吳亞敏

（鄂東職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湖北 黃岡438000）

0 引言

希爾伯特空間H（Hilbert space）由大衛(wèi)·希爾伯特提出，是一個(gè)完備的內(nèi)積空間.它是有限n維歐幾里得空間Rn向無(wú)窮維空間的推廣，又稱(chēng)為無(wú)窮維歐幾里得空間，也是巴拿赫空間B（Banach space）的特例.巴拿赫空間B是一個(gè)完備的賦范線性空間.

希爾伯特空間H首先是一個(gè)內(nèi)積空間，其上有距離和角度的概念，以及由此引伸而來(lái)的正交性和垂直性概念和結(jié)果；其次希爾伯特空間H還是一個(gè)完備的空間，其上所有的柯西列等價(jià)于收斂列，從而微積分的大部分概念和結(jié)果都可以推廣到希爾伯特空間H中.希爾伯特空間H為基于任意正交系上的多項(xiàng)式表示的傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換提供了一種有效的表達(dá)式，這也是泛函分析研究的基本對(duì)象之一，并且成為量子力學(xué)，積分方程，正交級(jí)數(shù)理論等方面研究問(wèn)題的重要工具.

對(duì)于一個(gè)希爾伯特空間H來(lái)說(shuō)，維數(shù)的概念可以有兩種涵義.由于希爾伯特空間H是一個(gè)由向量組成的線性空間，它有一個(gè)線性維數(shù)，又由于希爾伯特空間H還是一個(gè)由向量組成的內(nèi)積空間，它又有一個(gè)正交維數(shù).統(tǒng)一理解和比較這兩個(gè)概念，必須明確希爾伯特空間H的所有基（basis）有共同的基數(shù)（cardinal number），然后把所有基的這個(gè)共同的基數(shù)定義為相應(yīng)的維數(shù).這兩個(gè)概念的區(qū)別在于基的定義不同[1].希爾伯特空間H的Hamel基（也叫做線性基）指的是希爾伯特空間H的極大線性無(wú)關(guān)子集（如果一個(gè)無(wú)窮集的每一個(gè)有限子集都是線性無(wú)關(guān)的，而且每一個(gè)向量是任一Hamel基中有限個(gè)向量的線性組合，那么這個(gè)無(wú)窮集稱(chēng)為線性無(wú)關(guān)的）.希爾伯特空間H的Schauder基（也叫正交基）指的是希爾伯特空間H的一個(gè)極大標(biāo)準(zhǔn)正交子基（對(duì)線性理論來(lái)說(shuō)，有限項(xiàng)展開(kāi)式的合適的類(lèi)比是希爾伯特空間中常用的富里葉展開(kāi)式）.

1 主要結(jié)果

定理1 如果一個(gè)希爾伯特空間H的線性維或正交維中有一個(gè)為有限的，那么另一個(gè)也是有限的，且兩者相等.

證明 若希爾伯特空間H的線性維或正交維中有一個(gè)是有限的，則希爾伯特空間H一定是有限的n維歐幾里得空間Rn，而有限的n維歐幾里得空間Rn中極大線性無(wú)關(guān)向量組與極大標(biāo)準(zhǔn)正交基可以相同，因此希爾伯特空間H線性維數(shù)與正交維數(shù)相等，都是有限的n維.

推論n維希爾伯特空間H與n維歐幾里得空間Rn同構(gòu)[2].

定理2 如果一個(gè)希爾伯特空間H正交維是無(wú)窮的，那么其線性維大于或等于（2的次方）.

證明 主要依據(jù)是集合論中一個(gè)有著若干應(yīng)用的奇妙結(jié)論:存在一個(gè)以正整數(shù)集的無(wú)窮子集為元素的具有基數(shù)為（2的0次方）的集類(lèi)｛Jt｝，使當(dāng)s≠t時(shí)均有Js∩Jt有限.下面介紹這種集類(lèi)的構(gòu)造法:由于正整數(shù)與有理數(shù)之間有著一一對(duì)應(yīng)，只須證明具有上述性質(zhì)的諸有理數(shù)集的存在性即可.這又只須對(duì)每一實(shí)數(shù)t，令Jt表示以t為其唯一聚點(diǎn)的無(wú)窮有理數(shù)集即可.

現(xiàn)在假設(shè)｛e1，，e2，e3…｝是希爾伯特空間H的一個(gè)可數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正交集，又令（富里葉展開(kāi)式）是一個(gè)任意向量，它使得對(duì)一切n都有ξn≠0.如果｛Jt｝是如上所述的一個(gè)正整數(shù)集類(lèi)，記，可以肯定，向量集｛ft｝線性無(wú)關(guān).事實(shí)上，設(shè)有諸f的一個(gè)有限線性組合為0，即，由于對(duì)每一個(gè)i≠1，集Jt1含有無(wú)窮多個(gè)不屬于Jti的整數(shù)，得知Jt1至少含有一個(gè)整數(shù)，如n，不屬于任一Jt1（i≠1），由此推知α1ξn＝0，由ξn≠0，得α1＝0.同理可證對(duì)每一個(gè)i＝1，2，…，n，都有αi＝0.

推論1 希爾伯特空間H的線性維數(shù)大于或等于正交維數(shù).

推論2 無(wú)窮維希爾伯特空間H有一正交子集與正整數(shù)集同構(gòu).

推論3 無(wú)窮維希爾伯特空間H有一線性無(wú)關(guān)子集與實(shí)數(shù)集同構(gòu).

2 例證

例1:每一個(gè)無(wú)窮維希爾伯特空間H包含L2（0.1），f（t）表示區(qū)間[0，t]上的特征函數(shù)，0＜t≤1，形成具有基數(shù)為（2的次方）的線性無(wú)關(guān)集.

例2:每一個(gè)無(wú)窮維希爾伯特空間H包含l2，向量g（t）＝（1，t，t2，…），0＜t＜1，構(gòu)成具有基數(shù)為（2的次方）的線性無(wú)關(guān)集.

上面一系列結(jié)果說(shuō)明在希爾伯特空間H中，正交維數(shù)比線性維數(shù)更為基礎(chǔ)更為重要，因此在希爾伯特空間H等理論文獻(xiàn)[3]中的“維數(shù)”一般總是指正交維數(shù).無(wú)窮維希爾伯特空間H是最接近于n維歐幾里得空間Rn的無(wú)窮維空間.

[1]李梧齡.組合希爾伯特空間和代數(shù)——量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[J].自然雜志，1987（6）:9－14

[2]鄭利凱.希爾伯特空間上的L測(cè)度和L積分[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2011，29（2）:136－139

[3]馬吉溥.Hilbert空間中子空間的維數(shù)與B（H）中算子的指標(biāo)[J].南京大學(xué)學(xué)報(bào)（數(shù)學(xué)半年刊），1996，13（1）:1－8