曹深西，陳子燊

（中山大學(xué) 水資源與環(huán)境系，廣東 廣州 510275）

風(fēng)災(zāi)是廣東最為嚴(yán)重的自然災(zāi)害之一，主要發(fā)生于夏季，沿海地區(qū)發(fā)生頻率較高。風(fēng)災(zāi)不僅自身具有巨大的破壞性，還會(huì)帶來嚴(yán)重的次生災(zāi)害，威脅人民的生命財(cái)產(chǎn)安全，引起系列社會(huì)問題。在土木工程設(shè)計(jì)中，特別是高大土木工程結(jié)構(gòu)中，風(fēng)荷載成為最主要的荷載之一。由于在風(fēng)工程中，結(jié)構(gòu)不僅要承受過去一個(gè)時(shí)段內(nèi)的風(fēng)速，還要保證某一規(guī)定期限內(nèi)的結(jié)構(gòu)能安全可靠的承受可能經(jīng)受的風(fēng)速，在設(shè)計(jì)風(fēng)速時(shí)，不僅要考慮一定時(shí)期內(nèi)結(jié)構(gòu)的安全性，還要考慮設(shè)計(jì)的合理性，以保證不過高的設(shè)計(jì)指標(biāo)而導(dǎo)致資源的浪費(fèi)，因此極值風(fēng)速的計(jì)算就顯得非常重要（Palutikof，1999）。

隨著極值理論的發(fā)展，學(xué)者把極值理論引入到極值風(fēng)速的計(jì)算，在計(jì)算極值風(fēng)速過程中，誤差主要來自3個(gè)方面：樣本的選取、模型的選取和模型擬合中的參數(shù)估計(jì)（段忠東，2002）。在過去的幾十年中，大量學(xué)者和工程人員通過理論推導(dǎo)和統(tǒng)計(jì)計(jì)算對極值理論在風(fēng)速領(lǐng)域方面的應(yīng)用做了大量研究，以期減小計(jì)算中的各個(gè)環(huán)節(jié)的誤差，提高極值風(fēng)速的計(jì)算精度。

本文主要根據(jù)極值理論的3個(gè)模型對廣東9個(gè)沿海氣象站的極值風(fēng)速統(tǒng)計(jì)計(jì)算，以探討這些模型在廣東沿海的應(yīng)用效果。

1 抽樣方法與模型介紹

1.1 抽樣方法方法

AM（Annual Maximum，年最大值方法）抽樣方法是每年取一個(gè)最大值組成一個(gè)新的序列。Gumbel（1958）提出每年的洪水序列中的最大值組成的極值序列，可以用極值分布去擬合，奠定了經(jīng)典極值分布的基礎(chǔ)。

由于AM方法每年只抽取一個(gè)數(shù)據(jù)，造成了數(shù)據(jù)的浪費(fèi)，而在許多領(lǐng)域，觀測時(shí)間不夠長，只能得到較小的樣本，樣本太小又會(huì)產(chǎn)生較大的樣本誤差，因此為了增加被分析的有效數(shù)據(jù)量，以減小樣本量太小造成的誤差，3種主要的抽樣方法被提出：r-LOS（r-largest order statistics）、POT（Peak over threshold）和 MIS（Method of Independent Storm）。r-LOS（Ying，2007）是每年選取前 r個(gè)最大的次序統(tǒng)計(jì)量組成極值序列；MIS抽樣方法的解釋見文獻(xiàn)（Harris，1999）；POT方法是選取給定的閾值（充分大）以上的觀測值組成極值序列，在洪水頻率的計(jì)算中也被稱為PDS（Partial duration series）（Palutikof，1999）。學(xué)者和工程人員（Pickands， 1975；De， 1994；Hosking， 1985；Hosking，1987；Davison，1990；Simiu，1996）對此方法做了大量研究并廣泛應(yīng)用于工程實(shí)際。

1.2 Gumbel和GEV分布

Fisher和Tippett（1928）在對獨(dú)立同分布的極大值漸進(jìn)分布進(jìn)行研究時(shí)提出了3種極值分布，分別稱為極值Ⅰ型（Gumbel分布）、極值Ⅱ型（Fréchet分布）和極值Ⅲ型（Weibull分布）。

極值Ⅰ型：

極值Ⅱ型：

極值Ⅲ型：

上面的式中為位置參數(shù)，σ為尺度參數(shù)，ξ為形狀參數(shù)。

Von（1936）把3個(gè)極值分布統(tǒng)一到一個(gè)形式，稱為GEV分布（Jenkinson，1955）：

當(dāng)時(shí)ξ→0，為極值Ⅰ型分布（Gumbel分布）；當(dāng)ξ＜0時(shí)，為極值Ⅱ型分（Fréchet分布）；當(dāng)ξ＞0時(shí)，為極值Ⅲ型（We分布）。

1.3 廣義pareto分布（GPD)

Pickand（1975）給出 閾值的超出量的漸近分布，即GPD分布。

如果隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為：

則稱X服從GPD分布。式中u為位置參數(shù)，σ為尺度參數(shù)，ξ為形狀參數(shù)。

設(shè)X的分布函數(shù)為F（x），如果Xup為其支撐上端點(diǎn)，X超過閾值u的超出量分布為Fu（x），如果存在廣義pareto分布G（x），使得

則稱X屬于廣義pareto分布的POT吸引場。

其中GEV分布屬于GPD的POT吸引場，GPD本身屬于GPD的POT吸引場，且形狀參數(shù)不變，后者又稱為GPD的POT穩(wěn)定性（史道濟(jì)，2006）。

GPD還有一個(gè)重要的性質(zhì)，就是GPD超出量函數(shù)是域值u的線性函數(shù)，即

式中σ為尺度參數(shù)，ξ為形狀參數(shù)。

這個(gè)性質(zhì)可以作為實(shí)際應(yīng)用中選取閾值的標(biāo)準(zhǔn)。

樣本的超出量函數(shù)en（u）可以根據(jù)下面的公式進(jìn)行估計(jì)：

式中n為樣本數(shù)。

超閾值峰量數(shù)符合泊松分布：

式中，λ為年平均發(fā)生的超量數(shù)，也稱為年率。

1.4 參數(shù)估計(jì)方法

模型參數(shù)的估計(jì)是計(jì)算極值風(fēng)速很重要的一步，為了得到更好的參數(shù)，各種參數(shù)估計(jì)方法被提出和應(yīng)用到極值分布模型。

Gumbel模型的參數(shù)估計(jì)方法中，最佳線性無偏估計(jì)（BULE）方法得到了廣泛的應(yīng)用；Harris（1996）對Gumbel模型進(jìn)行了改進(jìn)，采用權(quán)重最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)；學(xué)者首先求得Gumbel分布的矩估計(jì)公式，并在其基礎(chǔ)上提出概率權(quán)重矩（PWM）和線性矩（LM），并在Gumbel分布取得比較好的應(yīng)用效果；對于大樣本，性能優(yōu)良的最大似然估計(jì)會(huì)得到更好的參數(shù)。

GPD模型的參數(shù)估計(jì)方法包括Pickand法和超出量函數(shù)法（CME）法，De（1994）提出的 De Hann法，Hosking等學(xué)者對概率權(quán)重矩、線性矩和最大似然估計(jì)在GPD模型中的應(yīng)用進(jìn)行了研究。

經(jīng)驗(yàn)分布是參數(shù)估計(jì)的一個(gè)重要方面，本文使用的經(jīng)驗(yàn)分布公式為數(shù)學(xué)期望公式：pei=m/N+1，其中pei表示經(jīng)驗(yàn)分布頻率，m為樣本數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列后，樣本點(diǎn)的序列號(hào)，N表示樣本數(shù)。

1.5 擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

擬合優(yōu)度的檢驗(yàn)有很多種方法，本文選取PPCC（probabilityplotcorrelationcoefficient）、RMSE（root mean square error）檢驗(yàn)指標(biāo)作為評估模型適用性的依據(jù)。PPCC和RMSE的計(jì)算公式為：

式中，xi表示實(shí)測樣本排序后的觀測值，xm為xi的平均值，xei表示經(jīng)驗(yàn)分布頻率的pei對應(yīng)的分位數(shù)，xem為xei的平均值。

2 實(shí)例研究

2.1 地區(qū)情況和數(shù)據(jù)描述

廣東省位于亞洲大陸的東南部、太平洋西岸，瀕臨南海，受到3種季風(fēng)氣團(tuán)的影響，構(gòu)成了特殊的季風(fēng)氣候條件。大風(fēng)天氣成因比較復(fù)雜，從大的方面來看，造成廣東各地出現(xiàn)最大風(fēng)速的天氣系統(tǒng)，主要是臺(tái)風(fēng)，其次是寒潮。

本文選取的這9個(gè)站點(diǎn)資料源于國家氣象信息中心。測站分布在廣東的沿海地帶，受臺(tái)風(fēng)影響嚴(yán)重，而且由此帶來的暴雨和風(fēng)暴增水往往都對這些地區(qū)的造成災(zāi)害，因此精確推求最大風(fēng)速，不僅為工程設(shè)計(jì)中的風(fēng)荷載提供可靠的參考依據(jù)，而且對由此引起的次生災(zāi)害的防御工作也有重要意義。

觀測氣象站的編號(hào)和觀測數(shù)據(jù)的有效時(shí)段見表1，本文選取的數(shù)據(jù)為日最大風(fēng)速。

表1 數(shù)據(jù)來源和描述

2.2 GEV和Gumbel對AM抽樣數(shù)據(jù)的擬合

根據(jù)經(jīng)典極值理論，使用AM抽樣方法分別對9個(gè)沿海站點(diǎn)的日最大風(fēng)速進(jìn)行抽樣，得到9個(gè)站點(diǎn)的極值序列，然后分別使用Gumbel和GEV模型對9個(gè)極值序列進(jìn)行擬合。Gumbel模型的參數(shù)通過MOM、PWM、ML和LSM方法求取，四種方法得到的PPCC和RMSE指標(biāo)很相近，本文最終選擇在大多數(shù)站點(diǎn)都表現(xiàn)得更好的PWM參數(shù)估計(jì)方法；GEV模型的參數(shù)估計(jì)方法利用PWM和ML兩種參數(shù)估計(jì)方法，由于PWM方法表現(xiàn)更好，因此GEV模型也選取PWM參數(shù)估計(jì)方法；廣州、汕頭、湛江和陽江站的擬合圖見圖1、2、3、4，其他站點(diǎn)的擬合圖略。

圖2 Gumbel和GEV模型擬合汕頭站最大風(fēng)速

圖4 陽江最大風(fēng)速GEV和Gumbel擬合

表2 3個(gè)模型的參數(shù)與擬合優(yōu)度指標(biāo)

2.3 GPD模型對POT抽樣數(shù)據(jù)的擬合

根據(jù)POT方法對9個(gè)站點(diǎn)的日最大風(fēng)速數(shù)據(jù)進(jìn)行抽樣。根據(jù)極值分布理論，在增加有效數(shù)據(jù)量的同時(shí)必須保證數(shù)據(jù)的獨(dú)立同分布，因此本文采取改進(jìn)的POT抽樣方法。第一，選取8天作為最小時(shí)間間隔，最小時(shí)間間隔內(nèi)的最大值如果超過給定閾值，則被選取組成極值序列；第二，為了保證閾值足夠大，選取歷年最大值中的最小值作為備選閾值的最小值。

閾值的選取是GPD模型的重要內(nèi)容，本文根據(jù)以下條件選取閾值。第一，為了滿足GPD模型對數(shù)據(jù)的要求，我們選取年率大于1小于4；第二，每年的超出量數(shù)序列服從Possion分布，并采用卡方檢驗(yàn)方法進(jìn)行檢驗(yàn)。第三，用GPD模型擬合滿足條件的閾值下的極值序列，采用PWM、ML參數(shù)估計(jì)方法求取參數(shù)，計(jì)算模型的擬合優(yōu)度指標(biāo)，選取擬合優(yōu)度指標(biāo)最優(yōu)的閾值。圖5、6、7、8為汕頭、廣州、陽江和湛江氣象站的GPD擬合圖。

圖6 汕頭最大風(fēng)速GPD擬合圖

圖7 湛江最大風(fēng)速GPD擬合圖

圖8 陽江最大風(fēng)速GPD擬合圖

2.4 結(jié)果分析

由表2可知9個(gè)站點(diǎn)的GEV模型和Gumbel模型的尺度參數(shù)和位置參數(shù)相近，GEV的形狀參數(shù)有4個(gè)站點(diǎn)大于0，5個(gè)站點(diǎn)小于0。如果形狀參數(shù)大于0，分布為極值Ⅲ型，曲線上凸，如圖1、3所示；如果形狀參數(shù)小于0，分布為極值Ⅱ型，曲線下凸，如圖2所示；凸凹程度取決于形狀參數(shù)絕對值的大小，當(dāng)形狀參數(shù)的絕對值很小時(shí)，如陽江站，曲線幾乎與Gumbel重合，Gumbel模型為直線，如圖4所示。兩個(gè)模型計(jì)算的極值風(fēng)速值見表3。

由于GEV模型具有形狀參數(shù)的調(diào)節(jié)，比Gumbel模型更靈活，在9個(gè)站點(diǎn)中的擬合效果也比Gumbel更好。而由于廣州和陽江的形狀參數(shù)的絕對值很小，GEV模型的的RMSE指標(biāo)稍微差于Gumbel模型。

理論上GEV的形狀參數(shù)應(yīng)該和GPD的相同，但在9個(gè)站點(diǎn)中，GPD模型中的形狀參數(shù)的差別較大，還有3個(gè)站點(diǎn)GEV和GPD的形狀參數(shù)符號(hào)不一，本文認(rèn)為這是由于樣本太小造成的誤差。GPD模型的形狀參數(shù)與GEV一樣，形狀參數(shù)的符號(hào)和大小對其分布的形態(tài)有很大影響，尤其對極值風(fēng)速的估計(jì)，重現(xiàn)期越大，所推算的極值風(fēng)速對形狀參數(shù)越敏感。9個(gè)站點(diǎn)中8個(gè)站點(diǎn)的形狀參數(shù)為負(fù)，其中6個(gè)站點(diǎn)GPD模型估計(jì)的50年以上重現(xiàn)期的估計(jì)值比Gumbel模型大，湛江和上川島由于形狀參數(shù)絕對值很小，與Gumbel模型估計(jì)的結(jié)果相近（表3）。

GPD模型的9個(gè)站點(diǎn)的兩項(xiàng)擬合指標(biāo)中，只有汕頭站的PPCC指標(biāo)較GEV模型稍差，為此可以認(rèn)為GPD模型可以更好地?cái)M合歷史數(shù)據(jù)。由于GPD模型應(yīng)用了更多的歷史數(shù)據(jù)，減小了抽樣誤差，因此本文認(rèn)為GPD模型是3個(gè)模型中最合適的模型。

表3 3個(gè)模型的參數(shù)與擬合優(yōu)度指標(biāo)

3 結(jié)論

（1）3個(gè)模型的擬合指標(biāo)都較優(yōu)，推求的100年以下重遇期的極值風(fēng)速相近，3個(gè)模型都是廣東沿海計(jì)算極值風(fēng)速的合適模型。

（2）GEV和GPD模型計(jì)算的極值風(fēng)速的大小與形狀參數(shù)密切相關(guān)，如果形狀參數(shù)小于0，則估算的較大重遇期極值風(fēng)速比Gumbel模型的要大；否則，情況相反。

（3）GPD模型傾向于給出比Gumbel和GEV模型更大的極值風(fēng)速。

（4）GPD模型增加了有效數(shù)據(jù)量，取得更好的擬合優(yōu)度指標(biāo)，是估算極值風(fēng)速的更合適的模型。

An Ying，Pandey M D，2007.The largest order statistics model for extreme wind speed estimation.J.Wind Eng.Ind.Aerodyn，95：165-182.

Davison A C，Smith R L，1990.Models for exceedances over high thresholds.Journal of the Royal Statistical Society，52：393-442.

De Haan L，1994.Extreme value statistics.In ExtremeValue Theory and Applications Vol.1（J.Galambos，J.Lechner&E.Simiu，Editors），Kluwer，Dordrecht.

Fisher R A，Tippett L H，1928.Limiting forms of the frequency distribution of the largest or smallest member of a sample.Proc Cambridge Philos Soc，24：180-190.

Gumbel E J，1958.Statistics of Extremes.New York，Columbia University Press，375.

Harris R I，1996.Gumbel re-visited-a new look at extreme value statistics applied to wind speeds.J.Wind Eng.Ind.Aerodyn.，59：1-22.

Harris R I，1999.Improvements to the‘Method of Independent Storms′.J.Wind Eng.Ind.Aerodyn，80：1-30.

Hosking J R M，Wallis J R，Wood E F，1985.Estimation of the generalized extreme-value distribution by the method of probabilityweighted moments.Technometrics，27：251-261.

Hosking J R M，Wallis J R，1987.Parameter and quantile estimation for the generalized Pareto distribution.Technometrics，29：339-349.

Jenkinson A F，1955.The frequency distribution of the annual maximum（or minimum）values of meteorological elements.Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society，81：158-171.

Palutikof J P，Brabson B B，Lister D H，et al，1999.A review of methods to calculate extreme wind speeds.Meteorological Applications，6：119-132.

Pickands J，1975.Statistical inference using extreme order statistics，Ann.Statist，3：119-131.

Simiu E，Heckert N A，1996.Extreme wind distribution tails：a peaks over threshold approach.J.Struct.Eng.，122：539-547.

Von Mises R，1936.La Distribution de la Plus Grande de n Valeurs.Reprinted in Selected Papers，II，Amer.Math.Soc.，Providence，RI（1954）：271-294.

段忠東，歐進(jìn)萍，周道成，2002.極值風(fēng)速的最優(yōu)概率模型.土木工程學(xué)報(bào)，35（5）：11-16.

廣東省氣象臺(tái)，廣東師院數(shù)學(xué)系，1975.廣東省風(fēng)壓的分析和計(jì)算.華南師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），01：79-104

史道濟(jì)，2006.實(shí)用極值統(tǒng)計(jì)方法.天津，天津科學(xué)技術(shù)出版社，30.