尹景本，趙晨萍

(河南科技學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，河南新鄉(xiāng)453003)

作為數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課，復(fù)變函數(shù)在數(shù)學(xué)課程體系的地位非常重要，它是數(shù)學(xué)分析在復(fù)數(shù)域上的延拓，在知識結(jié)構(gòu)、理論體系、研究方法等方面，二者密切相關(guān).數(shù)學(xué)專業(yè)的調(diào)和分析、泛函分析、數(shù)理方程等課程與復(fù)變函數(shù)有較大的聯(lián)系.通過本課程的學(xué)習(xí)不但鞏固了數(shù)學(xué)分析的知識，而且為后續(xù)課程打下了堅實的理論基礎(chǔ).

上世紀(jì)末，我國的高等教育進行改革，新的專業(yè)課程不斷涌現(xiàn)，原來的一些專業(yè)課教學(xué)課時數(shù)不斷減少［1］.因此一些高校的復(fù)變函數(shù)課時縮減了25%，因此不可能像原來那樣按部就班地講授所有的課程內(nèi)容，有些內(nèi)容不得不讓學(xué)生自學(xué)，有些知識點一帶而過.老師為了趕課講得累，學(xué)生思維跟不上，對學(xué)過的知識像囫圇吞棗.這樣，課程的嚴(yán)謹(jǐn)性得不到保證，學(xué)生也不能系統(tǒng)地掌握基本理論.學(xué)生感到習(xí)題難做，因為他們對那些基本概念似懂非懂，從而失去了學(xué)習(xí)的積極性，這無益于人才的培養(yǎng).另外，復(fù)變函數(shù)是數(shù)學(xué)專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)課，傳統(tǒng)認(rèn)識是復(fù)變函數(shù)課程應(yīng)該重視理論講授，但這種灌輸式教學(xué)不能很好發(fā)揮學(xué)生的主體作用，學(xué)生獲得的課堂信息量較小.

為了使學(xué)生在有限的課時內(nèi)既能夠掌握基本理論，又了解其應(yīng)用，在復(fù)變函數(shù)課程教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法與教學(xué)手段上進行了改進.

1 合理安排教學(xué)內(nèi)容

數(shù)學(xué)專業(yè)的復(fù)變函數(shù)課時減少了，教材一般仍采用鐘玉泉編的《復(fù)變函數(shù)論》第三版，這必然涉及到教材內(nèi)容的取舍.復(fù)變函數(shù)的主要研究對象是解析函數(shù)，主要的研究內(nèi)容就是解析函數(shù)的Cauchy積分理論即復(fù)變函數(shù)的積分、解析函數(shù)的Weierstrass級數(shù)理論即解析函數(shù)的 Taylor展式及Laurent展式，以及Riemann的共形映射理論［2］.我們要重點講解基本概念、性質(zhì)、定理，分類歸納基本解題方法，講清證明思路.對于復(fù)數(shù)的基本概念，學(xué)生在高中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)過，可以略講.解析延拓和調(diào)和函數(shù)可以刪去或僅簡要介紹一下基本內(nèi)容和方法.解析理論部分著重講解初等解析函數(shù)的多值性及其單葉解析分支.對于那些費時多，學(xué)生又難于理解要求較高的章節(jié)，且與后續(xù)課程聯(lián)系不大的可以不講，讓學(xué)有余力的學(xué)生自學(xué).

數(shù)學(xué)專業(yè)新的培養(yǎng)目標(biāo)，不僅要求學(xué)生具備扎實的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)，同時還要求學(xué)生有解決實際問題的能力.應(yīng)當(dāng)適當(dāng)增設(shè)實驗課，那些繁雜的運算代之以計算機和數(shù)學(xué)軟件處理.譬如展開有理函數(shù)的部分分式、計算留數(shù)均可采用Matlab軟件來完成，使學(xué)生從這些初等運算中解脫出來，只需搞清其數(shù)學(xué)思想，知道怎么轉(zhuǎn)化即可，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

2 認(rèn)真組織教學(xué)過程

2.1 課程的引入

第一堂課先向?qū)W生簡單介紹復(fù)變函數(shù)在數(shù)學(xué)專業(yè)培養(yǎng)方案中的重要地位，舉例說明它在理論物理、空氣動力學(xué)、流體力學(xué)、彈性力學(xué)、自動控制學(xué)、信號處理、電子工程技術(shù)等領(lǐng)域的應(yīng)用，抓住學(xué)生的好奇心，使他們產(chǎn)生學(xué)習(xí)該課程的渴望，激發(fā)其學(xué)習(xí)的積極性;然后介紹復(fù)變函數(shù)的主要研究對象(解析函數(shù))與數(shù)學(xué)分析的研究對象(連續(xù)函數(shù))之間的區(qū)別與聯(lián)系，自始至終都可采用這種對比的教學(xué)方法.在研究極限與連續(xù)性時，與二元函數(shù)的極限進行比較，找尋其共性與差異，認(rèn)真區(qū)別二者的本質(zhì).學(xué)習(xí)函數(shù)的連續(xù)性、可導(dǎo)性、可微性和可積性時，學(xué)生對照二元函數(shù)的一系列性質(zhì)可以自己總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力;最后向?qū)W生指明課程的幾大模塊，讓學(xué)生對該課程的框架有一個總體認(rèn)知.

2.2 多種教學(xué)方法并用

概念是學(xué)好數(shù)學(xué)課程的關(guān)鍵.在引入概念時，先介紹一些物理背景，找出其共性，抽象出其本質(zhì)，用數(shù)學(xué)語言來描述，從而形成概念.在對概念的啟發(fā)式教學(xué)過程中，建立復(fù)變函數(shù)知識構(gòu)架，按照新的知識構(gòu)架，加強學(xué)生的思維訓(xùn)練，達(dá)到提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的.

在講授定理的證明與積分的計算時，多采用類比法.通過和數(shù)學(xué)分析比較，便于學(xué)生加深對實函數(shù)的理解，進而更清楚地認(rèn)識復(fù)變函數(shù).如在數(shù)學(xué)分析課程中，從幾何角度分析，總結(jié)歸納出定積分的定義，而在復(fù)變函數(shù)中，我們是直接從表達(dá)式入手得出復(fù)積分的定義［3］.

在講授概念的性質(zhì)與定理的幾何意義時，多采用圖示法，加強幾何思想在教學(xué)中的滲透，積極培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀感，這樣不但改變學(xué)生普遍存在的幾何思想差的現(xiàn)象，同時由于幾何的直觀性更加容易引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

在講授復(fù)變函數(shù)的應(yīng)用時，多采用問題驅(qū)動法.教師根據(jù)授課內(nèi)容，設(shè)置情景，提出問題，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決實際問題需要的理論知識，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、分析、解決問題的能力.同時給學(xué)生留思考題，讓他們利用所學(xué)知識撰寫小論文.如學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的幅角時，我們提出:“為什么現(xiàn)在市場上涌現(xiàn)出大量的數(shù)碼相機，而普通的像機有被取而代之的趨向?”同學(xué)們會說:“數(shù)碼像機成像有立體感.”“為什么數(shù)碼成像會有立體感?”學(xué)生們陷入沉思，迫切想知道其原由，這樣引起了他們對知識的渴望.當(dāng)學(xué)習(xí)了本節(jié)內(nèi)容后，他們知道原來數(shù)碼相機不僅反映每個點的距離，而且也反映該點的位置，也就同時反映了復(fù)數(shù)的模和幅角.這樣學(xué)生對本節(jié)知識掌握得更加牢固，而且讓學(xué)生感到所學(xué)知識有非常廣泛的應(yīng)用環(huán)境，激發(fā)他們的創(chuàng)造欲.

正如楊叔子先生所言，“學(xué)習(xí)是為了實踐.沒有實踐，沒有證實，就沒有科學(xué)”［1］.我們在講授復(fù)變函數(shù)理論知識時，一定要結(jié)合實際應(yīng)用背景，唯有此，才能體現(xiàn)學(xué)科的價值，才能抓住學(xué)生的心理，把學(xué)生的思維緊緊集中在課堂上.

2.3 加強師生互動［4］

由于擴招后一個授課班級學(xué)數(shù)達(dá)到120人甚至更多，為了調(diào)動學(xué)生的積極性，活躍堂氣氛，必須加強師生互動，使學(xué)生真正參與到教學(xué)中去，成為教學(xué)的主體.在講授復(fù)級數(shù)基本性質(zhì)時，先復(fù)習(xí)一下實級數(shù)的性質(zhì)，讓學(xué)生猜想復(fù)級數(shù)的性質(zhì)，然后重點分析二者的性質(zhì)哪些是相同的，哪些是不同的.在學(xué)習(xí)復(fù)積分的計算時，先舉出實積分的一些例子，有些例子用實積分的方法處理非常麻煩，板書四、五板塊才能做出，有的甚至根本無法求解，這時啟發(fā)學(xué)生使用Cauchy積分公式或留數(shù)定理，轉(zhuǎn)化為初中代數(shù)運算，在一兩分鐘內(nèi)解決問題.這樣讓學(xué)生感受到復(fù)積分方法的神奇，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和積極性.

3 注重教學(xué)手段多樣化

數(shù)學(xué)專業(yè)的復(fù)變函數(shù)雖然以公式推導(dǎo)理論闡述居多，在教學(xué)中我們應(yīng)將多媒體與傳統(tǒng)的板書結(jié)合起來，定理、例題等可以采用投影儀，證明與計算采用板書.對一些較復(fù)雜的圖像，最好采用多媒體，這樣立體感較強，圖文清晰，若采用人工畫圖，有時需要十幾分鐘，大大浪費了寶貴的授課時間.由于多媒體投影屏幕大，有利于大班授課，比較適合當(dāng)前擴招的現(xiàn)狀.一些優(yōu)秀的數(shù)學(xué)軟件，像Mathematica、Matlab等在我們的教學(xué)過程中合理使用也會起到事半功倍的效果.多媒體課件與板書一樣是輔助講課的.利用數(shù)學(xué)軟件與多媒體授課，學(xué)生能把視聽結(jié)合起來，信息量大，老師有更多的時間幫助學(xué)生掌握復(fù)變函數(shù)的思想和方法，理解其本質(zhì)與精髓.因此，利用多媒體授課即能豐富教學(xué)內(nèi)容，開闊認(rèn)知領(lǐng)域，擴大學(xué)生的視野，也使教學(xué)的互動性成為可能，解決了復(fù)變函數(shù)課時偏少的問題［5］.在定義復(fù)平面上的無窮遠(yuǎn)點、描述擴充復(fù)平面和復(fù)球面的對應(yīng)關(guān)系以及表示共形映射時，采用多媒體投影，學(xué)生反應(yīng)強烈，情緒高漲.多媒體課件的制作花費大量的時間和精力，教師若將更多的精力放在課件的外觀、功能、效果的設(shè)計上，沒有花時間鉆研教材教法或忽視了教材教法的研究是不可取的，多媒體是用來支持教學(xué)工作，主要用來解決一些傳統(tǒng)教學(xué)中不易解決的問題.

4 結(jié)語

復(fù)變函數(shù)的講授重在讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)理邏輯思維和創(chuàng)新能力，培養(yǎng)學(xué)生的社會活動能力，這對教師提出了更高的要求.我們必須轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)教學(xué)觀念，大膽進行教學(xué)改革，嘗試不同的教學(xué)方法與教學(xué)手段，加強教師與學(xué)生的互動，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，不斷提高課堂效率和教學(xué)效果.

［1］谷群輝，鄭洲順，何勇，等.本科應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)復(fù)變函數(shù)課程教學(xué)方法的改革與實踐［J］.數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用，2002，(4):23 －25.

［2］鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論［M］.北京:高等教育出版社，2004.

［3］陳躍.從歷史的角度引入復(fù)積分［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2007，(1):14－17.

［4］劉小松.高校師院復(fù)變函數(shù)課程的教改［J］.湘潭師范學(xué)院學(xué)報，2007，(4):175 －176.

［5］肖杰，陳翔.大學(xué)計算機精品課程教學(xué)改革與實踐［J］.長沙大學(xué)學(xué)報，2011，(5):118 －120.