陳小崗 孫 宇 劉遠(yuǎn)偉 吳海兵

1.南京理工大學(xué)，南京，210094 2.淮陰工學(xué)院，淮安，223003

0 引言

與傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)形式的數(shù)控機(jī)床相比，采用Stewart平臺(tái)結(jié)構(gòu)形式的六自由度純并聯(lián)機(jī)床被認(rèn)為存在工作空間與機(jī)床體積之比較小，工作空間內(nèi)各點(diǎn)的姿態(tài)能力、誤差、剛度等特性不一致的缺點(diǎn)［1-3］。但該類型機(jī)床的工作空間與體積之比小至何種程度，工作空間內(nèi)各點(diǎn)的姿態(tài)能力不一致到何種程度，具有什么樣的分布特性，目前鮮有具體而詳盡的數(shù)據(jù)佐證。

吳海兵等［4］對Stewart型并聯(lián)機(jī)床的工作空間進(jìn)行了分析計(jì)算，獲得了可達(dá)空間呈陀螺狀的結(jié)論，并給出了圓柱體的推薦工作空間，但未給出兩者相對于機(jī)床體積的比值，且未對姿態(tài)能力進(jìn)行研究。趙迎祥等［5］對6－SPS并聯(lián)機(jī)床工作空間進(jìn)行分析時(shí)，考慮了動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)問題，并研究了工作空間隨自轉(zhuǎn)角的變化情況。張曙等［1］對姿態(tài)角對工作空間的形狀、大小、位置等特性的影響進(jìn)行了研究，此外文獻(xiàn)［6-12］對Stewart型并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)正解、位置奇異、姿態(tài)奇異、自運(yùn)動(dòng)等問題的研究，但它們均未給出工作空間內(nèi)姿態(tài)能力的具體分布特性。

綜合目前的研究現(xiàn)狀，本文從桿長約束、轉(zhuǎn)角約束、干涉約束出發(fā)，首先對交叉桿式Stewart型并聯(lián)機(jī)床進(jìn)行了平動(dòng)工作空間計(jì)算，并求取了其最大包容球、最大包容圓柱、最大包容長方體。然后重新定義了“姿態(tài)能力角”這一概念，計(jì)算了該機(jī)床平動(dòng)工作空間內(nèi)各點(diǎn)處的姿態(tài)能力角，繪制了姿態(tài)能力角分布圖譜，獲得了與刀軸偏擺能力相應(yīng)的姿態(tài)空間。不但更全面地評(píng)價(jià)了工作空間與機(jī)床體積之比，而且獲得了姿態(tài)空間具體而詳細(xì)的分布特性。本文的研究結(jié)果更全面地揭示了并聯(lián)機(jī)床的加工范圍及加工能力。

1 BJ－04－02(A)并聯(lián)機(jī)床運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

1.1 并聯(lián)機(jī)床結(jié)構(gòu)簡圖

本文的研究對象為BJ－04－02(A)并聯(lián)機(jī)床，其進(jìn)給機(jī)構(gòu)采用6－UPS交叉桿式Stewart平臺(tái)變型結(jié)構(gòu)，其中，U副(虎克鉸)用軸線垂直相交的2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副等效替代，S副(球鉸)用軸線兩兩垂直且相交于一點(diǎn)的3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副等效替代。機(jī)床的三維模型及實(shí)際結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 BJ－04－02(A)并聯(lián)機(jī)床

在該機(jī)床上定義2個(gè)坐標(biāo)系:①慣性坐標(biāo)系OA XYZ，其原點(diǎn)在定平臺(tái)上鉸點(diǎn)分布平面的中心，其X軸平行于鉸點(diǎn)A4指向A3的方向，Z軸豎直向上;②隨動(dòng)坐標(biāo)系OB X'Y'Z'，其原點(diǎn)在刀具平臺(tái)幾何中心，X'軸平行于鉸點(diǎn)B5指向B3的方向，Z'軸垂直于刀具平臺(tái)表面向上，如圖2所示。

圖2 機(jī)床結(jié)構(gòu)簡圖

鉸點(diǎn)Ai(i=1，2，…，6)在慣性系中的位置矢量記作ai，鉸點(diǎn)Bi在隨動(dòng)系中的位置矢量記作bi。隨動(dòng)系的原點(diǎn)OB在慣性系中的位置矢量記作rB。隨動(dòng)系在慣性系中的方向余弦矩陣為R。由Ai指向Bi的桿矢量記作Li。上述各矢量間的關(guān)系為

1.2 工作空間的約束條件

在求解并聯(lián)機(jī)床工作空間時(shí)，主要考慮桿長約束、鉸鏈轉(zhuǎn)角約束、驅(qū)動(dòng)桿之間的干涉約束［4-5］。

(1)桿長約束。機(jī)床的6根驅(qū)動(dòng)桿均有各自的伸縮范圍(極小值與極大值分別為Lmin、Lmax)。當(dāng)?shù)毒咂脚_(tái)在工作空間內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，6根桿的長度|Li|必須滿足

(2)轉(zhuǎn)角約束。該機(jī)床的每條支鏈均有5個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副，按從定平臺(tái)到刀具平臺(tái)的順序，第2、第4轉(zhuǎn)動(dòng)副有轉(zhuǎn)角范圍限制，即驅(qū)動(dòng)桿中心軸線與第1、第5轉(zhuǎn)動(dòng)軸線之間的夾角φ有范圍限制，記其下限值為φmin。當(dāng)?shù)毒咂脚_(tái)在工作空間內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，φ必須滿足

(3)干涉約束。6根桿均為圓柱體，其半徑記為R。當(dāng)?shù)毒咂脚_(tái)在工作空間內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，6根桿的中心軸線之間的距離Dij(i，j=1，2，…，6，且i≠j)必須滿足

2 位置空間

并聯(lián)機(jī)床的工作空間有最大空間、定向空間、完全空間之分。最大空間是指刀具平臺(tái)以任意姿態(tài)可達(dá)點(diǎn)的集合。定向空間是指刀具平臺(tái)以指定姿態(tài)可達(dá)點(diǎn)的集合。完全空間是指刀具平臺(tái)以所有姿態(tài)均可達(dá)點(diǎn)的集合。定向空間和完全空間都是最大空間的一個(gè)子集。

2.1 位置空間

使固結(jié)于刀具平臺(tái)的隨動(dòng)系的X'、Y'、Z'軸始終分別平行于慣性系的X、Y、Z軸，在該參考姿態(tài)下，刀具平臺(tái)作平動(dòng)可達(dá)點(diǎn)的范圍即為本文所稱的位置空間。此時(shí)矩陣 R=I3×3，則式(1)簡化為

其中，矢量ai和bi可從表1、表2獲得。

表1 定平臺(tái)鉸點(diǎn)位置參數(shù)表 mm

表2 動(dòng)平臺(tái)鉸點(diǎn)位置參數(shù)表 mm

經(jīng)初步計(jì)算后，判定工作空間在x∈［－500，500］mm，y∈ ［－500，500］mm，z∈ ［－1400，－400］mm范圍內(nèi)。對該長方體形空間，按照X向間隔10mm、Y向間隔10mm、Z向間隔20mm進(jìn)行采樣取點(diǎn)。

對每一個(gè)采樣點(diǎn)，將其位置坐標(biāo)賦予矢量rB，然后根據(jù)式(5)計(jì)算各驅(qū)動(dòng)桿的軸線方向及桿長，并根據(jù)式(2)～式(4)分別判斷是否滿足桿長、轉(zhuǎn)角、干涉約束。

在對所有采樣點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算、判斷后，獲得平動(dòng)可達(dá)位置空間，如圖3所示。該位置空間由Z方向上的一系列片層組成，為直觀地體現(xiàn)其立體形狀，按照Z坐標(biāo)“由小到大”的順序繪制Z向各層的位置點(diǎn)。

圖3 位置空間

圖3所示的位置空間包含點(diǎn)數(shù)為67 434，占據(jù)的體積約為 0.135m3。機(jī)床外圍體積約為5.86m3，因此該空間與機(jī)床體積之比約為2.30%。

Stewart型并聯(lián)機(jī)床不僅工作空間的絕對體積小，而且其與機(jī)床體積之比，較之傳統(tǒng)機(jī)床，也是較小的。相關(guān)研究均證實(shí)了這一定性結(jié)論，但給出定量數(shù)據(jù)的很少，且不夠全面。本文基于上述計(jì)算結(jié)果，給出并聯(lián)機(jī)床位置空間的相關(guān)數(shù)據(jù)，并將其與串聯(lián)式五軸加工機(jī)床進(jìn)行對比。

2.2 包容球、包容圓柱、包容長方體

圖3所示的位置空間上闊下尖，雖然其在XY平面內(nèi)的投影具有一定的三角對稱性，但并不是嚴(yán)格的規(guī)則形體。在利用該機(jī)床進(jìn)行加工的過程中，圖3所示的空間并不能完全得到利用，一般取其所能包容的最大球、最大圓柱或最大長方體作為常用工作空間，這三類包容體的中心點(diǎn)位置、幾何尺寸、體積及與機(jī)床體積(5.86m3)之比如表3所示。具體工作空間如圖4所示。

表3 三類包容體參數(shù)表

Mikron五軸加工中心UCP800是傳統(tǒng)串聯(lián)結(jié)構(gòu)形式的機(jī)床，其五軸為X、Y、Z、A、C，具有曲面加工能力，其外圍體積約為7.73m3，由X、Y、Z三個(gè)方向的行程獲得其常用工作空間為0.26m3，與機(jī)床體積之比為3.36%。

圖4 三種規(guī)則形狀的常用工作空間

與表3對比可見，BJ－04－02(A)并聯(lián)機(jī)床的常用平動(dòng)位置空間與機(jī)床體積之比僅為傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)形式機(jī)床的1/7～1/4。

3 姿態(tài)能力角及相應(yīng)的方向余弦矩陣

式(1)中的方向余弦矩陣含有9個(gè)參數(shù)，用于描述物體的空間方向和姿態(tài)時(shí)直觀性較差，因此常用3個(gè)角度來描述物體的空間方向和姿態(tài)，如起源于航船姿態(tài)描述的“滾動(dòng)、俯仰、偏航”RPY角以及廣泛應(yīng)用于航海天文的“進(jìn)動(dòng)、章動(dòng)、自旋”歐拉角等［13-14］。

3.1 姿態(tài)能力角

“進(jìn)動(dòng)、章動(dòng)、自旋”歐拉角可描述物體的空間任意姿態(tài)，尤其適于描述陀螺的運(yùn)動(dòng)，但在機(jī)床控制中，由于需約束刀具平臺(tái)發(fā)生繞刀軸的自旋，因此需約束自旋角使其始終等于進(jìn)動(dòng)角的負(fù)值。

本文采用繞基礎(chǔ)坐標(biāo)系XY平面內(nèi)與X軸成角度ψ的軸線旋轉(zhuǎn)θ角來描述機(jī)床刀具平臺(tái)的姿態(tài)，這種姿態(tài)描述方法直觀性更強(qiáng)，也更簡便，如圖5所示。

圖5 刀軸偏擺示意圖

在保持刀尖點(diǎn)不動(dòng)，利用刀具平臺(tái)的姿態(tài)能力實(shí)現(xiàn)刀軸偏擺時(shí)，刀軸的偏擺范圍是以基礎(chǔ)坐標(biāo)系的Z軸為軸線的倒錐形(錐尖在下，錐底面在上)。該倒立圓錐的半錐頂角(θ角)表征了刀軸的偏擺能力。

姿態(tài)能力角:在以Z軸為軸線的360°范圍內(nèi)各方向上，刀軸可達(dá)最大偏擺角的最小值。換言之，即在以Z軸為軸線的360°范圍內(nèi)，刀軸向各個(gè)方向偏擺均可達(dá)的角度的最大值。

3.2 方向余弦矩陣

根據(jù)上述(ψ，θ)姿態(tài)描述方法，式(1)中的方向余弦矩陣形式如下［15］:

其中，α、β、γ 為旋轉(zhuǎn)軸線與基礎(chǔ)坐標(biāo)系X、Y、Z軸的夾角，且α=ψ，β=π/2－ψ，γ=π/2。

4 姿態(tài)空間圖譜

對于圖3所示的位置空間內(nèi)每一點(diǎn)，假設(shè)刀具平臺(tái)中心處于該點(diǎn)，在桿長、轉(zhuǎn)角、干涉約束下，計(jì)算刀具平臺(tái)的姿態(tài)能力角，并利用MATLAB繪制其在工作空間內(nèi)的分布，如圖6所示。

圖6 姿態(tài)能力角分布圖

圖6中，按照位置空間內(nèi)各點(diǎn)的Z坐標(biāo)“由小到大”的順序繪制Z向各層的姿態(tài)能力角分布。

依據(jù)圖6所示的計(jì)算結(jié)果，在X、Y、Z方向分別取離散片層，可獲得各層內(nèi)姿態(tài)能力角的分布情況。圖7所示分別為3個(gè)離散層(x=－100mm，y= －60mm，z= －880mm)的姿態(tài)能力角等值圖。

圖7 三個(gè)離散層上的姿態(tài)能力角等值圖

依據(jù)圖6所示的計(jì)算結(jié)果，可獲得任意給定的姿態(tài)能力角所對應(yīng)的工作空間。分別取姿態(tài)能力角為 5°、15°、25°，相應(yīng)的可達(dá)工作空間及其最大包容球如圖8所示。

姿態(tài)能力角分別取為 5°、10°、15°、20°、25°時(shí)，對應(yīng)工作空間最大包容球、最大包容圓柱及最大包容長方體的相關(guān)參數(shù)如表4所示(機(jī)床體積為5.86m3)。

圖8 三個(gè)姿態(tài)能力角對應(yīng)的工作空間

表4 5°～25°工作空間包容體參數(shù)表

與UCP800相比，5°姿態(tài)能力角對應(yīng)的常用工作空間與機(jī)床體積之比約為UCP800的1/8～1/6，20°姿態(tài)能力角對應(yīng)工作空間與機(jī)床體積之比約為 UCP800的1/28～1/22，25°時(shí)則僅為1/56～1/48。

5 結(jié)論

(1)該機(jī)床的工作空間呈陀螺形，上闊下尖，不是嚴(yán)格的規(guī)則體，但其在XY平面內(nèi)的投影有一定的三角對稱性。

(2)參考姿態(tài)下，該機(jī)床的可達(dá)位置空間與機(jī)床體積之比約為2.30%。但對于規(guī)則形狀(球、圓柱、長方體)的位置空間，該比值僅為UCP800的1/7～1/4。5°姿態(tài)能力角對應(yīng)的常用工作空間與機(jī)床體積之比僅為UCP800的1/8～1/6，20°姿態(tài)能力角時(shí)該比值僅為UCP800的1/28～1/22。

(3)在可達(dá)位置空間內(nèi)，各點(diǎn)處姿態(tài)能力角的分布具有如下特性:在中心區(qū)域，刀具平臺(tái)的可達(dá)偏角較大，越接近邊緣區(qū)域，可達(dá)偏角越小。

［1］張曙，Heisel U.并聯(lián)運(yùn)動(dòng)機(jī)床［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2003.

［2］于大泳，韓俊偉，李洪人.并聯(lián)機(jī)器人位姿誤差分析［J］.哈爾濱商業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2004，20(3):278-280.

Yu Dayong，Han Junwei，Li Hongren.Study on Pose Errors Analysis of Parallel Robot［J］.Journal of Harbin University of Commerce(Natural Science Edition)，2004，20(3):278-280.

［3］李育文，張華，楊建新，等.6－UPS并聯(lián)機(jī)床靜剛度的有限元分析和實(shí)驗(yàn)研究［J］.中國機(jī)械工程，2004，15(2):112-115.

Li Yuwen，Zhang Hua，Yang Jianxin，et al.Finite Element Analysis and Experimental Study for the Stiffnessofa6－UPSParallel Kinematic Machine［J］.China Mechanical Engineering，2004，15(2):112-115.

［4］吳海兵，劉遠(yuǎn)偉，左敦穩(wěn).交叉式并聯(lián)機(jī)床工作空間分析［J］.機(jī)械科學(xué)與技術(shù)，2009，28(4):472-475.

Wu Haibing，Liu Yuanwei，Zuo Dunwen.Workspace A-nalysis of a Cross － legged Parallel Machine Tool［J］.Mechanical Science and Technology，2009，28(4):472-475.

［5］趙迎祥，魯開講，郭旭俠，等.6－SPS并聯(lián)機(jī)床工作空間分析［J］.機(jī)械設(shè)計(jì)，2005，22(8):37-39.

Zhao Yingxiang，Lu Kaijiang，Guo Xuxia，et al.Analysis on Working Space of 6－SPS Parallel Machine Tools［J］.Journal of Machine Design，2005，22(8):37-39.

［6］Cheng Shili，Wu Hongtao，Wang Chaoqun，et al.A Novel Method for Singularity Analysis of the 6－SPSParallel Mechanisms［J］.Science China，2011，54(5):1220-1227.

［7］Cheng Shili，Wu Hongtao，Wang Chaoqun，et al.The Forward Kinematics Analysis of 6－3 Stewart Parallel Mechanisms［J］.Intelligent Robotics and Applications，2010，6424:409-417.

［8］Cao Yi，Zhou Hui，Shen Long，et al.Singularity Kinematics Principle and Position－Singularity Analyses of the 6 － 3 Stewart－ Gough Parallel Manipulators［J］.Journal of Mechanical Science and Technology，2011，25(2):513-522.

［9］Cao Yi，Zhang Qiuju，Zhou Hui，etal.Property Identification of 6－3 Stewart Parallel Manipulators for Special Orientations［J］.Intelligent Robotics and Applications，2008，5314:36-45.

［10］Li Baokun，Cao Yi，Huang Zhen，et al.Orientation －singularity and Orientation－workspace Analysis of the Stewart Platform Using Unit Quaternion［J］.Intelligent Robotics and Applications，2008，5314:131-140.

［11］Wu Peidong，Wu Changlin，Yu Lianqing.An Method for Forward Kinematics of Stewart Parallel Manipulators［J］.Intelligent Robotics and Applications，2008，5314:171-178.

［12］Karger A.Self－ motions of 6 －3 Stewart－ Gough Type Parallel Manipulators［M］//Lenarcic J，Stconistic M M.Advances in Robot Kinematics:Motion in Man and Machine.Dordrecht:Springer Nether Lands，2010:359-366.

［13］黃田，汪勁松.Gough_Stewart平臺(tái)運(yùn)動(dòng)學(xué)設(shè)計(jì)理論與方法［J］.中國科學(xué)(E 輯)，1999，29(4):310-320.

Huang Tian，Wang Jingsong.Theory and Method of Kinematics Design for Gough_Stewart Platform［J］.Science in China(Series E)，1999，29(4):310-320.

［14］黃真，趙永生，趙鐵石.高等空間機(jī)構(gòu)學(xué)［M］.北京:高等教育出版社，2006.

［15］韓建友.高等機(jī)構(gòu)學(xué)［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2004.