胡志剛，湯海冰

（中南大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410083）

目前無(wú)線頻譜已經(jīng)相當(dāng)擁擠[1]，有耗盡的風(fēng)險(xiǎn).但對(duì)各個(gè)頻帶占用情況的統(tǒng)計(jì)結(jié)果表明[2]，3GHz以下頻段的頻譜資源占用率普遍較低，造成了頻譜資源的嚴(yán)重浪費(fèi).究其原因，主要是由于對(duì)頻譜資源實(shí)行固定授權(quán)分配機(jī)制.J.Mitola最早提出了認(rèn)知無(wú)線電（Cognitive Radio，CR）的概念，其要點(diǎn)是認(rèn)知用戶(hù)（從用戶(hù)）檢測(cè)授權(quán)用戶(hù)（也叫主用戶(hù)）不占用其頻譜時(shí)形成的“頻譜空穴”，并利用這些空穴進(jìn)行通信；而當(dāng)主用戶(hù)使用這些頻譜時(shí)，認(rèn)知用戶(hù)必須及時(shí)退出.

認(rèn)知無(wú)線電系統(tǒng)在Mac層一般采用幀結(jié)構(gòu)的方式，認(rèn)知無(wú)線電系統(tǒng)的幀長(zhǎng)主要由感知時(shí)間和數(shù)據(jù)發(fā)送時(shí)間組成.目前，關(guān)于認(rèn)知無(wú)線電系統(tǒng)的幀結(jié)構(gòu)[3－5]主要研究集中在感知時(shí)間的優(yōu)化和數(shù)據(jù)發(fā)送時(shí)間的固定.文獻(xiàn)[6－7]主要研究了一次感知多個(gè)信道情況下，感知時(shí)間的優(yōu)化問(wèn)題.以上文獻(xiàn)都沒(méi)有考慮主用戶(hù)的活動(dòng)情況，如果主用戶(hù)到達(dá)率過(guò)大，認(rèn)知用戶(hù)的服務(wù)質(zhì)量就可能得不到保證；同樣，如果幀長(zhǎng)過(guò)長(zhǎng)，則可能由于認(rèn)知用戶(hù)的干擾，主用戶(hù)的服務(wù)質(zhì)量得不到保證.理想的情況是根據(jù)主用戶(hù)的活動(dòng)，設(shè)置最優(yōu)幀長(zhǎng)：感知時(shí)間和數(shù)據(jù)發(fā)送時(shí)間.文獻(xiàn)[8]研究了主用戶(hù)活動(dòng)統(tǒng)計(jì)特性對(duì)認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)吞吐量的影響，但其并沒(méi)有研究幀長(zhǎng)的優(yōu)化問(wèn)題.文獻(xiàn)[9]研究了主用戶(hù)對(duì)信道的占用／空閑（on／off）時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布、認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)吞吐量最大時(shí)的最優(yōu)幀長(zhǎng)，但其假設(shè)認(rèn)知用戶(hù)在使用數(shù)據(jù)發(fā)送時(shí)間時(shí)，即使主用戶(hù)到達(dá)，仍然占用整個(gè)數(shù)據(jù)發(fā)送時(shí)間，并不退出，也沒(méi)有對(duì)感知時(shí)間進(jìn)行優(yōu)化.文獻(xiàn)[10]基于主用戶(hù)對(duì)信道的占用／空閑時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，研究了當(dāng)最優(yōu)化感知效率（即認(rèn)知用戶(hù)發(fā)送時(shí)間占幀長(zhǎng)的百分比）且干擾率滿(mǎn)足約束時(shí)，感知時(shí)間和數(shù)據(jù)發(fā)送時(shí)間的優(yōu)化問(wèn)題，但其假設(shè)虛警概率等于誤檢概率，這不能滿(mǎn)足一些應(yīng)用對(duì)虛警概率和誤檢概率不等權(quán)需求的情況.

本文首先將虛警概率和誤檢概率加權(quán)定義成貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)，研究了當(dāng)貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)一定時(shí)，干擾率與發(fā)送時(shí)間的關(guān)系.在此基礎(chǔ)上，提出了2種滿(mǎn)足干擾約束的算法：?jiǎn)斡脩?hù)感知模式下最大化系統(tǒng)吞吐量時(shí)的幀長(zhǎng)設(shè)計(jì)算法和多用戶(hù)合作感知模式下基于紐曼－皮爾遜準(zhǔn)則的幀長(zhǎng)設(shè)計(jì)算法.這2種算法的目的是對(duì)感知時(shí)間和數(shù)據(jù)發(fā)送時(shí)間的優(yōu)化.

1 系統(tǒng)模型及問(wèn)題描述

1.1 單用戶(hù)感知系統(tǒng)模型

本文采用幀結(jié)構(gòu)的認(rèn)知無(wú)線電系統(tǒng)，認(rèn)知用戶(hù)基于overlay模式接入，假定每幀長(zhǎng)感知一個(gè)信道，噪聲為高斯白噪聲.對(duì)主用戶(hù)的活動(dòng)情況，假設(shè)主用戶(hù)任務(wù)對(duì)信道占用忙時(shí)間服從參數(shù)為α的負(fù)指數(shù)分布，信道空閑時(shí)間服從參數(shù)為β的負(fù)指數(shù)分布，則由排隊(duì)論可知：

式中：Pon和Poff分別為主用戶(hù)信道忙和空閑的概率.認(rèn)知用戶(hù)每隔一個(gè)幀長(zhǎng)周期檢測(cè)主用戶(hù)信號(hào)是否存在，接收信號(hào)可寫(xiě)成二元假設(shè)形式[10]：r（t）＝hs（t）＋n（t），當(dāng)h＝0時(shí)，表示主用戶(hù)信號(hào)不存在；當(dāng)h＝1時(shí)，表示主用戶(hù)信號(hào)存在；其中n（t）表示均值為零，方差為σ2n的高斯白噪聲.σ2s為主用戶(hù)信號(hào)s（t）的方差.本文采用能量檢測(cè)，則基于主用戶(hù)活動(dòng)模型的檢測(cè)概率Pd（λ，ts）和虛警概率Pf（λ，ts）可表示為[10]：

式中：（λ，ts）和（λ，ts）分別為能量檢測(cè)方式下的檢測(cè)概率和虛警概率；ts為感知時(shí)間.

式中：Q（x）為高斯補(bǔ)函數(shù).

1.2 問(wèn)題描述

針對(duì)上述給定的系統(tǒng)模型，本文的目標(biāo)是解決當(dāng)貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)一定、干擾率控制在閾值內(nèi)時(shí)，最大化認(rèn)知用戶(hù)的吞吐量情況下，認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)幀長(zhǎng)的最優(yōu)設(shè)計(jì)問(wèn)題.

認(rèn)知用戶(hù)的吞吐量可表示為：

式中：C為根據(jù)香農(nóng)公式得出的信道容量，這里為常量.用（λ，ts）表示誤檢概率，在感知模型下，貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)描述為，其優(yōu)勢(shì)是可根據(jù)實(shí)際需要決定虛警概率與誤檢概率的權(quán)重c1，c2.由于，貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)又可表示為：

當(dāng)（λ，ts）＝1時(shí)，（λ，ts）取最大值：

當(dāng)主用戶(hù)對(duì)信道的占用／空閑服從負(fù)指數(shù)分布時(shí)，根據(jù)文獻(xiàn)[10]中干擾率計(jì)算公式，可得出主用戶(hù)與認(rèn)知用戶(hù)的干擾率為：

式中：μ＝max（a，β）；T為一幀中數(shù)據(jù)發(fā)送時(shí)間；TI（T）即幀長(zhǎng)為T(mén)時(shí)，主從用戶(hù)互相干擾的概率，一般要求這個(gè)干擾率低于某一門(mén)限Tp.

綜上，本文的目標(biāo)可表述成一個(gè)最優(yōu)化問(wèn)題P1.

2 分析與求解

本節(jié)求解最優(yōu)化問(wèn)題P1.由于目標(biāo)函數(shù)非凸，一般的最優(yōu)化方法如牛頓法、罰點(diǎn)函數(shù)法等難以求得全局最優(yōu)解，且求得局部最優(yōu)解也同初值密切相關(guān).本文首先把問(wèn)題P1的約束轉(zhuǎn)化為等價(jià)的式（13）和 式（14），巧妙建立了貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)下幀長(zhǎng)與虛警概率間的關(guān)系式（13），通過(guò)定理1及式（8）得出了（λ，ts）的取值區(qū)間式（16），再根據(jù)（λ，ts）取值區(qū)間較小的特點(diǎn)，提出了一個(gè)復(fù)雜度較低的算法.

由式（3）和式（4）可得：

將式（11）代入式（7）得：

將式（9）和式（7）代入式（10），化簡(jiǎn)可得：

令

定理1F（T）有最小值.

證 令x＝e－μT，因?yàn)閤是關(guān)于T的單調(diào)函數(shù)且0≤x≤1，給定c1，c2，Poff，Pon和Tp時(shí)，對(duì)F（x）求導(dǎo)，可得F′（x）分子為x的一次函數(shù)，而分母總大于0.所以其最小值總在F（0），F(xiàn)（∞）或F′（T）＝0處.其具體位置由給定的c1，c2，Poff，Pon，Tp決定.證畢.

根據(jù)定理1，令

結(jié)合式（8）有：

對(duì)于某個(gè)（λ，ts）值，可根據(jù)式（14）和式（15）解得ts和T，代入式（7）解得吞吐量值R（λ，T，ts）.根據(jù)式（7），c1，考慮到實(shí)際取值時(shí)虛警與誤檢概率的權(quán)重分配不會(huì)相差太大（即c1，c2的比值不會(huì)大太或太小）.所以（λ，ts）的取值區(qū)間一般較小.因而可采用窮舉搜索，以步長(zhǎng)Δ搜索所有可能的（λ，ts），考慮到實(shí)際需求，可設(shè)Δ＝0.001，求得最大吞吐量.根據(jù)以上分析，求解T＊，t＊s，λ＊的算法如下：

算法1 對(duì)于最優(yōu)化問(wèn)題P1的求解：

1）根據(jù)式（15）確定.賦初值＝；

2）while（≤v／c1，步長(zhǎng)Δ＝0.001）；

根據(jù)式（12），解得ts；

根據(jù)式（13），解得T；

根據(jù)式（6），解得R（λ，T，ts）；

保存當(dāng)前最大吞吐量R＊及應(yīng)對(duì)的，T＊，t＊s.

3）將，t＊s代入式（3），解得λ＊.

3 紐曼－皮爾遜準(zhǔn)則下最優(yōu)幀長(zhǎng)算法

合作頻譜感知已經(jīng)有了許多研究文獻(xiàn)[11－13]，但很少有將感知時(shí)間和數(shù)據(jù)發(fā)送時(shí)間進(jìn)行聯(lián)合優(yōu)化的研究.本節(jié)討論當(dāng)合作頻譜感知時(shí)，紐曼－皮爾遜準(zhǔn)則下的最優(yōu)幀長(zhǎng).考慮到求解的復(fù)雜性，這里僅考慮λ已知時(shí)的情況，此時(shí)，記為.問(wèn)題P2可描述如下：

其中：

當(dāng)認(rèn)知用戶(hù)N中超過(guò)K個(gè)用戶(hù)判決一致時(shí)，判決成立.

為求解問(wèn)題P2，本文先證明以下定理及推論.

定理2Qd是關(guān)于ˉPd的遞增函數(shù)，Qf是關(guān)于ˉPf的遞增函數(shù)，且當(dāng)ˉPd＜K／（N－1）時(shí)，Qd為凸函數(shù).當(dāng)ˉPd＞K／（N－1）時(shí)，Qd為凹函數(shù).

根據(jù)式（19）可知，U（x）為遞增函數(shù)；根據(jù)式（20）當(dāng)x＜K／（N－1）時(shí)，U（x）為凸函數(shù)；當(dāng)x＞K／（N－1）時(shí)，U（x）為凹函數(shù).

推論1 給定λ，則均是關(guān)于ts的遞增函數(shù).

同理可證（ts）是關(guān)于ts的遞增函數(shù).

推論2Qd是關(guān)于ts的遞增函數(shù).

證 根據(jù)定理2，Qd是的遞增函數(shù)，根據(jù)推論1，是ts的遞增函數(shù)，所以Qd是關(guān)于ts的遞增函數(shù).證畢.

定理3Qd是關(guān)于Qf的遞增函數(shù).

問(wèn)題P2的求解思路是利用Newton－Raphson算法，解式（17）中的等式約束，得，根據(jù)定理3，此時(shí)Qd取最大值；再根據(jù)式（3），解得ts的上限值，而根據(jù)定理2，此時(shí)Qd取最大值.所以ts的上限值即為紐曼－皮爾遜準(zhǔn)則下的最優(yōu)值ts.最后根據(jù)式（9），顯然，當(dāng)，確定時(shí)，TI（T）為遞增函數(shù)，所以Tminp＝TI（0）＝1－ˉPd（ts）.綜上，給出紐曼－皮爾遜準(zhǔn)則下的最優(yōu)幀長(zhǎng)算法.

算法2 問(wèn)題P2的求解算法.

1）根據(jù)Newton－Raphson算法，解式（17），得.

2）將代入式（3），解得t＊s；將t＊s代入式（4），解得（λ，ts）.

3）如果Tp＜1－（λ，ts），則無(wú)解；否則，根據(jù)式（9），解得T＊.

考慮到Newton－Raphson算法的復(fù)雜度可能與初值相關(guān)，因?yàn)镼f是關(guān)于ˉPf的遞增函數(shù)，所以也可用二分法[14]來(lái)求解ˉPf.圖1為在不同K值下Qd隨ts的變化曲線.圖2為滿(mǎn)足約束Qf≤0.1時(shí)，根據(jù)算法2求解的不同K值對(duì)應(yīng)的最大Qd.由圖2可知，K＝2時(shí)的最優(yōu)值大于K＝1時(shí)的最優(yōu)值，這是因?yàn)楫?dāng)K＝1時(shí)，ts值相對(duì)較小.

圖1 協(xié)作時(shí)檢測(cè)概率隨感知時(shí)間的變化Fig.1 The change of the detection probability with the sensing time in cooperative sensing mode

4 仿真與性能分析

為了驗(yàn)證幀長(zhǎng)對(duì)干擾和吞吐量的影響，通過(guò)Matlab進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn).實(shí)驗(yàn)基本設(shè)置為：α＝1，β＝2，B＝10kHz，Tp＝0.05，σ2n＝1，snr＝－5dB，c1＝1，c2＝1.

首先仿真了Lee的最優(yōu)幀長(zhǎng)算法[10]與本文算法1.表1為干擾時(shí)間（共進(jìn)行300s仿真）、最優(yōu)幀長(zhǎng)及最優(yōu)幀長(zhǎng)下吞吐量等參數(shù)的對(duì)比.

圖2 不同K值時(shí)最大協(xié)作檢測(cè)概率Fig.2 The largest cooperative detection probability for differentK

由表1可知，2種算法在干擾率上相差不大，滿(mǎn)足干擾門(mén)限要求，但本文算法在發(fā)送時(shí)間、感知時(shí)間參數(shù)上優(yōu)于Lee算法.正是這一點(diǎn)，即使在風(fēng)險(xiǎn)值v較大的情況下，本文算法在吞吐量上優(yōu)于Lee算法.

圖3為v＝0.15時(shí)感知時(shí)間、發(fā)送時(shí)間及幀長(zhǎng)與吞吐量的關(guān)系曲線.由圖3可知，幀長(zhǎng)在0.750s左右下降較大，這主要是因?yàn)閿?shù)據(jù)發(fā)送時(shí)間T增加非常緩慢的緣故.需要指出的是雖然這時(shí)吞吐量同Lee算法比相差不大，但這只是風(fēng)險(xiǎn)值較大的情況.

圖3 當(dāng)v＝0.15時(shí)幀長(zhǎng)與吞吐量的關(guān)系Fig.3 The relationship between the frame size and throughput whenv＝0.15

表1 仿真結(jié)果參數(shù)對(duì)比Tab.1 Parameter comparison of the simulation results

圖4為v值對(duì)吞吐量的影響.由圖4可知，隨著風(fēng)險(xiǎn)值減小，吞吐量急劇提升.圖5為風(fēng)險(xiǎn)值v與最優(yōu)幀長(zhǎng)的關(guān)系.由圖4和圖5可以看出，風(fēng)險(xiǎn)值對(duì)吞吐量和最優(yōu)幀長(zhǎng)均有較大影響，因?yàn)樵趯?shí)驗(yàn)基本設(shè)置下，根據(jù)式（13），（15）和（16）可得，v－Tp≤ˉPf（λ，ts）≤v，可以看出，Tp較小時(shí)，v變化對(duì)ˉPf（λ，ts）影響較大，進(jìn)而影響吞吐量和最優(yōu)幀長(zhǎng).而由式（12）和式（13），ˉPf（λ，ts）對(duì)t＊s和T＊的影響是非線性的，即對(duì)最優(yōu)幀長(zhǎng)的影響是非線性的.具體的實(shí)驗(yàn)參數(shù)導(dǎo)致在v＝0.14時(shí)，最優(yōu)幀長(zhǎng)出現(xiàn)了一個(gè)拐點(diǎn).

圖4 貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)值對(duì)吞吐量的影響Fig.4 Bayesian risk value′s influence on throughput

圖5 風(fēng)險(xiǎn)值與最優(yōu)幀長(zhǎng)的關(guān)系曲線Fig.5 Bayesian risk value and the optimal frame length

5 結(jié) 論

本文針對(duì)幀結(jié)構(gòu)認(rèn)知無(wú)線電系統(tǒng)，如果幀長(zhǎng)設(shè)計(jì)不當(dāng)，容易引起干擾的問(wèn)題，提出一種滿(mǎn)足干擾約束，指定貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)時(shí)判決門(mén)限、認(rèn)知用戶(hù)感知時(shí)間和數(shù)據(jù)發(fā)送時(shí)間的聯(lián)合優(yōu)化算法，并研究了多用戶(hù)協(xié)作感知時(shí)幀長(zhǎng)的優(yōu)化問(wèn)題.仿真結(jié)果表明，在同樣的干擾約束下，同現(xiàn)有的幀長(zhǎng)設(shè)計(jì)算法相比，本文算法有更優(yōu)的幀長(zhǎng)，而且即使在貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)較大時(shí)亦有更優(yōu)的吞吐量.

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