童寧江

（臺(tái)州科技職業(yè)學(xué)院 機(jī)電與模具工程學(xué)院，浙江 臺(tái)州 318020）

1 Z 的提出與定義

1874 年，康托爾提出連續(xù)統(tǒng)問題[1-3]。至2013 年，問題沒有徹底解決。 針對(duì)連續(xù)統(tǒng)問題，康托爾提出了第二數(shù)類Z（可數(shù)集的所有序型組成的集合）。 康托爾證明，Z 是最小不可數(shù)集。

2013 年，問題取得突破，突然發(fā)現(xiàn)Z 可以是可數(shù)集。 這就是Z 的新模型。 7 月20 日，終于給出一個(gè)嚴(yán)格的證明。 這就是退火法。 新模型與退火法為解決連續(xù)統(tǒng)問題，提供了新思路。

2 Z 的通俗解釋

通俗而言：

序數(shù)0=0，序數(shù)1=1，序數(shù)2=2，…，序數(shù)w=w0，

序數(shù)w+1={0,1,2…，b1}中b1的位置，

序數(shù)w+2={0,1,2…，b1,b2}中b2的位置，

以此類推，可得

0,1,2……

w，w+1，w+2，…，

2w,2w+1,2w+2，…，…，

w2，w2+1，w2+2，…，…

這些序數(shù)組成的集合簡(jiǎn)記{0，1，2，…，w，w+1，w+2,……}。

3 新模型與退火法

定義Z={0，1，2，…，w0，w0+1，w0+2,……}。它的元素是序數(shù)。

性質(zhì)Z 可以是可數(shù)集，即可數(shù)集可表示為Z 形式。 這就是Z 的新模型。

證明（退火法）：設(shè)可數(shù)集A 的操作如下：

初始化：變量A0=A，變量J={0}，變量K={0}，變量t=2，變量Y=Φ。

現(xiàn)在，J、K、Y 沿著Z 的元素順序進(jìn)行擴(kuò)張。

標(biāo)記s：j=sup(J)，J=J∪｛j｝，k=sup（K），K∪｛k｝；當(dāng)j=k＞0 時(shí)，t=j，先令j* 接近且小于j，再j=j*，J=Jj，K=Kj，Y=Yj，跳回標(biāo)記s；Bi（Bi是兩兩互不相交的可數(shù)集），每個(gè)Bi另記Ai（新符號(hào)Ai覆蓋舊符號(hào)Ai， 每個(gè)符號(hào)Bi被清除）；從Aj中取一個(gè)元素，記作aj；Y=Y∪{aj}，J=J∪｛j+1｝，K=K∪跳回標(biāo)記s。

最后，可得集合Y={a0,a1,a2,…，aw0,aw0+1，aw0+2，…}。

因?yàn)閅 是可數(shù)集A 的無窮子集，所以Y 是可數(shù)集。 又因?yàn)閅 與Z 一一映射，所以Z 是可數(shù)集。 證畢。

4 退火法的演示

設(shè)可數(shù)集Aj 的操作如下（只給關(guān)鍵部分）：

第0 步：從Aj中取一個(gè)元素，記作aj；Y=Y∪{aj}等。

…

第w0步：t=j， 先令j* 接近且小于j， 再j=j* 等， 跳回第j步。

現(xiàn)在t=w0，不妨j=10000。

第10000 步：從Aj中取一個(gè)元素，記作aj；Y=Y∪{aj}等。

…

…

…

…

5

結(jié)束語

康托爾證明，Z 是最小不可數(shù)集。 新模型表明，Z 可以是可數(shù)集。這意味著，Z 在序數(shù)上是集合，在基數(shù)上不是集合。為了混淆基數(shù)與序數(shù)（即統(tǒng)一基數(shù)與序數(shù)），只好讓Z 無基數(shù)。

[1]華萊士.跳躍的無窮[M].長(zhǎng)沙:湖南科學(xué)技術(shù)出版社,2009

[2]朱梧槚.數(shù)學(xué)與無窮觀的邏輯基礎(chǔ)[M].大連:大連理工大學(xué)出版社,2008.

[3]江澤堅(jiān),吳智泉.實(shí)變函數(shù)論[M].北京:高等教育出版社,1998