曹祖銀 任承穩(wěn)

題型一 利用導(dǎo)數(shù)研究數(shù)列的單調(diào)性與最值

例1 已知數(shù)列[an]的通項(xiàng)[an=-2n3+7n2]，求數(shù)列的最大項(xiàng).

解析 令[f（x）=-2x3+7x2，]則[f（x）=-6x（x-73），]

當(dāng)[00].

當(dāng)[x>73]時(shí)，[f（x）<0].

∴[f（x）]在[（0，73]]上是增函數(shù)，在[[73，+∞）]上是減函數(shù).

∴[f（2）=12]，[f（3）=9].

∴數(shù)列[an]的最大項(xiàng)為[a2=12].

題型二 利用導(dǎo)數(shù)求數(shù)列前[n]項(xiàng)的和

例2 已知數(shù)列[an]，[an=nxn-1]，求此數(shù)列前[n]項(xiàng)和[Sn].

解析 當(dāng)[x=1]時(shí)，

[Sn=1+2+3+…+n=12n（n+1）].

當(dāng)[x≠1]時(shí)，由[x+x2+x3+…+xn=x-xn+11-x]兩邊求導(dǎo)得，

[1+2x+3x2+…+nxn-1=1-（n+1）xn+nxn+1（1-x）2].

∴[Sn=12n（n+1）， x=1，1-（n+1）xn+nxn+1（1-x）2，x≠1.]

題型三 利用導(dǎo)數(shù)證明數(shù)列不等式

例3 已知[a>0]，[n∈N*]，拋物線[y=-x2+an2]與[x]軸正半軸交于點(diǎn)[A]，設(shè)[f（n）]為拋物線在點(diǎn)[A]處的切線在[y]軸上的截距.

（1）用[a]和[n]表示[f（n）]；

（2）當(dāng)[0

解析 （1）拋物線[y=-x2+an2]以其上一點(diǎn)[A（an2，0）]為切點(diǎn)的切線方程為[y=-2anx+an]，此直線在[y]軸上的截距為[f（n）=an].

（2）令[g（x）=274x（x2-x）+1（0

則[g（x）=814x（x-23）]，

當(dāng)[0

當(dāng)[230].

∴[g（x）]在[（0，23]]上是減函數(shù)，在[[23，1）]上是增函數(shù)，

則[g（x）]≥[g（23）=0][?274x（x2-x）+1]≥0

[?1x-x2]≥[274x].

取[x=a，a2，a3，…，an]得到的[n]個(gè)不等式相加得，

[1a-a2+1a2-a4+1a3-a6+…+1an-a2n]

≥[274（a+a2+a3+…+an）]

[=274?a-an+11-a>274?a-an1-a].

∴[Sn>274?f（1）-f（n）f（0）-f（1）].

例4 已知曲線[cn]：[x2-2nx+y2=0][（n∈N*）]，以點(diǎn)[P（-1，0）]向曲線[cn]引斜率為[kn][（kn>0）]的切線[ln]，切點(diǎn)為[Pn（xn，yn）].

（1）求數(shù)列[xn]與數(shù)列[yn]的通項(xiàng)公式；

（2）證明：[x1x3x5…x2n-1<1-xn1+xn<2sinxnyn].

解析 曲線[cn]：[x2-2nx+y2=0][（n∈N*）]是圓心為[（n，0）]、半徑為[n]的圓，圓的切線[ln]的方程為[y=kn（x+1）].

（1）[|nkn+kn|1+kn2=n]即[kn2=n22n+1]，則

[xn2-2nxn+yn2=0yn=kn（xn+1）?xn2-2nxn+yn2=0yn2=n22n+1（xn+1）2?xn=nn+1yn=n2n+1n+1]

（2）[1-xn1+xn=12n+1，][2sinxnyn=2sin12n+1.]

由數(shù)列[xn]是遞增數(shù)列知：

[（x1x3x5…x2n-1）2

[=12?23?34?…?2n-12n?2n2n+1=12n+1]

[?x1x3x5…x2n-1<12n+1.]

令[f（x）=x-2sinx（0

由[33<π4]及[y=cosx]在[（0，π2）]上是減函數(shù)知，

[f（x）=1-2cosx][1-2cos33][<1-2cosπ4=0，]

則[f（x）]是減函數(shù)，于是

[f（x）

∴[x1x3x5…x2n-1<1-xn1+xn<2sinxnyn].