耿玉茹

（成都工業(yè)學(xué)院 電氣與電子工程系，四川 成都610031）

0 前言

FIR濾波器能嚴(yán)格做到線性相位和群時(shí)延為常數(shù)，并且不會(huì)因?yàn)闉V波運(yùn)算的舍入誤差而產(chǎn)生極限環(huán)振蕩現(xiàn)象。但它與IIR濾波器相比存在需要較高節(jié)數(shù)和濾波過(guò)程時(shí)間較長(zhǎng)的缺點(diǎn)。常見的FIR濾波器設(shè)計(jì)方法有窗函數(shù)法，頻率采樣法，和切比雪夫等波紋優(yōu)化設(shè)計(jì)法。本文將對(duì)窗函數(shù)法和切比雪夫等波紋優(yōu)化設(shè)計(jì)法進(jìn)行比較。[1]

1 設(shè)計(jì)方法比較

1.1 窗函數(shù)法

窗函數(shù)法的設(shè)計(jì)是在時(shí)域中進(jìn)行的。設(shè)理想濾波器的單位脈沖響應(yīng)為 hd（n），則有：

因而，一旦 Hd（ejω）給定，就可求得 hd（n），但這樣求得的 hd（n）一般是無(wú)限長(zhǎng)，且是非因果的。為了得到一個(gè)因果的有限長(zhǎng)的濾波器h（n），要使用一個(gè)窗口函數(shù) ω（n）對(duì) hd（n）進(jìn)行加窗處理，即：

因此選擇窗口函數(shù)的形狀和長(zhǎng)度就成了窗口函數(shù)法的關(guān)鍵。表1列出了6種窗函數(shù)基本參數(shù)的比較。

表1 6種窗函數(shù)基本參數(shù)的比較

利用窗函數(shù)設(shè)計(jì)FIR濾波器的過(guò)程可設(shè)計(jì)如下：

1）利用式（1-2），由給定的濾波器的幅頻響應(yīng)參數(shù)求出理想的單位脈沖響應(yīng) hd（n）。

2）按允許的過(guò)渡帶寬度Δω及其阻帶衰減As=-201gδs，選擇合適的窗函數(shù) ω（n），并估計(jì)節(jié)數(shù)，其中A由窗函數(shù)的類型決定。

4）求h（n）=hd（n）ω（n）。

5）必要時(shí)驗(yàn)算FIR濾波器的頻率響應(yīng)。

1.2 等波紋設(shè)計(jì)法

我們所希望設(shè)計(jì)的濾波器幅度響應(yīng)為Hd（ω），實(shí)際逼近的幅度響應(yīng)為Hg（ω）。線性相位FIR DF根據(jù)單位抽樣響應(yīng)h（n）的奇偶對(duì)稱性以及h（n）的長(zhǎng)度N的奇偶性，總共可以分為四種類型。四種情況的Hg（ω）統(tǒng)一形成以下的形式：

其中，Q（ω）為已知的三角函數(shù)，P（ω）是關(guān)于 cos（nω）的線性組合。則加權(quán)切比雪夫誤差公式可定義為：

其中：E（ω）為加權(quán)誤差，W（ω）為逼近誤差加權(quán)函數(shù)。 將（1-4）式代入（1-5）式并令：

則，

（1-8）式也是最終的加權(quán)切比雪夫逼近誤差函數(shù)公式。那么線性相位FIR DF的加權(quán)切比雪夫等波紋逼近問(wèn)題實(shí)際上就是求解P（ω）表達(dá)式的問(wèn)題,從而使得在實(shí)行逼近的頻帶范圍A（包括通帶和阻帶）內(nèi)，E（ω）的最大絕對(duì)值達(dá)到最小。在此定義該最小值表達(dá)式為：

為了求解（1-9）式，Parks-McClellan把逼近理論中的交錯(cuò)點(diǎn)定理應(yīng)用到濾波器設(shè)計(jì)中，從而得出了如下的交錯(cuò)定理：

設(shè)P（ω）是r個(gè)余弦函數(shù)的線性組合,即：

P（ω）在A上能唯一的最佳逼近連續(xù)函數(shù)D?（ω）的充分必要條件是：加權(quán)誤差函數(shù)E（ω）在A內(nèi)r+1個(gè)極值頻率點(diǎn),即在A中存在ω1＜ω2＜…＜ωr+1共r+1個(gè)頻率點(diǎn),各頻率點(diǎn)均滿足關(guān)系式：

利用MATLAB提供的remez函數(shù)實(shí)現(xiàn)Parks McClellan算法，設(shè)計(jì)濾波器逼近理想頻率響應(yīng)，所得到的最佳一致濾波器的頻率響應(yīng)具有等波紋特性。[2]

2 試驗(yàn)驗(yàn)證及結(jié)論

分別使用窗函數(shù)法和等波紋優(yōu)化法設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)出采樣頻率為2GSPS，截止頻率300MHz的線性相位濾波器。要求濾波器的阻帶衰減不小于40dB，通帶波紋不大于3dB。利用MATLAB仿真得到下面兩幅圖。[3]

圖1 等波紋優(yōu)化設(shè)計(jì)出的33階低通濾波器

圖2 使用布萊克曼窗設(shè)計(jì)出的33階低通濾波器

通過(guò)圖1和圖2的比較可以看出，在在同樣的階數(shù)下，等波紋最佳逼近的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法可以獲得較準(zhǔn)確的截止頻率，具有通帶和阻帶平坦，過(guò)渡帶窄等優(yōu)點(diǎn)。

［1］黎雄,張學(xué)智.FIR數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設(shè)計(jì)及MATLAB實(shí)現(xiàn)[J].信息技術(shù)，2004(10)：38-39.

［2］劉益成,孫祥娥.數(shù)字信號(hào)處理[J].電子工業(yè)出版社，2004：214-225.

［3］巍巍.MATLAB 信息工程工具箱技術(shù)手冊(cè)[M].國(guó)防工業(yè)出版社，2004：1-3.