劉 鵬

(1.中原工學(xué)院 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，河南 鄭州 450007；2.西南交通大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，四川 成都 610031)

一、引 言

投資組合保險(xiǎn)的目的是控制風(fēng)險(xiǎn)，它運(yùn)用無套利均衡原理，通過基礎(chǔ)資產(chǎn)和無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)復(fù)制出期權(quán)進(jìn)行保險(xiǎn)。因而投資組合保險(xiǎn)得以實(shí)現(xiàn)的重要前提是能夠復(fù)制出期權(quán)。Rubinstein和 Leland (1981)［1］證明當(dāng)期權(quán)是 Black-Scholes(1973)［2］定價(jià)形式時(shí)，可以通過基礎(chǔ)資產(chǎn)與無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的組合復(fù)制，從而實(shí)現(xiàn)完全的套期保值。但是，Black-Scholes期權(quán)定價(jià)的一個(gè)基本假設(shè)是證券市場收益率服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)。事實(shí)上，實(shí)證研究表明證券市場收益率具有尖峰厚尾的性質(zhì)，不服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)。研究表明，t分布或布朗運(yùn)動(dòng)和雙指數(shù)跳躍的復(fù)合泊松過程能更好地?cái)M合證券市場收益率的尖峰厚尾分布(Kou，2002，2008)［3-4］。由于后者的簡單及易處理性［3］，本文擬采用雙指跳躍擴(kuò)散過程描述證券價(jià)格運(yùn)動(dòng)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)管理。

套期保值(hedging techniques)和風(fēng)險(xiǎn)預(yù)算(risk budgeting)是兩種主要的積極風(fēng)險(xiǎn)管理工具(Strassberger，2006)［5］。Kenned，F(xiàn)orsyth和Vetzal(2009)［6］認(rèn)為在尖峰厚尾的情況下無法實(shí)現(xiàn)完全的套期保值，所以本文擬采用風(fēng)險(xiǎn)預(yù)算建立投資組合保險(xiǎn)模型，實(shí)現(xiàn)保值增值。

二、風(fēng)險(xiǎn)預(yù)算和譜風(fēng)險(xiǎn)測度

風(fēng)險(xiǎn)預(yù)算的首要問題是風(fēng)險(xiǎn)測度，然后是如何控制風(fēng)險(xiǎn)。

風(fēng)險(xiǎn)預(yù)算(risk budgeting)至今沒有一個(gè)統(tǒng)一明確的定義。Chow和Kritzman(2001)［7］認(rèn)為風(fēng)險(xiǎn)預(yù)算是有效的投資組合配置的一個(gè)延伸，實(shí)際上是將投資組合在不同資產(chǎn)間的配置映射到風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaR的配置過程，而且只有在均值方差最優(yōu)化的情況下才是有效的，這樣投資者才能更好地管理風(fēng)險(xiǎn)。也就是說不應(yīng)該把風(fēng)險(xiǎn)預(yù)算過程看做是有效的資產(chǎn)組合配置的過程，而應(yīng)該認(rèn)為風(fēng)險(xiǎn)預(yù)算是將有效的資產(chǎn)組合配置轉(zhuǎn)化為VaR配置的一種方法。

Pearson(2002)［8］從狹義和廣義的角度論述了風(fēng)險(xiǎn)預(yù)算。狹義的風(fēng)險(xiǎn)預(yù)算是一個(gè)度量和分解風(fēng)險(xiǎn)的過程。用資產(chǎn)配置決策的方法進(jìn)行測度，根據(jù)這些測度安排資產(chǎn)組合經(jīng)理的風(fēng)險(xiǎn)預(yù)算，并且用風(fēng)險(xiǎn)預(yù)算來監(jiān)管資產(chǎn)配置和資產(chǎn)組合經(jīng)理。風(fēng)險(xiǎn)預(yù)算的前提是風(fēng)險(xiǎn)分解，風(fēng)險(xiǎn)分解有助于我們更好地理解所設(shè)定的風(fēng)險(xiǎn)以及它們是如何變化的。廣義的風(fēng)險(xiǎn)預(yù)算是關(guān)于投資和資產(chǎn)組合管理的一種觀點(diǎn)。由于這個(gè)原因，找到一個(gè)廣泛一致的定義是困難的，甚至是不可能的。但是可以肯定的是風(fēng)險(xiǎn)預(yù)算的基礎(chǔ)是風(fēng)險(xiǎn)的概率度量或統(tǒng)計(jì)度量。

Strassberger(2006)［5］認(rèn)為風(fēng)險(xiǎn)預(yù)算(risk budget)是一定置信區(qū)間的下方風(fēng)險(xiǎn)，用VaR或CVaR表示。他給出了當(dāng)證券市場的收益率服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)時(shí)相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)預(yù)算值并給出了動(dòng)態(tài)的調(diào)整方法以實(shí)現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)預(yù)算。

以上關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)預(yù)算的共同之處是風(fēng)險(xiǎn)預(yù)算是一種資產(chǎn)組合管理的方法，管理的重點(diǎn)是風(fēng)險(xiǎn)而不是收益率。風(fēng)險(xiǎn)預(yù)算的首要問題是風(fēng)險(xiǎn)度量，然后是如何控制風(fēng)險(xiǎn)。

本文中的風(fēng)險(xiǎn)預(yù)算是根據(jù)Artzner等人1999年提出的風(fēng)險(xiǎn)概念［9］而建立的。他們認(rèn)為風(fēng)險(xiǎn)是所需要的一定數(shù)量的資產(chǎn)，加入該資產(chǎn)后，初始資產(chǎn)組合頭寸在經(jīng)過一段時(shí)間之后是可接受的，即某投資組合的風(fēng)險(xiǎn)是所加入的使該投資組合在未來是可接受的價(jià)值的最小資產(chǎn)量。如果風(fēng)險(xiǎn)為正，表示增加到初始投資組合的最小額外資產(chǎn)(現(xiàn)金)，如果風(fēng)險(xiǎn)為負(fù)，表示可以從資產(chǎn)組合中抽取出來的資產(chǎn)(現(xiàn)金)。

類似于Strassberger(2006)［5］采用VaR或CVaR表示風(fēng)險(xiǎn)預(yù)算，本文采用譜風(fēng)險(xiǎn)表示風(fēng)險(xiǎn)預(yù)算。

Acerbi(2002)［10］提出的譜風(fēng)險(xiǎn)是一致性風(fēng)險(xiǎn)測度，與投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度相聯(lián)系，VaR、ES是它的特例。VaR對應(yīng)于譜風(fēng)險(xiǎn)測度的退化情況，ES反映風(fēng)險(xiǎn)中性，但兩者都不能反映投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度。Acerbi(2002)［10］定義的譜風(fēng)險(xiǎn)測度為：

其中，φ∈L1([0,1])稱為主觀風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)。當(dāng)φ滿足非負(fù)性、非增性和L1下的?！?=1時(shí)，φ稱為可容許譜。Xq為累積分布函數(shù)F(x)的q分位數(shù)。

由(1)式知，譜風(fēng)險(xiǎn)測度是對分位數(shù)Xq賦予權(quán)重φ(q)的積分。φ(q)是一個(gè)非負(fù)非增函數(shù)，也就是說隨著風(fēng)險(xiǎn)的減小，權(quán)重并沒有增加，即投資者對較大的風(fēng)險(xiǎn)賦予較大的權(quán)重，而對較小的風(fēng)險(xiǎn)賦予較小或相當(dāng)?shù)臋?quán)重，這與人們的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度相吻合。

三、基于譜風(fēng)險(xiǎn)測度的風(fēng)險(xiǎn)預(yù)算投資組合保險(xiǎn)模型

股價(jià)時(shí)有跳躍，市場收益率分布具有尖峰厚尾的特征。因此，Merton(1976)［11］提出用跳躍擴(kuò)散模型來描述證券市場收益率分布，他假設(shè)跳躍的大小服從正態(tài)分布；Kou(2002)［3］認(rèn)為跳躍的大小服從雙指數(shù)分布并假定資產(chǎn)價(jià)格服從隨機(jī)微分方程：

(2) 式中， μd t是漂移項(xiàng)； σd W 是擴(kuò)散過程；表示跳躍過程；μ為漂移參數(shù)；σ為擴(kuò)散參數(shù)；Wt是一個(gè)維納過程；Nt為跳躍強(qiáng)度為κ的泊松過程；是獨(dú)立同分布的非負(fù)隨機(jī)變量序列，記Y=ln(J)，Y服從雙指數(shù)分布，概率密度函數(shù)為：

p為向上跳躍的概率?？梢缘玫剑?/p>

隨機(jī)微分方程(2)式的解為：

本文中的盈利或損失是指全部資產(chǎn)投資到無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的期末價(jià)值與全部資產(chǎn)投資到風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的期末價(jià)值的差，即

顯見，Lt＞0表示損失，Lt＜0表示盈利。由于ST為一隨機(jī)變量，Lt也是一隨機(jī)變量，相應(yīng)的分位數(shù)函數(shù)記為：

假設(shè)φ為指數(shù)形式的風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)，即

該函數(shù)具有常絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)k(k＞0)。則相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)預(yù)算為：

為了避免損失，又不失去從市場上升中獲利的機(jī)會(huì)，將資產(chǎn)在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)之間分配。假設(shè)t時(shí)刻資產(chǎn)總值為At，投資在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的比例為wt，期末價(jià)值為wtAter(T-t)，則投資在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的比例為1-wt，投資組合的風(fēng)險(xiǎn)預(yù)算等于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)預(yù)算，即，根據(jù)鄒曉芃等(2006)［12］提出的用無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益套補(bǔ)投資組合的風(fēng)險(xiǎn)預(yù)算，則有：

即

由(8)式可知，投資在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比重與風(fēng)險(xiǎn)預(yù)算有關(guān)，風(fēng)險(xiǎn)預(yù)算越大，投資在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比重越大，反之依然。而且投資在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比重與人們的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度相關(guān)，風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度越大，投資在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的比例越大，見(10)式。

故(9)式變?yōu)椋?/p>

本文建立的模型用譜風(fēng)險(xiǎn)表示風(fēng)險(xiǎn)預(yù)算，不斷調(diào)整總資產(chǎn)在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)間的分配，達(dá)到規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)并獲取市場上升收益的目的，因此稱該模型為譜風(fēng)險(xiǎn)預(yù)算投資組合保險(xiǎn)模型(Spectral Risk Budget Portfolio Insurance Model)。

四、案例模擬分析

以“上證綜指”作為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，對上文建立的譜風(fēng)險(xiǎn)投資組合保險(xiǎn)模型進(jìn)行案例模擬分析。首先計(jì)算譜風(fēng)險(xiǎn)預(yù)算，其次是根據(jù)(10)式將總資產(chǎn)在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)之間分配，期限為一年。

譜風(fēng)險(xiǎn)預(yù)算是根據(jù)上證綜指的歷史數(shù)據(jù)模擬得到。根據(jù)(8)式，計(jì)算譜風(fēng)險(xiǎn)預(yù)算需要知道分位數(shù)及風(fēng)險(xiǎn)厭惡函數(shù)，分位數(shù)的取得是根據(jù)(5)式的跳躍擴(kuò)散過程取得。利用跳躍擴(kuò)散描述的是市場的尖峰厚尾性質(zhì)，因此，這里采用指數(shù)而不是單一股票作為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，由(5)式描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，預(yù)測價(jià)格，得到相應(yīng)的分位數(shù)。案例模擬中首先根據(jù)胡素華 (2006）等［13］及任楓 (2009)［14］等對上證綜指有關(guān)參數(shù)的估計(jì)，取收益率的年均值μ=-0.064，年標(biāo)準(zhǔn)差σ=0.4，假定每年跳躍3次，即 κ=3， p=0.54，λ1=1/15，λ2=1/17，無風(fēng)險(xiǎn)利率r=0.03，每年的交易日為250天，對(5)式進(jìn)行模擬，模擬路徑為10000條，然后得到分位數(shù)，根據(jù)(8)式計(jì)算出絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)分別取k=1,2,3,4,5,6,15,20,25的譜風(fēng)險(xiǎn)預(yù)算。得到譜風(fēng)險(xiǎn)預(yù)算后，根據(jù)(11)式將總資產(chǎn)在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)之間配置。(11)式中的St通過Block Bootstrap抽樣得到，為保持模擬的可靠性，數(shù)據(jù)區(qū)間與胡素華等(2006)［13］、任楓等(2009)［14］的相同，為上證綜指1992年5月1日至2004年4月30日12年的數(shù)據(jù)。

投資組合保險(xiǎn)績效的評價(jià)準(zhǔn)則本文中采用了期末資產(chǎn)、超額收益率、SHARPE比率及VaR和ES(劉鵬、史本山，2010)［15］。由于VaR、ES評價(jià)準(zhǔn)則需要大量的樣本，因此本文重復(fù)模擬過程10000次，得到在一般情況下譜風(fēng)險(xiǎn)預(yù)算投資組合保險(xiǎn)的績效。結(jié)果見表1。本文模擬采用MATLAB編程實(shí)現(xiàn)。

表1 不同風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度的譜風(fēng)險(xiǎn)預(yù)算投資組合保險(xiǎn)績效

表1表明，隨著風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度的增加，投資組合的收益率及最終資產(chǎn)價(jià)值是遞減的，甚至低于無風(fēng)險(xiǎn)收益率，但是都能達(dá)到對初始資產(chǎn)的保險(xiǎn)作用。究其原因，當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度小的時(shí)候，較多的資產(chǎn)投資在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上，能夠獲得市場上漲的收益，而當(dāng)市場下跌時(shí)則能及時(shí)將資產(chǎn)投資到無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上，鎖定已獲得的收益。但是隨著風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度的增加，投資到風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上的份額較少，因此市場上升時(shí)獲得的收益也較少，甚至?xí)霈F(xiàn)達(dá)不到無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率的情況。另外，隨著投資者絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)的增加，超額收益率、SHARPE比率下降較快，而VaR和ES遞減，說明該模型更好地規(guī)避下方風(fēng)險(xiǎn)。

表2對比了本文建立的譜風(fēng)險(xiǎn)預(yù)算投資組合保險(xiǎn)模型與CPPI、OBPI策略的績效。后兩者的績效模擬同樣是采用Block Bootstrap抽樣方法進(jìn)行。結(jié)果表明在絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)k=4時(shí)，譜風(fēng)險(xiǎn)預(yù)算投資組合保險(xiǎn)模型的績效與CPPI、OBPI策略較為接近。Cotter和 Dowd (2006)［16］認(rèn)為一般人的絕對風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)為4，證明該模型具有合理性。同時(shí)，當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度較低(k＜4)，以期末資產(chǎn)、超額收益率及SHARPE比率作為評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，譜風(fēng)險(xiǎn)預(yù)算投資組合保險(xiǎn)模型的績效優(yōu)于CPPI、OBPI策略，因此，該模型豐富了投資組合保險(xiǎn)模型，為不同的風(fēng)險(xiǎn)厭惡者提供了選擇的機(jī)會(huì)。

表2 譜風(fēng)險(xiǎn)預(yù)算投資組合保險(xiǎn)績效與CPPI、OBPI的績效比較

五、結(jié)束語

由于幾何布朗運(yùn)動(dòng)描述證券市場收益率存在的缺陷，所以本文采用雙指數(shù)跳躍擴(kuò)散過程來克服這一問題。但跳躍的存在導(dǎo)致不能實(shí)現(xiàn)完全的套期保值，因而本文采用風(fēng)險(xiǎn)預(yù)算建立投資組合保險(xiǎn)模型。風(fēng)險(xiǎn)預(yù)算一般由VaR表示，但VaR不是一致性風(fēng)險(xiǎn)度量，所以本文引入譜風(fēng)險(xiǎn)來表示風(fēng)險(xiǎn)預(yù)算。模擬結(jié)果表明本文建立的譜風(fēng)險(xiǎn)預(yù)算投資組合保險(xiǎn)模型能有效規(guī)避下方風(fēng)險(xiǎn)，并隨著投資者風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度的增加，投資組合的績效下降；對于一般風(fēng)險(xiǎn)厭惡的投資者，該模型績效與CPPI、OBPI策略的績效接近，當(dāng)投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度較低時(shí)，以期末資產(chǎn)、超額收益率、SHARPE比率衡量的績效優(yōu)于CPPI、OBPI策略。

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