巫偉亮

(嘉應(yīng)學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東梅州514031)

1908年德國數(shù)學(xué)家D．Hilbert創(chuàng)立了經(jīng)典離散的Hilbert不等式:若0＜Σ∞，則

這里，常數(shù)因子π為最佳值．式(1)、(2)是分析學(xué)的重要不等式［1-2］．最近，文獻(xiàn)［3］-［10］通過估算權(quán)函數(shù)及運用參量化的思想對半離散Hilbert型不等式進(jìn)行了研究．

本文應(yīng)用估算權(quán)系數(shù)的方法及實分析的思想，分別從0＜p＜1及p＜0兩種情況建立了新的含有核為A＜1)、半離散逆向的Hilbert型不等式，證明了其常數(shù)因子為最佳值并考慮了它們的等價式．

1 若干引理

則有

這里，

證明 在式(3)中作變換u=(x/n)λ/2，查積分表可得

因0＜λ≤2，對于固定的x＞0，函數(shù)

這里，θλ(x)=

事實上，當(dāng)0＜x＜1時，

當(dāng)x≥1時，

式(5)成立．證畢．

證明 當(dāng)0＜p＜1時，設(shè)

一方面，由逆向的H?lder不等式［11］及式(3)～(5)，有

故式(6)成立．另一方面，同理可得

故有式(7)．類似地，當(dāng)p＜0時，運用H?lder不等式及式(5)，式(6)和式(7)仍成立．證畢．

2 主要結(jié)果

則有如下等價的不等式:

這里，常數(shù)因子kλ是最佳值．

證明 由 L逐項積分定理［12］，式(8)中 I有2種表示．由條件，式(6)取嚴(yán)格不等號，式(9)成立．由逆向的 H?lder不等式［11］，有

由式(9)，有式(8)．反之，設(shè)式(8)成立．取

運用式(8)得

由式(6)及條件，知 J1＞0．若 J1=∞，則式(9)顯然成立;若J1＜∞，則式(8)嚴(yán)格不等號成立的條件都具備，式(12)取嚴(yán)格不等號，且有

有式(9)與式(8)等價．由條件及式(7)，有式(10)．根據(jù)逆向的H?lder不等式，一方面

由式(10)，式(8)成立．另一方面，設(shè)式(8)成立．取

由式(8)有

由式(7)及條件，知J2＞0．若J2=∞，則式(10)顯然成立;若J2＜∞，應(yīng)用式(8)，式(14)取嚴(yán)格不等號，且有

故有式(10)與式(8)等價．綜上可導(dǎo)出式(8)、式(9)與式(10)齊等價．

事實上，可求得

由式(15)、(16)，有

故有 k≥kλ(ε→0+)．因而 k=kλ為式(8)的最佳值．式(9)及式(10)的常數(shù)因子也必為最佳值．若不然，由式(11)、(13)，必可推導(dǎo)出式(8)中的常數(shù)因子kλ不為最佳值的矛盾．證畢．

當(dāng)p＜0時，由引理2及類似定理1的證明，可得:

則有如下的等價的不等式:

這里，常數(shù)因子kλ具有最佳性．

致謝 衷心感謝楊必成教授的耐心指導(dǎo)與幫助!

［1］HARDY GH，LITTLEWOOD JE，POLYAG．Inequalities［M］．Cambridge:Cambridge University Press，1952．

［2］MINTRINOVICE D S，PECARIC J E，F(xiàn)INK A M．Inequalities involving functions and their integrals and derivatives［M］．Boston:Kluwer Academic Publishers，1991．

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［6］楊必成．關(guān)于一個半離散的Hilbert型不等式［J］．汕頭大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2011，26(4):5-10．

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［8］楊必成．關(guān)于一個半離散且非齊次核逆向的Hilbert不等式［J］．內(nèi)蒙古大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2011，40(5):433-436．

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［10］楊必成．一個半離散的Hilbert不等式［J］．廣東第二師范學(xué)院學(xué)報，2011，31(3):1-7．

［11］匡繼昌．常用不等式［M］．濟(jì)南:山東科技出版社，2004．

［12］匡繼昌．實分析引論［M］．長沙:湖南教育出版社，1996．