廖 冰，羅永峰，王 磊，郭小農(nóng)

（同濟大學 建筑工程系，上海 200092）

目前，大跨度空間結(jié)構(gòu)的地震反應分析仍然采用振型分解反應譜法.進行地震反應分析時，希望減少振型動力方程的計算，只疊加相對較少的低階振型[1]，獲得滿足一定精度要求的地震反應.然而，振型分解反應譜法適用于多高層結(jié)構(gòu)，由于大跨度空間結(jié)構(gòu)的動力特性本質(zhì)上不同于多高層結(jié)構(gòu)，研究表明，進行地震反應分析時，若截取振型數(shù)量不足，則計算精度很低，有時甚至不準確.

大跨度結(jié)構(gòu)常支承于剛度及質(zhì)量相對較大的下部結(jié)構(gòu)，在整體結(jié)構(gòu)中，大跨度結(jié)構(gòu)的質(zhì)量較小且豎向剛度較弱.因而，在動力激勵下，大跨度結(jié)構(gòu)的動力反應顯著大于其下部結(jié)構(gòu)，且豎向反應明顯.由于這一特征，使得采用振型分解反應譜法計算整體結(jié)構(gòu)的地震反應分析時，結(jié)構(gòu)質(zhì)量參與系數(shù)累積速度很慢，難以達到規(guī)范90%的要求.

尹越、黃鑫[2]采用質(zhì)量參與系數(shù)指標截取振型進行老山自行車館屋蓋結(jié)構(gòu)地震反應分析，所截取的振型數(shù)遠超過《空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)技術規(guī)程》[3]建議的階數(shù).廖冰[4]在總結(jié)大量現(xiàn)有大跨度結(jié)構(gòu)計算實例時發(fā)現(xiàn)，大跨度結(jié)構(gòu)的豎向質(zhì)量參與系數(shù)累積很難達到90%.另外，大跨度結(jié)構(gòu)的風動力響應分析與地震反應分析具有相似性.Nakayama[5]提出應用振型應變能準則遴選主振型并對球面殼進行風振響應研究.田玉基[6]根據(jù)Nakayama的方法，提出用背景響應下的振型能量參與系數(shù)來遴選振型，振型能量參與系數(shù)準則本質(zhì)上仍然是應變能準則，都假定結(jié)構(gòu)在脈動風作用下為純靜力響應.同濟大學羅永峰、王磊[7]對地震作用下的空間結(jié)構(gòu)主振型選擇準則進行研究，建立了網(wǎng)格結(jié)構(gòu)振型遴選閾值法理論.王磊[8]還提出與閾值法結(jié)合的改進Lanzcos振型迭代法以及修正的非線性模態(tài)方法.

本文研究大跨度結(jié)構(gòu)的動力特性，通過典型數(shù)值算例分析獲得大跨度結(jié)構(gòu)地震反應的內(nèi)在特征、變形機理及其振型分布規(guī)律.針對采用振型疊加法分析大跨度結(jié)構(gòu)地震反應時質(zhì)量參與系數(shù)累積速度慢的特點，研究質(zhì)量參與系數(shù)定義、振型截斷原理及兩者間的理論關系，提出一種適用于大跨度結(jié)構(gòu)動力分析整體計算模型的簡化方法.通過數(shù)值算例驗證了簡化方法的有效性、準確性及計算效率.

1 大跨度空間結(jié)構(gòu)的動力特性

某體育場由上部大跨度雨棚和下部混凝土看臺結(jié)構(gòu)組成，該體育場結(jié)構(gòu)的前8階頻率和相應的質(zhì)量參與系數(shù)如表1所示，典型振型如圖1所示.

表1 前8階振型頻率與質(zhì)量參與系數(shù)Tab.1 Frequencies and MPFs of the first 8Modes

圖1 大跨度體育場結(jié)構(gòu)的振型分布Fig.1 Vibration modes of a large－span stadium structure

由表1可見，該結(jié)構(gòu)頻率分布非常密集且成簇出現(xiàn)，如第1～4階振型集中在1.2Hz區(qū)域，第5～8階振型集中在1.3Hz區(qū)域，各區(qū)段內(nèi)振型頻率差異很小.由圖1可見，該大跨度結(jié)構(gòu)頻率相同或相近的振型，表現(xiàn)為鋼雨棚的豎向?qū)ΨQ或豎向反對稱變形，而下部混凝土看臺幾乎無變形.該結(jié)構(gòu)前800階振型X，Y和Z方向質(zhì)量參與系數(shù)累積分別為0.67，0.71和0.073 6，遠小于規(guī)范90%的要求.

分析結(jié)果表明，由于大跨度結(jié)構(gòu)豎向剛度通常較弱，其動力特征表現(xiàn)為大量豎向反對稱變形的低階振型且頻率成簇分布，而豎向?qū)ΨQ變形的振型數(shù)量很少且分布在高階頻率區(qū).這一特征使結(jié)構(gòu)低階振型與地震加速度分布的空間相似度降低，導致低階振型質(zhì)量參與系數(shù)變小.另外，對包含下部結(jié)構(gòu)的整體計算模型，豎向?qū)ΨQ變形振型通常分布在高階頻率區(qū)，采用現(xiàn)有的數(shù)值方法很難獲得精度可靠的高階主振型.因此，由于大跨度結(jié)構(gòu)獨特的動力特征，采用振型疊加法進行包括空間結(jié)構(gòu)及其下部支承結(jié)構(gòu)的整體結(jié)構(gòu)地震反應分析時，結(jié)構(gòu)質(zhì)量參與系數(shù)的累積常難以達到規(guī)范90%的要求[9].

2 振型分解反應譜法的振型截斷原理

質(zhì)量參與系數(shù)是判斷結(jié)構(gòu)振型反應對結(jié)構(gòu)體系振動貢獻最常用的控制參數(shù)[10].單向地震作用可表示為空間分布向量｛s｝和地面加速度標量u¨gx（）t的組合，應用振型參與系數(shù)Γn，｛s｝可展開為

其中，｛sn｝為第n階振型對｛s｝的貢獻.

根據(jù)振型疊加法，第n階振型的動力方程為

求解該方程，即可獲得第n階振型反應｛un（t）｝，則與該振型相關的等效靜力可表示為

進行等效靜力分析，可求出第n階振型對任意反應量r（t）的貢獻rn（t），則有關系式

其中，rnst為分布向量｛sn｝作用下結(jié)構(gòu)的第n階振型靜力反應.

定義rst為向量｛s｝引起的總靜力反應，則有

若取反應量為結(jié)構(gòu)水平向基底剪力Vbx（t），則第n階振型基底剪力Vstbnx可表達為

類似地，rst對應的基底剪力Vstbx可表達為

即在X向水平地震作用下，結(jié)構(gòu)總基底剪力Vstbx等于結(jié)構(gòu)在作用方向上的總質(zhì)量∑mx.但是，總質(zhì)量∑mx不包括分配在邊界約束點的結(jié)構(gòu)質(zhì)量.因此，第n階振型的質(zhì)量參與系數(shù)定義為

對于空間結(jié)構(gòu)，在X，Y和Z三個方向均可定義振型截斷數(shù)為N時的累積質(zhì)量參與系數(shù)為

質(zhì)量參與系數(shù)反映振型空間分布與動力輸入空間分布間的相似程度，是衡量結(jié)構(gòu)振型反應對結(jié)構(gòu)整體振動反應貢獻的合理指標.

3 大跨度空間結(jié)構(gòu)動力模型簡化

大跨度結(jié)構(gòu)常支承于剛度和質(zhì)量相對顯著偏大的下部結(jié)構(gòu)上，而大跨度結(jié)構(gòu)則具有較大跨度及相對較弱的豎向剛度，易產(chǎn)生豎向振動形態(tài).由質(zhì)量參與系數(shù)定義式（8）可知，在結(jié)構(gòu)整體計算模型中，大剛度和大質(zhì)量的下部結(jié)構(gòu)將導致結(jié)構(gòu)質(zhì)量參與系數(shù)的分母偏大，這就意味著只有當截斷振型中包含下部結(jié)構(gòu)變形顯著的振型時，結(jié)構(gòu)參與振動的有效質(zhì)量才會顯著提高.另外，在結(jié)構(gòu)整體動力計算模型中，由于下部結(jié)構(gòu)通?？箓?cè)剛度相對較弱而豎向剛度通常很大，使得結(jié)構(gòu)低階振型中多出現(xiàn)下部結(jié)構(gòu)水平振型，而豎向振動顯著的振型常出現(xiàn)在高階頻率區(qū)段.數(shù)值分析表明，高階振型中下部結(jié)構(gòu)的振動對上部大跨度結(jié)構(gòu)地震反應的貢獻很小，可在上部結(jié)構(gòu)地震反應計算中忽略其影響.因而，在整體結(jié)構(gòu)動力計算模型中，可對下部結(jié)構(gòu)豎向剛度和質(zhì)量進行合理的簡化，忽略其高階振型效應，減小質(zhì)量參與系數(shù)的分母，減少所需截斷振型數(shù)量，提高結(jié)構(gòu)豎向質(zhì)量參與系數(shù)的累積速度.

一網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)（圖2）在Z向地震激勵作用下，結(jié)構(gòu)動力荷載空間分布｛s｝可表示如圖2所示.建立結(jié)構(gòu)整體動力計算模型，將其質(zhì)量矩陣[M]進行兩次分塊.首先，分別根據(jù)上部大跨度結(jié)構(gòu)和下部支承結(jié)構(gòu)的自由度進行分塊，然后，再分別按X，Y和Z三個方向的集中質(zhì)量進行分塊，分塊后的質(zhì)量矩陣如式（10）所示.

圖2 單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)Z向地震荷載空間分布Fig.2 Z－directional seismic load distribution of single－layer latticed shell structures

完成質(zhì)量矩陣分塊后，對下部結(jié)構(gòu)Z方向集中質(zhì)量分塊矩陣的元素[Mzlow]均乘以一個很小的參數(shù)如δ＝10－5，如式（11）所示.

將式（11）代入式（7），可得

式（12）代表在Z向地震激勵下，經(jīng)簡化后得到的結(jié)構(gòu)整體模型Z向有效質(zhì)量，該部分有效質(zhì)量只包含上部大跨度結(jié)構(gòu)質(zhì)量，不包含下部結(jié)構(gòu)質(zhì)量，即結(jié)構(gòu)Z向總基底反力的靜力值Vstbz等于上部結(jié)構(gòu)質(zhì)量之和∑mzup.此外，式（12）還說明簡化后結(jié)構(gòu)整體模型中的下部結(jié)構(gòu)不產(chǎn)生Z向慣性力，即下部結(jié)構(gòu)Z向地震反應為靜力響應.

由式（12）可知，結(jié)構(gòu)整體動力計算模型的Z向總有效質(zhì)量將顯著減小，但是X和Y向總有效質(zhì)量保持不變，因此，提高了結(jié)構(gòu)Z向質(zhì)量參與系數(shù)累積速度.同時說明，剛性結(jié)構(gòu)的抗力趨近于純靜力行為而慣性效應可以忽略[1，10]，由于下部結(jié)構(gòu)Z向剛度很大，其Z向振動反應可忽略不計.本文提出的動力模型簡化方法等價于忽略了下部結(jié)構(gòu)自身的Z向慣性力，因而，對上部結(jié)構(gòu)的地震反應幾乎無影響，仍可保持足夠的計算精度.

4 數(shù)值算例

4.1 結(jié)構(gòu)動力計算模型

一單層凱威特網(wǎng)殼支承于下部框架結(jié)構(gòu)（圖3）.網(wǎng)殼跨度60m，矢高12m，桿件均為φ150×4.0鋼管.框架柱高12m，采用φ800×16.0鋼管，框架橫梁跨度10m，采用型鋼H400×300×10×16.結(jié)構(gòu)構(gòu)件均采用Q345B鋼材，彈性模量為Es＝2.06×1011N／m2.結(jié)構(gòu)整體動力計算模型如圖3所示，桿件均采用鐵木辛科梁單元模擬，考慮單元的軸向變形和剪切變形.屋面等效重力荷載和結(jié)構(gòu)自重均等效為節(jié)點集中質(zhì)量，忽略轉(zhuǎn)動慣量影響.框架立柱底端為固定約束支座，約束節(jié)點數(shù)為18，該結(jié)構(gòu)非約束節(jié)點數(shù)為181，X，Y和Z三向總動力自由度及振型數(shù)為543.

圖3 單層網(wǎng)殼分析模型Fig.3 Analysis model of a single－layer latticed shell

根據(jù)上節(jié)的動力計算模型簡化方法對原模型進行質(zhì)量分布修正，消除或削弱下部框架結(jié)構(gòu)的Z向質(zhì)量，修正模型的總動力自由度數(shù)減少為453.

4.2 振型特征與參與系數(shù)比較

采用SAP2000對結(jié)構(gòu)整體模型進行動力特性分析，分析結(jié)果顯示，原計算模型和修正模型的基頻均為1.288Hz，圖4為原計算模型的各主要振型模態(tài)，圖5為修正模型的各主要振型模態(tài).

圖4 原模型的振型特征Fig.4 Vibration mode characteristics of the original model

由圖4可見，原模型第1，2階振型為網(wǎng)殼整體水平側(cè)移，第9階振型為網(wǎng)殼整體豎向?qū)ΨQ變形，其余振型均為明顯的網(wǎng)殼局部豎向反對稱變形，且反對稱振型都成簇出現(xiàn)且模態(tài)相同，僅總體變形方位有差異，如Mode03和Mode04所示.由圖4和圖5對比可見，原模型和修正模型的各階振型基本相同.此外，原計算模型和修正模型均在第26，34，39和85階出現(xiàn)網(wǎng)殼整體豎向正對稱變形的振型，但下部框架結(jié)構(gòu)幾乎無變形.而在原計算模型中，第113和483階振型主要為下部框架橫梁和立柱的對稱豎向振動以及與其連接局部桿件的變形，網(wǎng)殼主體本身沒有明顯變形，如圖4所示.

圖5 修正模型的振型特征Fig.5 Vibration mode characteristics of the simplified model

以上振型特征表明，單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)整體豎向?qū)ΨQ振型數(shù)相對很少，且總出現(xiàn)在相對高階頻率區(qū)段，而局部豎向反對稱振型占據(jù)了大部分低階頻率區(qū)段.修正模型由于下部框架結(jié)構(gòu)消除了Z向質(zhì)量，所以，沒有出現(xiàn)下部結(jié)構(gòu)豎向?qū)ΨQ振型.

根據(jù)式（9）可計算單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)各振型在三個方向的質(zhì)量參與系數(shù)及其累積值.表2為原模型和修正模型各主要振型的頻率和質(zhì)量參與系數(shù)，表3為截取前若干階振型的質(zhì)量參與系數(shù)累積值.

表2 原模型與修正模型質(zhì)量參與系數(shù)對比Tab.2 MPF comparison between original and simplified models

由表2可見，原模型與修正模型的對應振型頻率完全相同，與兩個模型振型模態(tài)相同的現(xiàn)象一致，且兩個模型的振型頻率均為成簇分布，如第3，4階振型頻率均為2.241Hz.因此，無論從振型特征還是從頻率分布比較，原模型和修正模型的動力特性都基本一致，但是，兩個模型各振型的Z向質(zhì)量參與系數(shù)差別較大.

表2統(tǒng)計顯示，原模型和修正模型低階振型的Z向質(zhì)量參與系數(shù)均為0，而第9階系數(shù)分別為0.043和0.052，兩者相差不大，與振型模態(tài)為Z向?qū)ΨQ振動的現(xiàn)象一致.然而，隨著階數(shù)提高，各振型貢獻程度差異迅速增大，其中第85階振型的差異最大，分別為0.35和0.43.

表3 原模型與修正模型質(zhì)量參與系數(shù)累積對比Tab.3 MPF accumulation comparison between original and simplified models

由表3可見，截斷振型較少時，原模型與修正模型Z向質(zhì)量參與系數(shù)累積值相差不大，到截斷前70階振型，兩者系數(shù)累積分別達到了40%和49%，差異較大；至截斷前85階振型時，原模型的系數(shù)累積只有75%，而修正模型已經(jīng)達到了92%，基本滿足規(guī)范90%的要求.而原模型要截斷至前483階振型，系數(shù)累積才達到93%.當選擇全部振型時，原模型和修正模型的各方向質(zhì)量參與系數(shù)累積均達到100%.

以上振型特征和質(zhì)量參與系數(shù)比較表明，整體結(jié)構(gòu)中的單層網(wǎng)殼豎向?qū)ΨQ主振型數(shù)相對很少，但對Z向質(zhì)量參與系數(shù)累積影響很大，且各主振型頻率差較大，均分布在相對高階頻率區(qū)段.從主振型模態(tài)比較可知，上部網(wǎng)殼整體變形的振型對原模型和修正模型的系數(shù)累積均有顯著貢獻，而且對后者的貢獻大于前者，其中第85階振型的上部網(wǎng)殼整體變形最為突出，但下部框架結(jié)構(gòu)基本無變形，因此，該振型控制著Z向質(zhì)量參與系數(shù)累積，必須包含在結(jié)構(gòu)地震反應疊加計算中.

另一方面，由于修正模型消除了下部結(jié)構(gòu)的Z向質(zhì)量，下部結(jié)構(gòu)整體變形的豎向振型只在原模型特性分析出現(xiàn)，這些振型形態(tài)主要為橫梁或立柱的豎向振動.盡管這些振型對應的Z向質(zhì)量參與系數(shù)都較大，最大分別達到了11%和5.6%，但此時上部網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)本身幾乎無振動變形，說明對上部網(wǎng)殼地震反應影響很小.因此，這些振型對于上部空間結(jié)構(gòu)地震反應的影響可以忽略不計.

4.3 地震波輸入的反應特征和比較

4.3.1Z向輸入時程反應比較

為了驗證簡化模型的有效性，本節(jié)通過計算具體地震波激勵下原模型和修正模型的地震響應進行比較.分別對兩類模型輸入Z向El－Centro地震波加速度時程，加速度峰值3.5m／s2，加速度時程時間步長0.02s，持續(xù)時間20.0s，記錄如圖6所示.

圖6 Z向的EI－Centro波地震記錄曲線Fig.6 Earthquake record curve of the EI－Centro wave in Z－direction

要獲得截斷振型數(shù)、質(zhì)量參與系數(shù)累積量對動力分析結(jié)果的影響，應將振型疊加法的時程響應與直接積分法的時程響應進行對比.采用振型疊加法對修正模型進行時程分析，截斷振型數(shù)應滿足各向質(zhì)量參與系數(shù)累積超過90%的要求.采用直接積分法對原模型進行時程分析，積分方法為Newmark法，積分系數(shù)γ＝0.5，β＝0.25，積分時間步長取0.02s，積分步數(shù)1 000步.不失一般性，初始條件均假定為靜止，鋼結(jié)構(gòu)的阻尼比均為0.02.

在Z向加速度作用下，原模型和修正模型的時程反應分析結(jié)果及其比較如圖7所示，其中修正模型振型截斷至第85階，位移特征節(jié)點和內(nèi)力特征桿件的位置如圖3所示.

圖7的位移、基底反力和桿件內(nèi)力響應比較可見，修正模型的振型疊加法結(jié)果與原模型的直接積分法結(jié)果基本一致.為了具體比較原模型與修正模型響應差異，首先采用式（13）對比響應峰值差異率

式中：｜f（t）｜max，｜g（t）｜max分別為原模型、修正模型響應峰值；Comax為兩者峰值差異率.

然后采用響應峰值對響應曲線進行歸一化處理，根據(jù)式（14）計算原模型與修正模型響應曲線形態(tài)差異度

式中：f（t），g（t）分別為原模型、修正模型響應函數(shù)；N為響應曲線數(shù)據(jù)點數(shù)；Cor為兩者形態(tài)差異系數(shù).

Cor值越小，兩者形態(tài)一致性越高.計算得到的原模型與修正模型各類型響應對比及差異統(tǒng)計如表4所示.

圖7 原模型與修正模型的分析結(jié)果對比Fig.7 Analysis results comparison between original and simplified models

表4 原模型與修正模型地震響應差異統(tǒng)計Tab.4 Statistics analysis of seismic response differences between original and simplified models

由表4可見，對于實際地震波激勵作用下的修正模型，位移和內(nèi)力的差異系數(shù)均在8%以內(nèi)，與原模型的計算結(jié)果基本一致.

4.3.2Z向輸入反應譜組合反應比較

特定時程反應譜法獲得的組合值為結(jié)構(gòu)在該時程荷載作用時間內(nèi)的反應峰值.為了驗證修正方法的有效性，可對修正模型振型疊加反應譜法組合值與地震波時程輸入下原模型反應峰值進行對比.采用El－Centro地震波的加速度反應譜，周期T為0～5s，T→0時，加速度譜值Sa＝3.5m／s2（圖8）.

圖8 加速度反應譜曲線Fig.8 Acceleration response spectrum curve

修正模型振型仍然截斷至第85階，其反應譜結(jié)果與原模型時程分析結(jié)果對比如表5所示，采用式（13）計算兩者差異率.

表5 原模型與修正模型地震響應對比Tab.5 Seismic responses comparison between original and simplified models

由表5可見，修正模型反應譜組合值與原模型時程反應峰值基本一致，差異率最小的響應是節(jié)點B位移UZ為9.8%，差異率最大的響應是桿件2的軸力FN為14.8%.原模型計算結(jié)果顯示，立柱（桿件1）底部與頂部Z向內(nèi)力之間變化很小，表明下部立柱自身質(zhì)量引起的Z向響應可忽略不計，立柱Z向內(nèi)力主要為上部網(wǎng)殼Z向振動引起的響應.

5 結(jié) 論

分析研究得到，大跨度空間結(jié)構(gòu)動力特性的兩個重要特征分別是：大量低階振型呈反對稱形態(tài)，且頻率成簇分布；豎向?qū)ΨQ形態(tài)振型數(shù)量很少且分布在高階頻率區(qū)段.這一動力特征導致整體結(jié)構(gòu)模型質(zhì)量參與系數(shù)累積很慢，難以達到規(guī)范要求的90%.因此，合理的振型截斷數(shù)量是應用振型疊加法不可逾越的關鍵.本文深入研究質(zhì)量參與系數(shù)定義、振型截斷原理及兩者間的理論關系，提出了一種適用于大跨度空間結(jié)構(gòu)動力分析整體計算模型的簡化方法，數(shù)值算例分析結(jié)果表明：

1）包括下部支承結(jié)構(gòu)與上部單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的整體模型經(jīng)簡化修正后，結(jié)構(gòu)振型特征與原模型完全一致.而結(jié)構(gòu)質(zhì)量參與系數(shù)累積速度明顯提高，所需振型截斷數(shù)顯著減少.

2）地震波輸入計算結(jié)果表明，修正模型振型疊加法和原模型直接積分法分析結(jié)果基本一致，修正模型反應譜組合值和原模型時程反應峰值也基本一致，驗證了本文簡化方法的有效性；

3）計算結(jié)果表明，原模型下部立柱自身慣性力引起的豎向反應可忽略不計，立柱軸力主要為上部網(wǎng)殼的豎向振動效應，說明簡化方法有效.

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