符 蓉

(華中科技大學(xué)文華學(xué)院城建學(xué)部土木工程系，湖北武漢 430070)

0 引言

粘彈性阻尼器作為一種理想的耗能構(gòu)件，目前正廣泛的應(yīng)用到結(jié)構(gòu)抗風(fēng)抗震工程領(lǐng)域當(dāng)中。當(dāng)結(jié)構(gòu)設(shè)置了粘彈性阻尼器后，結(jié)構(gòu)的一些動(dòng)力特性將會(huì)發(fā)生改變，因此正確描述粘彈性阻尼器的本構(gòu)關(guān)系是研究結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的基礎(chǔ)。采用分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)描述的粘彈性阻尼器本構(gòu)關(guān)系可以僅用較少的參數(shù)構(gòu)成粘彈性阻尼器的力學(xué)模型，并能反映外部激勵(lì)頻率的變化對(duì)粘彈性阻尼器的力學(xué)性能的影響，被認(rèn)為是一種能精確描述粘彈性阻尼器特性的模型。本文研究了結(jié)構(gòu)設(shè)置粘彈性阻尼器后的受迫振動(dòng)，推導(dǎo)了結(jié)構(gòu)對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，討論了粘彈性阻尼器參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)幅頻特性的影響。

1 粘彈性阻尼器的分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型

粘彈性阻尼器主要以支撐的形式附加在結(jié)構(gòu)上。當(dāng)結(jié)構(gòu)受到外激勵(lì)作用產(chǎn)生層間位移時(shí)，就會(huì)帶動(dòng)粘彈性阻尼器兩側(cè)鋼板和中間鋼板產(chǎn)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)，從而使鋼板之間的粘彈性材料產(chǎn)生剪切變形，耗散能量，實(shí)現(xiàn)減小結(jié)構(gòu)反應(yīng)的目的。粘彈性阻尼器的力學(xué)特性由分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)描述為:

其中，kd，cd，α均為與粘彈性阻尼器有關(guān)的常數(shù)。而 Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)的定義為:

2 設(shè)置粘彈性阻尼器結(jié)構(gòu)的計(jì)算模型

設(shè)置粘彈性阻尼器結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性分析是十分復(fù)雜的，因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)一般為多自由度體系，但是一些重要的結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性可以通過(guò)分析單自由度結(jié)構(gòu)獲得。為了分析的方便，本文以設(shè)置粘彈性阻尼器的單自由度結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象，如圖1所示，其中，m，c，k分別為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼系數(shù)和水平剛度。粘彈性阻尼器以斜支撐的形式附加在結(jié)構(gòu)上。

圖1 設(shè)置粘彈性阻尼器的單自由度結(jié)構(gòu)計(jì)算模型

結(jié)構(gòu)在水平簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下，其動(dòng)力方程為:

無(wú)量綱化后為:

3 結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

當(dāng)結(jié)構(gòu)不受到外激勵(lì)時(shí)，進(jìn)行Laplace積分變換可以證明，不計(jì)平衡點(diǎn)的微小漂移時(shí)相應(yīng)的自由振動(dòng)方程:

漸近于平衡點(diǎn)。由于Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)為線性算子，則可以假設(shè)的結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與激勵(lì)有相同的頻率。

即:

將式(6)代入式(4)，并注意到分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)公式:

可以得到:

將sin(ωt－φ －απ/2)和 sinωt分別寫(xiě)成 sin[(ωt－φ)－απ/2]和 sin[(ωt－φ)+φ]，利用三角公式展開(kāi)并令 sin(ωt－φ)和cos(ωt－φ)項(xiàng)系數(shù)相等，得到:

分別消去φ和A，依次可以得到穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振幅為:

將式(11)和式(12)代入式(6)，即可以得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

4 結(jié)構(gòu)的幅頻特性分析

穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅與結(jié)構(gòu)在靜荷載P作用下產(chǎn)生的靜位移P/(k+kd)的比值稱為動(dòng)力放大因子β，即:

將放大因子 β寫(xiě)作頻率比s=ω/ωt的函數(shù)，其中 ωt=，則 β(s)為:

由式(14)可以得到與不設(shè)置粘彈性阻尼器結(jié)構(gòu)類似的結(jié)果如下:

粘彈性阻尼器的粘性系數(shù)由系數(shù)ζd和α體現(xiàn)。現(xiàn)在通過(guò)數(shù)值分析討論ζd和α對(duì)幅頻特性的影響。假設(shè)ωn=2.0 rad/s，ωd=0.5 rad/s，ζ=0.02。α =0.2，0.4，0.6，0.8 時(shí)動(dòng)力放大因子 β 隨頻率比s變化的曲線分別如圖2～圖5所示，在每個(gè)圖中，曲線由上至下依次取 ζd=0.0，0.25，0.5，0.75，1.0。

圖2 α=0.2的幅頻特性曲線

圖3 α=0.4的幅頻特性曲線

從圖2～圖5可以看出，幅頻特性存在最大值，即出現(xiàn)共振。增大ζd和α均可以使共振的幅值減小。由于結(jié)構(gòu)的自身阻尼ζ=0.02很小，所以當(dāng)附加阻尼ζd=0.0時(shí)共振時(shí)基本在s=1時(shí)出現(xiàn)。隨著ζd的增加以及α的存在使得共振不在s=1出現(xiàn)。對(duì)于給定的α，共振頻率隨ζd增大而顯著減小。對(duì)于給定的ζd，共振頻率隨著α增大而增大，但是變化不是很明顯。

圖4 α=0.6的幅頻特性曲線

圖5 α=0.8的幅頻特性曲線

5 結(jié)語(yǔ)

本文建立了由分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)型本構(gòu)關(guān)系描述的粘彈性阻尼器結(jié)構(gòu)的動(dòng)力方程，得到了該結(jié)構(gòu)對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，并分析了粘彈性阻尼器參數(shù)對(duì)幅頻特性的影響。由于分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)是線性算子，傳統(tǒng)的疊加原理依然適用，根據(jù)本文的結(jié)果可以得到系統(tǒng)對(duì)一般周期激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

[1]Miller K S，Ross B.An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations，1993.

[2]Koh C G，Kelly J M.Application of Fractional Derivative to Seismic Analysis of Base-isolated Models.Earthquake Engineering and Structural Dynamics，1990:229-241.

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