☉浙江省湖州市褚水林名師工作室

浙江省湖州市雙林第二中學(xué) 姜曉翔

一、緣起

《中學(xué)數(shù)學(xué)》（初中版）2013年第二期刊登了肖世兵老師的《試題命制改編方法之否定屬性策略》（下用文獻(xiàn)1表示），文獻(xiàn)1主要介紹了美國學(xué)者Brown和Walter提出的問題的否定屬性策略，并通過一個典型中考題具體說明了否定屬性策略在試題改編中的應(yīng)用.文獻(xiàn)1給筆者很大的啟發(fā)：從一個給定的數(shù)學(xué)問題出發(fā)，利用否定屬性策略，以一生十，可以提出更多精彩的問題.如果我們在課堂上講評例題、習(xí)題時，能利用否定屬性策略進(jìn)行諸多的問題變式甚至是變式串，那就可以有效地讓學(xué)生達(dá)到“做一題，觸一類，通一片”的效果.本文筆者也談一下自己嘗試對一個典型幾何題利用否定屬性策略進(jìn)行了一系列的問題變式過程，與同仁共勉.

二、例題呈現(xiàn)與屬性列析

例題 如圖1，四邊形ABCD是正方形，點M是AB延長線上一點.直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過點D，且直角頂點E是AB邊的中點，另一條直角邊與∠CBM的平分線BF相交于點F.猜想DE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系并加以證明.

圖1

圖2

簡析：該題是一道比較典型的幾何探究型習(xí)題，可以找到AD的中點N，連接NE，如圖2，再利用△DNE≌△EBF，得出DE=EF.

進(jìn)一步思考該題，列出問題中的各個屬性.

屬性1：四邊形ABCD是正方形；

屬性2：點M是AB延長線上一點；

屬性3：直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過點D；

屬性4：直角頂點E是AB邊的中點；

屬性5：另一條直角邊與∠CBM的平分線BF相交于點F；

屬性6：直角.

列出以上屬性之后開始進(jìn)行問題變式.

三、不改變“正方形”與“直角”屬性的“問題變式串”

首先，我們否定屬性4，利用屬性4的新屬性：直角頂點E是AB邊上的任意一點，我們可以得到以下變式：

變式1 如圖3，四邊形ABCD是正方形，點M是AB延長線上一點.直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過點D，且直角頂點E是AB邊上的任意一點，另一條直角邊與∠CBM的平分線BF相交于點F.猜想DE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系并加以證明.

簡析：該變式可以類似原題在AD上找到一點N，使得AN=AE，連接NE，再利用△DNE≌△EBF，得出DE=EF.

繼續(xù)否定屬性4，利用屬性4的新屬性：直角頂點E是AB延長線上的任意一點，我們可以得到以下變式：

圖3

圖4

變式2 如圖4，四邊形ABCD是正方形，點M是AB延長線上一點.直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過點D，且直角頂點E是AB延長線上的任意一點，另一條直角邊與∠CBM的平分線BF相交于點F.猜想DE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系并加以證明.

簡析：類似原題與變式1的思路，在AD延長線上找一點N，使得AN=AE，連接NE，如圖5，再利用△DNE≌△EBF，得出DE=EF.

圖5

圖6

圖7

否定屬性4和屬性5，利用屬性4的新屬性：直角頂點E是AB反向延長線上的任意一點，屬性5的新屬性：另一條直角邊與∠CBM的平分線的反向延長線相交于點F，我們可以得到以下變式：

簡析：雖然題目在不斷地進(jìn)行變式，但思路還是保持“多變歸一”，可以在AD反向延長線上找一點N，使得AN=AE，連接NE，如圖7，再利用△DNE≌△EBF，得出DE=EF.

四、改變成“正三角形”與“60°角”屬性的“問題變式串”

之前的這一組“問題變式串”是在不改變屬性1和屬性6，也就是在不改變“正方形”和“直角”這兩大背景條件下進(jìn)行的，我們可以嘗試著進(jìn)一步利用否定屬性策略對問題變式進(jìn)行探究，把“正方形”和“直角”兩大屬性改變成：“正三角形”和“60°角”，于是就得到了下一組“問題變式串”.

否定屬性1和屬性6，利用屬性1的新屬性：△ABD是正三角形，以及屬性6的新屬性：60°角，我們可以得到以下變式：

變式4 如圖8，△ABD是正三角形，點M是AB延長線上一點.直角三角尺的60°角一條邊經(jīng)過點D，且60°角頂點E是AB邊的中點，另一條邊與∠DBM的平分線BF相交于點F.猜想DE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系并加以證明.

圖8

圖9

簡析：該變式與原題相比，正方形變正三角形，直角變60°，但我們的解題思路還是“多變歸一”，即：在AD邊上找一點N，使得AN=AE，連接NE，如圖9，此時可證得△AEN是等邊三角形，進(jìn)而得出DN=EB，∠DNE=∠EBF=120°，再利用外角性質(zhì)得出∠1=∠2，于是就有△DNE≌△EBF，得出DE=EF.

在利用新屬性1和新屬性6的基礎(chǔ)上，再否定屬性4，利用新屬性4：60°角頂點E是AB邊上的任意一點，我們可以得到以下變式：

變式5 如圖10，△ABD是正三角形，點M是AB延長線上一點.直角三角尺的60°角一條邊經(jīng)過點D，且60°角頂點E是AB邊上的任意一點，另一條邊與∠DBM的平分線BF相交于點F.猜想DE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系并加以證明.

1.當(dāng)前還沒有為班主任設(shè)定標(biāo)準(zhǔn)的定義，班主任這一名詞來源于改革開放后教育的發(fā)展。2006年《教育部關(guān)于進(jìn)一步加強中小學(xué)班主任工作的意見》將其概念詮釋為：“中小學(xué)班主任是中小學(xué)教師隊伍的重要組成部分，是班級工作的組織者、班集體建設(shè)的指導(dǎo)者、中小學(xué)生健康成長的引領(lǐng)者，是中小學(xué)思想道德教育的骨干，是溝通家長和社區(qū)的橋梁，是實施素質(zhì)教育的重要力量?！卑凑赵摳拍畹慕忉?，可以得出班主任的來源是由學(xué)校根據(jù)教學(xué)任務(wù)的安排而專門設(shè)定的，旨在促進(jìn)班級的優(yōu)良環(huán)境，建立良好的學(xué)習(xí)氛圍，是將學(xué)校安排的指令向?qū)W生進(jìn)行傳達(dá)的重要人物，是班級的主要指導(dǎo)人。

圖10

圖11

圖12

簡析：仍然是在AD邊上找一點N，使得AN=AE，連接NE，如圖11，方法同上.

在之前的基礎(chǔ)上繼續(xù)否定屬性4，利用新屬性4：60°角頂點E是AB延長線上的任意一點，我們可以得到以下變式：

變式6 如圖12，△ABD是正三角形，點M是AB延長線上一點.直角三角尺的60°角一條邊經(jīng)過點D，且60°角頂點E是AB延長線上的任意一點，另一條邊與∠DBM的平分線BF相交于點F.猜想DE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系并加以證明.

簡析：方法同變式2，在AD延長線上找一點N，使得AN=AE，連接NE，如圖13，該變式的難點是證明∠NDE=∠BEF，可以先通過外角的性質(zhì)得出∠1=∠2，然后根據(jù)“等角的補角相等”得出∠NDE=∠BEF，方法和結(jié)論都同上.

圖13

圖14

圖15

否定屬性4和屬性5，利用屬性4的新屬性：60°角頂點E是AB反向延長線上的任意一點，屬性5的新屬性：另一條邊與∠DBM的平分線的反向延長線相交于點F，得到以下變式：

變式7 如圖14，△ABD是正三角形，點M是AB延長線上一點.直角三角尺的60°角一條邊經(jīng)過點D，且60°角頂點E是AB反向延長線上的任意一點，另一條邊與∠DBM的平分線的反向延長線相交于點F.猜想DE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系并加以證明.

簡析：方法類似于變式3，如圖15，結(jié)論同上.

五、改變成“等腰直角三角形”與“45°角”屬性的“問題變式串”

繼續(xù)改變屬性1和屬性6兩大背景條件，利用否定屬性策略探究問題變式，把“正三角形”和“60°角”兩大屬性改變成：“等腰直角三角形”，和“45°角”，我們又能得到以下一組“問題變式串”.

否定屬性1和屬性6，利用屬性1的新屬性：△ABD是等腰直角三角形，以及屬性6的新屬性：45°角，我們可以得到以下變式：

圖16

變式8 如圖16，△ABD是等腰直角三角形，AD=BD，∠ADB=90°，點M是AB延長線上一點.直角三角尺的45°角一條邊經(jīng)過點D，且45°角頂點E是AB邊的中點，另一條邊與∠DBM的平分線BF相交于點F.猜想DE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系并加以證明.

圖17

圖18

圖19

圖20

圖21

圖22

圖23

六、改變成“底角為30°的等腰三角形”與“30°角”屬性的“問題變式串”

按照以上的否定屬性策略，我們還可以類似地得到以下“問題變式串”：

變式12 如圖24，△ABD是等腰三角形，AD=BD，且∠DAB=30°，點M是AB延長線上一點.直角三角尺的30°角一條邊經(jīng)過點D，且30°角頂點E是AB邊的中點，另一條邊與∠DBM的平分線BF相交于點F.猜想DE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系并加以證明.

圖24

圖25

圖26

圖27

七、結(jié)語

以上針對例題進(jìn)行的一系列“問題變式串”，都是通過否定屬性策略來進(jìn)行的.可見，只要我們教師平時能積極利用否定屬性策略來研究問題，那既能編擬出精彩的試題，也能在課堂上設(shè)計出更加精彩的問題變式或變式串.這樣不僅能提高教師自身的專業(yè)素養(yǎng)，也能提高學(xué)生提出問題和解決問題的能力，相信這一定能成為教師職業(yè)生涯一筆寶貴的“財富”.

1.肖世兵.試題命制改編方法之否定屬性策略［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下半月），2013（2）．