牟金平

（臺州學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院，浙江 臨海 317000）

隨著專業(yè)建設(shè)的深入，許多高校為不同專業(yè)的學(xué)生安排了大量的專業(yè)課和公共課。這些專業(yè)每周的課時非常緊張，甚至有些課被安排在晚上來完成。在這種情況下，成功的教學(xué)取決于兩個因素:一方面，學(xué)生本身要能合理地安排時間，包括學(xué)習(xí)、生活等；另一方面，教師能提供高效的課堂教學(xué)。

實際上，從學(xué)生的平時學(xué)習(xí)習(xí)慣和微積分課程期末考試的結(jié)果發(fā)現(xiàn)，相當(dāng)一部分的學(xué)生不能有效地安排學(xué)習(xí)時間，教師的課堂教學(xué)也存在一些問題。具體表現(xiàn)在以下兩方面:一方面，有些學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣差，整體上表現(xiàn)為班級的學(xué)風(fēng)差，最終體現(xiàn)為考試不及格的人數(shù)眾多等；另一方面，由于有些高校習(xí)慣于大班教學(xué)，教師偏重于講授式授課，課堂中缺乏必要的互動，教師并沒有提供高效的微積分課堂教學(xué)。由此可見，在普通高校中，微積分的教學(xué)效率還有待于進(jìn)一步提高。

1 微積分的教學(xué)研究現(xiàn)狀

近幾年，國內(nèi)外許多教學(xué)工作者對高等學(xué)校的微積分教學(xué)展開廣泛的研究，得出大量關(guān)于提高教學(xué)效率的研究成果。根據(jù)認(rèn)知學(xué)、認(rèn)知負(fù)荷理論和既定的實例，Miller David對微積分的課堂教學(xué)提出“三步”機制，以此提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率和自學(xué)能力［1］。文獻(xiàn)［2］把研究性教學(xué)引入到微積分的教學(xué)中，通過把課堂教學(xué)分成確定問題、研究問題、發(fā)展探索三個階段，讓學(xué)生參與到微積分課程的學(xué)習(xí)中。文獻(xiàn)［3］提出以“推遲判斷”為特征的概念教學(xué)，同時加強發(fā)現(xiàn)思維能力的培養(yǎng)，鼓勵不同見解，培養(yǎng)“求異思維”品質(zhì)。文獻(xiàn)［4］強調(diào)從重視緒論課的教學(xué)、注重教學(xué)方法和教學(xué)手段的多樣化、滲透建模思想、加強數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)文化的教學(xué)等方面探討了對提高“微積分”教學(xué)質(zhì)量的認(rèn)識。以引例為基礎(chǔ)，文獻(xiàn)［5］探討了引例在微積分概念教學(xué)中的意義。

上述所列的文獻(xiàn)從多方面提出了提高微積分教學(xué)效率的若干策略，這些策略側(cè)重于課前準(zhǔn)備、課堂上如何落實教學(xué)任務(wù)等。但是，對于如何設(shè)置師生互動，并以此來提高課堂教學(xué)效率的問題尚未引起足夠的重視。事實上，微積分的課堂教學(xué)并不是對所準(zhǔn)備教案的簡單體現(xiàn)，如果課堂教學(xué)中缺乏必要的師生互動，則微積分的教學(xué)就不一定能成功。因此，適當(dāng)?shù)卦黾訋熒?，以此來提高教學(xué)效率顯得尤為重要。

在微積分的課堂教學(xué)中，要實現(xiàn)適當(dāng)?shù)膸熒?，教師可以在上課的各個階段（如引入新內(nèi)容、講授新內(nèi)容和課堂練習(xí)等環(huán)節(jié)）精心設(shè)計相關(guān)的課堂問題來實現(xiàn)。近幾年來，對于如何設(shè)計課堂問題、提高課堂教學(xué)效率等問題，許多教學(xué)同行對其進(jìn)行多方面的研究（如［6，7］）。文獻(xiàn)［6］提出了教師如何重視課堂問題的質(zhì)量、重視師生互動和問題解答過程；文獻(xiàn)［7］指出課堂提問要隨機應(yīng)變，如問題最好安排在學(xué)生的興趣點、教學(xué)內(nèi)容的難點、思維的發(fā)散點、知識的聚合點、知識的正遷移點和問題的梯度點處提問，并且提問時要注意時間和問題反饋等。

2 課堂問題在微積分教學(xué)各環(huán)節(jié)中的實施

在微積分的教學(xué)中，教師的活動是課堂的焦點，在整個教學(xué)過程中起主導(dǎo)作用，學(xué)生是教學(xué)活動的主體，以平等的身份與教師互動。在此過程中，吸引學(xué)生的注意力，讓他們饒有興趣、平等地參與教學(xué)活動是成功教學(xué)的關(guān)鍵。以下針對教學(xué)過程中的復(fù)習(xí)與引入、講述新內(nèi)容、有指導(dǎo)的練習(xí)、小結(jié)和課外練習(xí)分別探討設(shè)計相應(yīng)的課堂問題。

2.1 復(fù)習(xí)與引入

眾所周知，復(fù)習(xí)與引入對于上好一節(jié)課非常重要，其地位相當(dāng)于學(xué)生對本節(jié)課的第一印象。通常情況下，一方面，由于課時和大班學(xué)生人數(shù)的限制，教師可能忽視了課堂問題的設(shè)置；另一方面，有時教師急于完成教學(xué)任務(wù)，簡要地重復(fù)上次的講課內(nèi)容。這種簡單而枯燥的重復(fù)對本次講課的引入無多大益處，反而可能會引起學(xué)生對本節(jié)課的反感。想要從上課一開始就吸引學(xué)生的注意力，并使得他們對教師的講課內(nèi)容感興趣，比較有效的方法是以課堂問題的形式給出復(fù)習(xí)的內(nèi)容。這樣，教師能在很大程度上吸引學(xué)生的注意力，為上好這節(jié)課做了一個好的開端。

為了使學(xué)生能繼續(xù)積極地參與教學(xué)活動，教師要找出復(fù)習(xí)內(nèi)容與新內(nèi)容的切入點，并適當(dāng)“美化”切入點。所謂內(nèi)容的切入點通常指前次課與本次課內(nèi)容相關(guān)的連接點。事實上，教師要找出這樣的切入點并不難。但是，光找出切入點是不夠的，切入點也許沒有足夠的吸引力，這就需要適當(dāng)?shù)亍懊阑鼻腥朦c，使之內(nèi)容豐富、形象“有血有肉”。如高等數(shù)學(xué)教材中導(dǎo)數(shù)的概念可作為切入點，因為導(dǎo)數(shù)的定義是由前面的極限來刻畫的，此處就是連接前面內(nèi)容的連接點。而其中的引例—“求質(zhì)點變速直線運動的速度”可以用來美化它，即導(dǎo)數(shù)可以解決質(zhì)點變速直線的速度問題，這是公式v=s/t所不能直接解決的，并且導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性、凹凸性和極值等眾多性質(zhì)的重要工具。

從已有的知識背景引入到新內(nèi)容，教師要講清其中的知識背景，已有儲備知識的局限性、有效性以及引出新知識的必要性、優(yōu)越性和延續(xù)性、以及解決其中關(guān)鍵問題的簡單措施等。這樣，教師不僅能給出美觀的切入點，還能給學(xué)生一個清晰的知識框架結(jié)構(gòu)，開闊學(xué)生的視野，增加學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課的興趣。把握切入點，教師以適當(dāng)?shù)男问浇o出問題，這包括隨機提問、自問自答、點名提問等。對于學(xué)生的回答，教師應(yīng)給出適當(dāng)?shù)脑u價，并實施相應(yīng)的激勵措施，使得學(xué)生延續(xù)其積極思考的正遷移。

2.2 講述新內(nèi)容

一般地，講授新內(nèi)容是落實微積分“基本理論、基本知識、基本技能”的主要過程。在這個過程中，教師要落實知識重點，化解其中的難點，并且教師需要及時把握學(xué)生的掌握情況。當(dāng)前，在講授新內(nèi)容時，講授式教學(xué)法正廣泛地被高校教師所采用。但是，如果整堂課單純地使用講授式教學(xué)，教師過分地占主導(dǎo)地位，忽視學(xué)生的主體地位，這種方式通常被劃入“注入式”的范疇，其結(jié)果一般是教學(xué)效率低下。如果講授式能適當(dāng)?shù)亟Y(jié)合課堂提問，準(zhǔn)確地把握新內(nèi)容中的興趣點、重點、發(fā)散點、聚合點、和梯度點，精心設(shè)計相應(yīng)的小問題，以適當(dāng)?shù)男问教岢鰡栴}，則既能充分體現(xiàn)教師的主導(dǎo)地位，又能充分地發(fā)揮學(xué)生的主動性，師生之間不乏互動。因此，如果講授式能充分地與課堂問題相結(jié)合，則講授式能成為微積分課堂教學(xué)中一種高效的教學(xué)方式。

通常地，微積分的知識密度大、難點多，教學(xué)任務(wù)繁重。在講解中，抽象的定理證明、復(fù)雜的公式推導(dǎo)和有些例題都會增加學(xué)生的學(xué)習(xí)困難。教師惟有在講解每一塊內(nèi)容時適當(dāng)?shù)卦O(shè)計問題，并分解過于集中的難題，把分解后的每個小問題變成一個相對較易的思考題，這樣，教師能吸引學(xué)生的注意力，并能與學(xué)生共同解決問題。

眾所周知，對大學(xué)新生來說，極限的概念極其抽象。同樣，對教師來講，極限及其相關(guān)性質(zhì)的知識密度大、難點集中，這部分內(nèi)容不易講解。而從表面上看，學(xué)生已經(jīng)具備部分極限的相關(guān)知識，似乎這部分的內(nèi)容只要簡要介紹即可。從這個角度出發(fā)，教師可以花費很少的時間就可以完成教學(xué)任務(wù)，而事實并非如此。通過比較不難發(fā)現(xiàn)，中學(xué)里所列舉的極限概念是從定性角度給出的，缺乏嚴(yán)密的量化刻畫，而高校微積分中的極限概念是從定量角度給出的，定義嚴(yán)謹(jǐn)并具有嚴(yán)密的邏輯性。從培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力上看，定量刻畫極限的要求遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于其定性的描述，因此，筆者認(rèn)為，這部分的內(nèi)容不可馬虎處理。

如何講解數(shù)列極限及其相關(guān)的性質(zhì)，能讓學(xué)生充分理解、掌握其中的內(nèi)容？找出其中的興趣點、難點、發(fā)散點、梯度點等是成功解決這個問題的前提，設(shè)置相關(guān)的課堂問題是解決這個問題的有效手段，及時把握學(xué)生的動態(tài)是成功解決這個問題的保障。事實上，為什么要重新學(xué)習(xí)極限的概念？這里極限的概念是怎么描述的？這些問題都是學(xué)生感興趣的，即極限的另一種描述是一個興趣點，而極限定義中可任意給定的正數(shù)與“無限接近”是本節(jié)課的難點。筆者曾嘗試作如下分解:什么是任意給定的正數(shù)？用什么量去刻畫接近程度？解決這兩個問題后，教師可給出“數(shù)列無限接近某個數(shù)實際上指任意給定一個范圍（接近程度），除了有限點以外，數(shù)列中的無限多個點都落在事先指定的范圍內(nèi)”。在接下來的內(nèi)容中，極限的性質(zhì)是本節(jié)課的發(fā)散點，從前面的性質(zhì)一直到數(shù)列極限的保號性，這段范圍內(nèi)存在一個梯度點。另外，收斂數(shù)列的保號性也是本節(jié)課的一個難點，教師需要恰當(dāng)?shù)胤纸怆y點，逐一設(shè)置問題講解。此外，教師要及時地把握學(xué)生的動態(tài)，充分考慮學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，使“學(xué)”和“教”的節(jié)奏保持一致。這樣，教師才能順利地完成教學(xué)計劃。

在課時少的大班和混合班的微積分教學(xué)中，師生共同解決相關(guān)的課堂問題是增加師生互動的有效途徑。在這個教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師能成功地落實“三基”中的基本知識、基本理論，至于如何落實基本技能還得借助于下面的環(huán)節(jié)，即課堂練習(xí)或課外作業(yè)。

2.3 課堂練習(xí)

如果有足夠的時間，課堂練習(xí)是一個很好的師生互動環(huán)節(jié)。如在一般的微積分教材中，編者安排了大量導(dǎo)數(shù)的習(xí)題。當(dāng)然，這些習(xí)題有多方面的用途，如可用作課內(nèi)練習(xí)、課外作業(yè)、學(xué)生自學(xué)等。針對課堂教學(xué)中的知識要點，適當(dāng)?shù)睾Y選課后的練習(xí)，有步驟、有梯度地訓(xùn)練學(xué)生。針對練習(xí)過程中存在的問題，教師精心設(shè)計與新內(nèi)容緊扣的若干問題，做到有的放矢，適當(dāng)?shù)靥釂柡徒獯鹁毩?xí)中的問題。

課堂練習(xí)是落實學(xué)生掌握基本技能的重要途徑，教師有必要認(rèn)真設(shè)計、講解其中的若干問題，其重要性不亞于基本知識和基本理論的落實。當(dāng)然，如果時間有限，客觀上不允許教師安排課堂練習(xí)，在這種情況下，教師通過適當(dāng)?shù)夭贾谜n外作業(yè)，讓學(xué)生在課外自學(xué)中掌握基本技能。

2.4 小結(jié)和課外作業(yè)

小結(jié)是一節(jié)課的結(jié)束點，同時又是連接下一次課的紐帶。帶著問題去思考剛學(xué)過的知識，既能梳理教學(xué)內(nèi)容，也能讓大多數(shù)的學(xué)生積極參與到教學(xué)活動的最后環(huán)節(jié)中來。同理，課外作業(yè)也有雙重的功效:一方面，課外作業(yè)能夠幫助學(xué)生掌握必要的知識和技能，另一方面，含有精心設(shè)計問題的課外作業(yè)能夠把學(xué)生吸引到后續(xù)學(xué)習(xí)的軌道上來。

從本質(zhì)上看，上述的各個環(huán)節(jié)實際上是師生共同發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題和情感體驗的過程。在教學(xué)的不同環(huán)節(jié)中，教師若能精心地設(shè)計諸多的小問題，并給出合理的激勵措施，就能夠盡大可能地把學(xué)生引入到教學(xué)活動中來。這樣，教師的教和學(xué)生的學(xué)都會有很高的效率。高效的教學(xué)效率有助于把學(xué)生從繁忙的“事務(wù)堆”里解放出來，便于他們自主、合理地安排各課程的學(xué)習(xí)，從整體上有利于學(xué)生的成長。

3 結(jié)束語

課堂問題在微積分的教學(xué)中非常重要，它能有效地增加師生互動，提高課堂教學(xué)效率。事實上，提高微積分的課堂教學(xué)效率有多種途徑和方法，其中解決問題方式的藝術(shù)性、方式的優(yōu)劣將直接影響到教學(xué)效率的高低，而這方面的探索將是深遠(yuǎn)的也是無止境的。

［1］Miller,David.Using a Three-Step Method in a Calculus Class:Extending the Worked Example ［J］.College Teaching,58（3）（2010）:99-104.

［2］趙建彬,朱華.研究性教學(xué)方法在微積分課程教學(xué)中的應(yīng)用［J］.高等函授學(xué)報 （自然科學(xué)版）,2012,25（1）:11-12.

［3］陶瑞霞，樊愛萍.微積分教學(xué)方法的一些嘗試［J］.山西煤炭管理干部學(xué)院學(xué)報，2012,25（2）:153-155.

［4］樊艮. 微積分教學(xué)的有效性的探討［J］. 中國西部科技，2011,10（3）:92-93.

［5］陳明玉.探析微積分概念的引例教學(xué)［J］.中國科技信息,2010,10:22-229.

［6］湯秀芳.初中數(shù)學(xué)課堂提問誤區(qū)及避免策略［J］.高校講壇,2012,24:97-97.

［7］方振東.中學(xué)數(shù)學(xué)課堂提問的有效策略［J］.教育科研論壇,2013,3:60-61.