孫海濤

題型一 求解曲線的切線問題

例1 已知函數(shù)[f（x）=x3+1].

（1）求[f（x）]在點(diǎn)[P1，2]處的切線方程.

（2）求[f（x）]過點(diǎn)[P1，2]的切線方程.

分析 第（1）（2）問的區(qū)別在于[P1，2]是否是切點(diǎn)，所以第（2）問必須要分類討論.

解 （1）[fx=3x2，k=f（1）=3]，

∴切線方程為[y-f1=3x-1]，

即[3x-y-1=0].

（2）①若[P1，2]是切點(diǎn)，同第（1）問.

②若[P1，2]不是切點(diǎn)，則設(shè)切點(diǎn)為[x0，x30+1]，

從而切線方程為[y-x30+1=f′x0x-x0]，

即[y-x30+1=3x20x-x0]，

它經(jīng)過[P1，2]，所以[2-x30+1=3x201-x0]，得[x0=-12]（[x0=1]舍去），

∴[f（x0）=34]，∴切線方程為[3x-4y+5=0].

∴切線方程為[3x-y-1=0]和[3x-4y+5=0].

點(diǎn)撥 函數(shù)[f（x）]在點(diǎn)[P]處的切線，意味著點(diǎn)[P]是切點(diǎn)；函數(shù)[f（x）]過點(diǎn)[P]的切線，那么點(diǎn)[P]不一定是切點(diǎn)，必須分類討論.

題型二 求解函數(shù)的單調(diào)性問題

例2 已知函數(shù)[f（x）=lnx-ax+1-ax-1（a∈R），]當(dāng)[a12]時(shí)，討論[f（x）]的單調(diào)性.

分析 函數(shù)[f（x）]的表達(dá)式中既含有對(duì)數(shù)式，又含有分式，可考慮求導(dǎo)法.

解 [f（x）][=-ax2+x-1-ax2x>0.]

（1）[a=0]時(shí)，[f（x）=x-1x2x>0.]

當(dāng)[x∈0，1]，[f（x）<0]，函數(shù)單調(diào)遞減.

當(dāng)[x∈1，+∞]，[f（x）>0]，函數(shù)單調(diào)遞增.

（2）[a>0]時(shí)，[f（x）][=x-1-ax+1-ax2x>0.]

令[g（x）=x-1-ax+1-a]，[g（x）=0]的兩根[x1=1，x2=1a-1]，[g（x）]與[f（x）]的正負(fù)號(hào)一致.

①[x1=x2]即[a=12]時(shí)，由于[Δ=0]，由[g（x）]的圖象可知[g（x）<0]，所以[f（x）<0]，

∴[f（x）]在[0，+∞]上單調(diào)遞減.

②[x1>x2]即[a>12]時(shí)，與題意[a12]矛盾，舍去.

③[x1

（3）當(dāng)[a<0]時(shí)，[x2=1a-1<0<1=x1]，由[g（x）]的圖象可得當(dāng)[x∈0，1]時(shí)，[f（x）<0]，函數(shù)單調(diào)遞減； 當(dāng)[x∈1，+∞]時(shí)，[f（x）>0]，函數(shù)單調(diào)遞增.

綜上所述：當(dāng)[a0]時(shí)，[f（x）]在[0，1]上單調(diào)遞減，在[1，+∞]單調(diào)遞增；

當(dāng)[a=12]時(shí)，[f（x）]在[0，+∞]上單調(diào)遞減；

當(dāng)[0

點(diǎn)撥 [f（x）]的正負(fù)號(hào)實(shí)際上取決于[g（x）]，所以將解[f（x）<0]，[f（x）>0]分別轉(zhuǎn)化為解[g（x）<0，][g（x）>0]，即轉(zhuǎn)化為解含參數(shù)的一元二次不等式問題.

題型三 求函數(shù)的極值、最值問題

例3 已知函數(shù)[f（x）=13x3-x-1]，[x∈R]. 設(shè)函數(shù)[f（x）]在區(qū)間[[t，t+3]]上的最大值為[M（t）]，最小值為[m（t）]，記[g（t）=M（t）-m（t）]，求函數(shù)[g（t）]在區(qū)間[[-3，-1]]上的最小值.

分析 要求最值，必須要清楚在[[t，t+3]]有幾個(gè)極值點(diǎn)，所以要分類討論.而[txt+3][-3t-1]，區(qū)間長度為3，前端[t-1]，所以只用討論后端點(diǎn)即可.

解 （1）[t+31]即[-3t-2]時(shí)， [f（x）]在[t，-1]上遞增，在[-1，t+3]上遞減，所以[f（x）]在[[t，t+3]]的最大值[M（t）=f（-1）=-13]，最小值[m（t）]是[f（t）]與[f（t+3）]中的較小者.

由[f（t+3）-f（t）=3（t+1）t+2]知，

當(dāng)[-3t-2]，[f（t）f（t+3）]，

故[m（t）=f（t）=13t3-t-1].

此時(shí)[g（t）=f（-1）-f（t）].而[f（t）]在[-3，-2]上遞增，

∴ [g（t）=f（-1）-f（t）]在[-3，-2]上遞減，

∴[gtmin=g-2=43].

（2）[t+3>1]即[-2

∵[f（x）]在[-2，-1]上遞增，在[1，2]上遞增，

∴[f（-2）f（t）f（-1）]，又[1

∴[f（1）

而[f（1）]=[f（-2）=-53]，[f（-1）=f（2）=-13]，

∴[M（t）=f（-1）=-13]， [m（t）=f（1）=-53].

∴[g（t）=f（-1）-f（1）=43]，最小值是[43].

綜合（1）（2）得，函數(shù)[g（t）]在區(qū)間[[-3，-1]]上的最小值是[43].

點(diǎn)撥 難點(diǎn)在于定義域是變化的，所以要討論定義域內(nèi)有幾個(gè)極值點(diǎn)；同時(shí)在比較大小時(shí)借助了函數(shù)的單調(diào)性，把不在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間的兩個(gè)自變量轉(zhuǎn)化在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上. 另外，在討論過程中注意結(jié)合函數(shù)的圖象.

例4 已知[f（x）=x2+ax-lnx，a∈R].

（1）若函數(shù)[y=f（x）]在[1，2]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)[a]的取值范圍.

（2）令[g（x）=f（x）-x2]，是否存在實(shí)數(shù)[a]，當(dāng)[x∈0，e]（[e]是自然對(duì)數(shù)得底數(shù)）時(shí)，函數(shù)[g（x）]的最小值是3，若存在，求出[a]的值；若不存在，說明理由.

分析 （1）[f（x）0?f（x）]遞減，然后利用分離變量法可得.（2）[g（x）=ax-lnx0

解 （1）[f（x）=2x+a-1x=2x2+ax-1x0]，得[a1x-2x][1x2.]

令[h（x）=1x-2x1x2]，易得[h（x）]在[1，2]上遞減，∴[h（x）min=h（2）=-72，] ∴[a-72.]

（2）[g（x）=a-1x=ax-1x][0

①當(dāng)[a0]時(shí)，[g（x）0]，[g（x）]在[0，e]單調(diào)遞減，

∴[g（x）min=g（e）=ae-1=3，]得[a=4e]與前提條件[a0]矛盾，

∴[a=4e]不合題意舍去.

②當(dāng)[1ae]即[0

∴[g（x）min=g（e）=ae-1=3]，得[a=4e]與前提條件[a1e]矛盾，舍去.

③當(dāng)[01e]時(shí)，[g（x）]在[0，1a]單調(diào)遞減，[g（x）]在[1a，e]單調(diào)遞增，

∴[g（x）min=g（1a）=1+lna=3]，得[a=e2]，成立.

綜上所述，[a=e2].

點(diǎn)撥 求導(dǎo)法解決含參數(shù)的函數(shù)的最值問題，必須要考慮在定義域內(nèi)是否有極值點(diǎn)，如果不能確定，則要分極值點(diǎn)在定義域內(nèi)和定義域外進(jìn)行討論.