布

3 電位懸浮導(dǎo)體問題

通過討論上述三個(gè)問題，學(xué)生對(duì)靜電場邊值問題的數(shù)學(xué)抽象及其正確描述有了較深入的理解。為了進(jìn)一步鞏固和加深學(xué)生的理解，不妨繼續(xù)討論電位懸浮導(dǎo)體問題，如當(dāng)圖1導(dǎo)體Sa電位懸浮且其上單位長總電荷為Q0時(shí)的靜電場邊值問題。如圖6所示，導(dǎo)體Sa上的電位不再是已知值而是未知值，設(shè)為φa。此時(shí)，靜電場邊值問題可以寫為［3］

式中，在導(dǎo)體Sa邊界積分式中電位函數(shù)的法向偏導(dǎo)數(shù)為場域外法線方向。

圖6 含電位懸浮導(dǎo)體的場域

基于有限元方法，既可以采用電荷守恒法或最小能量法等直接方法求解式(11)，也可以采用虛擬介質(zhì)法(僅適用于Q0=0的情況)或部分電容法等間接方法求解式(11)［3］。然而，對(duì)于一般商業(yè)電磁場仿真軟件包而言，通常不具備直接求解式(11)的功能。因此，需要與學(xué)生討論的問題是，如何應(yīng)用商業(yè)電磁場仿真軟件包求解式(11)?下面，對(duì)虛擬介質(zhì)法和部分電容法進(jìn)行討論。

［討論4］:虛擬介質(zhì)法僅適用于電位懸浮導(dǎo)體上的總電荷Q0=0的情況。具體方法是:先用相對(duì)介電常數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于1(如εr≥1000)的虛擬電介質(zhì)替代圖6中的電位懸浮導(dǎo)體Sa，如圖7所示的陰影區(qū)域Ωa;再求解靜電場邊值問題。

圖7 虛擬介質(zhì)法的示意圖

在替代電位懸浮導(dǎo)體的虛擬電介質(zhì)中，由電介質(zhì)的極化性質(zhì)可知:①其內(nèi)部任意一點(diǎn)的極化電荷密度為零，雖然其邊界上存在不同極性的極化面電荷但總量為零，所以虛擬電介質(zhì)上的總電荷為0;②其內(nèi)部任意一點(diǎn)的電位移矢量為有限矢量，由于虛擬電介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于1，導(dǎo)致其內(nèi)部任意一點(diǎn)的電場強(qiáng)度趨于零，使其內(nèi)部任意兩點(diǎn)的電位差也趨于零，所以虛擬電介質(zhì)可以近似為電位等位體;③由其邊界上電場線的折射定律可知，空氣側(cè)的電場線幾乎垂直于虛擬電介質(zhì)表面，其表面近似為電位等位面。上述三點(diǎn)表明，虛擬電介質(zhì)與總電荷為0的電位懸浮導(dǎo)體的性質(zhì)相似，因此，式(11)可以改寫為

式中，φ+和φ－分別是虛擬電介質(zhì)邊界Sa外側(cè)和內(nèi)側(cè)的電位函數(shù)。應(yīng)用商業(yè)電磁場仿真軟件包求解式(12)，虛擬電介質(zhì)內(nèi)的節(jié)點(diǎn)電位可以作為電位懸浮導(dǎo)體Sa的電位φa。

需要向?qū)W生說明的是，相對(duì)介電常數(shù)εr遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于1(如εr≥1000)的電介質(zhì)在實(shí)際中是不存在的。虛擬介質(zhì)法只是數(shù)學(xué)意義上的等效方法而非物理意義上的等效方法，這也是該方法名稱中“虛擬”一詞的內(nèi)在含義。

［討論5］:部分電容法既適用于總電荷Q0=0也適用于Q0≠0的電位懸浮導(dǎo)體情況。具體方法是:先利用電磁場仿真軟件包計(jì)算多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容，并建立等效電路;再由等效電路計(jì)算總電荷為Q0時(shí)電位懸浮導(dǎo)體的電位φa，將電位懸浮導(dǎo)體轉(zhuǎn)換為電位給定導(dǎo)體的靜電場邊值問題;最后再次利用電磁場仿真軟件包計(jì)算電位給定導(dǎo)體的靜電場邊值問題。

圖8(a)和圖8(b)分別給出了圖6所示多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容及其等效電路。利用電磁場仿真軟件包計(jì)算導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容 C10、C20、C11和 C22。由圖8(b)等效電路，得電位懸浮導(dǎo)體Sa(節(jié)點(diǎn)a)的總電荷為

求解上式，得電位懸浮導(dǎo)體Sa的電位為

圖8 多導(dǎo)體系統(tǒng)的部分電容及其等效電路

至此，圖6對(duì)應(yīng)的靜電場邊值問題式(11)可以改寫為

綜合上述討論可以看出，虛擬介質(zhì)法簡單易行且只需要一次電場計(jì)算，但不適用于Q0≠0的電位懸浮導(dǎo)體情況;部分電容法雖然有更好的適用性，但需要對(duì)多導(dǎo)體系統(tǒng)部分電容的額外計(jì)算，計(jì)算代價(jià)相對(duì)較高。

討論至此，我們不妨再次向?qū)W生提問，能否利用圖6所示場域結(jié)構(gòu)上的對(duì)稱性來降低式(11)的計(jì)算代價(jià)?并繼續(xù)展開課堂討論。

［討論6］:類似［討論3］仍可以使用疊加定理，將圖6全場域的電位分布分解為圖4(a)奇對(duì)稱分布場和圖4(b)偶對(duì)稱分布場的疊加。

對(duì)于圖4(a)奇對(duì)稱分布場，需要提醒學(xué)生的是，由于導(dǎo)體Sa的電位為0，雖然其上可能存在感應(yīng)電荷，但由于電場關(guān)于虛線Ss呈奇對(duì)稱分布，導(dǎo)體Sa虛線左側(cè)與右側(cè)的感應(yīng)電荷大小相等、極性相反，使導(dǎo)體Sa上總的感應(yīng)電荷為0。因此，無論圖6電位懸浮導(dǎo)體Sa是否帶電荷，其半場域的靜電場邊值問題與式(7)相同，不再贅述。

對(duì)于圖4(b)偶對(duì)稱分布場，即圖9(a)所示電位懸浮導(dǎo)體Sa的情況，可以簡化為圖9(b)進(jìn)行分析，其半場域的靜電場邊值問題為

圖9 關(guān)于虛線Ss偶對(duì)稱分布的場域

當(dāng)電位懸浮導(dǎo)體Sa上總電荷為0(Q0=0)時(shí)，重畫圖9(b)為圖10(a)。可以采用虛擬介質(zhì)法求解，如圖10(b)所示，其靜電場邊值問題為

圖10 虛擬介質(zhì)法示意圖

當(dāng)電位懸浮導(dǎo)體Sa上總電荷為任意值時(shí)，可采用部分電容法求解。由圖8(b)等效電路，圖9(b)的等效電路如圖11所示。電位懸浮導(dǎo)體Sa(節(jié)點(diǎn)a)的電荷為

求解上式，得圖9(b)懸浮導(dǎo)體Sa的電位為

因此，圖9(b)的靜電場邊值問題便轉(zhuǎn)換為圖12所示的靜電場邊值問題，即

圖11 等效電路

圖12 電位φa已知

最后，可以由式(9)和式(10)分別獲得電位懸浮導(dǎo)體情況下，圖6左半場域和右半場域的電位分布圖。

4 結(jié)語

對(duì)工程電磁場問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象并建立其邊值問題，是應(yīng)用電磁場仿真軟件包解決工程電磁場問題的前提。在電磁場課程教學(xué)過程中，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)工程電磁場問題的數(shù)學(xué)抽象及其邊值問題的正確描述能力，已經(jīng)成為很多任課教師的共識(shí)。本文提供的基于三相電力匯流排的靜電場邊值問題的教學(xué)案例，可以全面地描述三類不同邊界條件的靜電場邊值問題。通過對(duì)電位懸浮導(dǎo)體問題的討論，還可以擴(kuò)展介質(zhì)極化、多導(dǎo)體部分電容等概念的應(yīng)用。

［1］ 教育部高等學(xué)校電子電氣基礎(chǔ)課程教學(xué)指導(dǎo)分委員會(huì)，“電子電氣基礎(chǔ)課程教學(xué)基本要求”［M］，北京，高等教育出版社，2011年4月

［2］ K.J.Binns，P.J.Lawrenson，Analysis and Computation of E-lectric and Magnetic Field Problems，Oxford，Pergamon Press，1973

［3］ 崔翔，應(yīng)用有限元方法計(jì)算含有電位懸浮導(dǎo)體的電場分布，［M］.保定，“華北電力學(xué)院學(xué)報(bào)”，Vol.22，No.2，1995