王濤，林衛(wèi)星，包建孟

寧波大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，浙江寧波 315211

基于協(xié)同PSO算法的非均勻采樣系統(tǒng)辨識

王濤，林衛(wèi)星，包建孟

寧波大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，浙江寧波 315211

1 引言

多率系統(tǒng)（Multirate system）是指存在兩種及兩種以上操作頻率的系統(tǒng)，它在石油、化工、冶金等工業(yè)過程控制方面得到廣泛的應(yīng)用。諸如：在復(fù)雜設(shè)備和生產(chǎn)線中的塔釜、容器和管道等都具有多個(gè)控制（測量）點(diǎn)，這些過程不僅采樣率不一樣，而且可能采樣間隔也不均勻，檢測數(shù)的時(shí)間往往較長，而過程控制信號的刷新頻率則相對較快，所以傳統(tǒng)的控制系統(tǒng)是無法滿足工業(yè)過程的需要的[1]。對多率系統(tǒng)的研究可以追溯到20世紀(jì)50年代，第一個(gè)重要工作是Kranc于1957年提出的開關(guān)分解技術(shù)（Switch decomposition technique），后來由Friedland和Khargoneckar等人發(fā)展而引入提升技術(shù)（Lifting technique）[2]，它可以將一個(gè)周期離散時(shí)變系統(tǒng)化為一個(gè)時(shí)不變系統(tǒng)?，F(xiàn)在，提升技術(shù)已成為處理多率系統(tǒng)的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)工具。在獲得非均勻采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)的提升狀態(tài)空間模型的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步將其轉(zhuǎn)化為輸入輸出表達(dá)的傳遞函數(shù)模型，從而應(yīng)用多種辨識方法進(jìn)行系統(tǒng)的辨識。目前多率系統(tǒng)的研究已經(jīng)成為國內(nèi)外研究的一個(gè)熱門領(lǐng)域，研究的活動(dòng)涉及多率系統(tǒng)的系統(tǒng)辨識、魯棒性研究、預(yù)測控制等。但是，值得注意的是，多率系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是研究和分析多率系統(tǒng)的基礎(chǔ)。近些年來，許多學(xué)者也相繼提出了一些模型框架，有時(shí)域模型（其中包括時(shí)變傳遞函數(shù)模型）、有理分式傳遞函數(shù)模型、狀態(tài)空間模型、頻域模型、小波模型還有其他的模型等[3]。

PSO算法是由美國學(xué)者Kennedy和Eberhart于1995年提出的一種模擬鳥群覓食尋優(yōu)算法。由于PSO算法可用于解決非線性、不可微和多峰值復(fù)雜函數(shù)的優(yōu)化問題。與其他進(jìn)化算法相比，它有著思想簡單、容易實(shí)現(xiàn)、可調(diào)參數(shù)較少和應(yīng)用效果明顯等優(yōu)點(diǎn)，所以得到了廣泛的研究和應(yīng)用[4]。本文提出將改進(jìn)的PSO算法應(yīng)用在雙率系統(tǒng)的參數(shù)辨識問題上，與傳統(tǒng)的多率辨識方法進(jìn)行比較、分析來證明該算法的有效性和優(yōu)越性。

2 系統(tǒng)描述

2.1 非均勻采樣多率系統(tǒng)

在一類工業(yè)過程控制領(lǐng)域中，普遍采用的雙率系統(tǒng)（Dual-rate system）如圖1所示。其為單輸入單輸出的離散時(shí)間系統(tǒng)，其中控制輸入非均勻刷新周期不等于控制輸出的非均勻采樣周期，就得到了一個(gè)簡單的非均勻采樣多率系統(tǒng)，P表示連續(xù)時(shí)間過程，v(t)是一個(gè)零均值隨機(jī)白噪聲，連續(xù)時(shí)間過程P的輸入u由非均勻零階保持器HmT生成，P的輸出受噪聲v(t)的影響，并由非均勻采樣器SnT生成輸出為y。輸入u和輸出y是離散時(shí)間信號，經(jīng)過保持器和采樣器的作用，輸入和輸出的周期可視為mT和nT。即使過程P是一個(gè)線性時(shí)不變過程，由于輸入刷新和輸出采樣周期的不同，從u到y(tǒng)的整個(gè)系統(tǒng)也是一個(gè)時(shí)變系統(tǒng)。為了使這個(gè)時(shí)變系統(tǒng)易于處理，下面介紹空間提升技術(shù)[5]。

圖1 非均勻采樣系統(tǒng)

2.2 空間提升技術(shù)

假設(shè)u(k)是一個(gè)離散時(shí)間信號，把連續(xù)n次輸入u(k)放在一起構(gòu)成一個(gè)輸入信號序列u(L)，u(k)到u(L)的映射關(guān)系可以表示為式（1）、式（2）所示。

雖然提升后u(L)的刷新周期是原信號u的n倍，但是提升信號u的維數(shù)也提高為原信號u的n倍，因此原有的系統(tǒng)信息并沒有因?yàn)樗⑿轮芷诘淖兓z失[6]。同樣，對輸出采樣信號通過Lm進(jìn)行提升得到y(tǒng)，對噪聲信號v通過Lm進(jìn)行提升得到v，原雙率采樣系統(tǒng)通過提升技術(shù)獲得框架周期為mnT的單率采樣系統(tǒng)，如圖2所示。

圖2 提升的雙率采樣系統(tǒng)

提升后，得到一個(gè)離散時(shí)間線性單率系統(tǒng)，如公式（3）所示。系統(tǒng)提升后的狀態(tài)空間模型如式（5）、式（6）所示。

式中，k=0表示采用輸出誤差結(jié)構(gòu)，-v為一個(gè)白噪聲向量，x是狀態(tài)向量[7-8]。假設(shè)P(z)的秩為p，則A，B，C，D的維數(shù)可以表示為p×p，p×1，1×p，1×1，而的維數(shù)可以表示為p×p，p×n，m×p，m×n。

2.3 傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換

已知一提升狀態(tài)空間方程如式（8）所示。

其中，離散時(shí)間變量k為一個(gè)正整數(shù)。通過Z變換得式（9）所示。

3 改進(jìn)協(xié)同PSO

3.1 標(biāo)準(zhǔn)PSO

PSO算法首先在解空間中初始化一群粒子，用位置、速度、適應(yīng)度值三項(xiàng)指標(biāo)來表示粒子的特性。適應(yīng)度是由適應(yīng)度函數(shù)計(jì)算得到的，其值的好壞代表粒子的優(yōu)劣。粒子在空間中運(yùn)動(dòng)，通過跟蹤個(gè)體極值Pbest和群體極值Gbest來更新位置，并且通過比較新粒子的適應(yīng)度值和群體極值的適應(yīng)度值來更新個(gè)體極值Pbest和群體極值Gbest[11]。

現(xiàn)假設(shè)在一個(gè)D維的空間里，有n個(gè)粒子組成的種群X=(X1,X2,…,Xn)，其中Xi=(xi1,xi2,…,xiD)，代表第i個(gè)粒子在D維空間中的位置，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)即可計(jì)算出粒子在位置Xi的適應(yīng)度值。第i個(gè)粒子的速度為Vi=(Vi1,Vi2,…,ViD)T，其個(gè)體極值為Pi=(Pi1,Pi2,…,PiD)T，種群的全局極值為Pg=(Pg1,Pg2,…,PgD)T。每次迭代中，粒子通過個(gè)體極值和全局極值來更新自身的速度和位置，更新公式如式（14）、式（15）所示。

式中，w為慣性權(quán)重(d=1,2,…,D)，Vid為粒子的速度，c1、c2為非負(fù)數(shù)常數(shù)，r1、r2為分布在[0，1]的隨機(jī)數(shù)，為了防止粒子的盲目搜索，通常會(huì)設(shè)定其位置速度在一定的區(qū)間里[-Xmax,Xmax]，[-Vmax,Vmax]。

與遺傳算法相比，粒子群優(yōu)化算法操作和實(shí)現(xiàn)都比較簡單，保留了基于種群的全局搜索策略，省略了遺傳算法中的交叉和變異操作。其比較獨(dú)特地利用了本身最優(yōu)信息和群體最優(yōu)信息來搜索當(dāng)前區(qū)域，是一種高效的概率搜索算法，已經(jīng)列入“國際進(jìn)化計(jì)算會(huì)議”的專題討論之一[12-13]。

3.2 協(xié)同PSO

PSO具有收斂速度快和通用性強(qiáng)的特點(diǎn)，但是同時(shí)存在著容易早熟的缺點(diǎn)，這時(shí)就喪失了種群多樣性[14]。另一方面，在粒子更新公式（14）、公式（15）中，只有種群的最優(yōu)值和個(gè)體最優(yōu)值被粒子應(yīng)用，這也是造成早熟收斂的另一原因[15]。為了避免早熟收斂，充分利用所有粒子的信息，設(shè)置早熟判定器。當(dāng)早期粒子陷入局部極值點(diǎn)時(shí)，用擾動(dòng)來跳出這個(gè)早熟點(diǎn)。本文利用群體生物的協(xié)作行為特點(diǎn)，在粒子更新公式中加入其他粒子的搜索結(jié)果，并加入基于閾值的早熟判定因子，在檢測到早熟時(shí)加入交叉變異擾動(dòng)種群，以改善粒子群優(yōu)化算法的搜索性能。

3.2.1 粒子協(xié)同機(jī)制算法

3.2.2 算法收斂性分析

公式（16）中，主要通過四部分來更新粒子速度：第一部分參考粒子前一時(shí)刻的一定比例速度；第二部分以粒子當(dāng)前位置和自己最好位置之間的距離為依據(jù)，向個(gè)體最優(yōu)值靠近；第三部分是粒子的當(dāng)前位置和群體最優(yōu)位置之間的距離，表現(xiàn)群體知識的共享和合作；第四部分為粒子當(dāng)代所有粒子的平均位置和粒子的當(dāng)前位置之間的距離為依據(jù)，取平均值，更能客觀反映大多數(shù)粒子的位置范圍，指示粒子以一定的概率追隨大多數(shù)粒子的位置所在，往大多粒子聚集的地方靠攏，可以更加快捷，準(zhǔn)確地找到群體的最優(yōu)值，有效避免陷入局部峰值的現(xiàn)象。

可以看到，方程（19）為標(biāo)準(zhǔn)的離散線性狀態(tài)方程，則狀態(tài)變量的離散狀態(tài)方程的特征方程為：λ2+(φ-1-w)·λ+w=0。

經(jīng)過上述分析化簡可得，CPSO算法的系統(tǒng)特征方程化簡形式仍與標(biāo)準(zhǔn)PSO保持一致，根據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定性理論，當(dāng)G的所有特征值幅值都小于1時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定，文獻(xiàn)[12]已有詳細(xì)證明。說明了新的算法和標(biāo)準(zhǔn)PSO具有相同的收斂特性，本算法在加入平均變異擾動(dòng)后，只是對歷史搜索的最優(yōu)值進(jìn)行擾動(dòng)變異，增強(qiáng)了算法的魯棒性，使粒子更易逃出局部最優(yōu)，更快地達(dá)到更好的最優(yōu)點(diǎn)。

3.2.3 閾值自判斷機(jī)制

當(dāng)粒子陷入局部最優(yōu)時(shí)，粒子的迭代過程中全局最優(yōu)解Gbest不再變化或者變化很小。由此可設(shè)置一個(gè)基于閾值的早熟檢測方法。當(dāng)Gbest在連續(xù)迭代中更新很小或不更新，檢測計(jì)數(shù)num加1，當(dāng)num≥Tm（Tm是連續(xù)Gbest的變化不超過閾值的迭代次數(shù)）時(shí)，判定群體搜索處于局部最優(yōu)。

3.2.4 隨機(jī)交叉和變異

3.2.5 算法流程

步驟1初始化最大迭代代數(shù)，種群規(guī)模N，粒子維數(shù)D，迭代代數(shù)計(jì)數(shù)器num，早熟閾值Q，迭代次數(shù)閥值Tm，c1=c2=2。

4.2.3 出口創(chuàng)匯的發(fā)展。膠州大白菜在國內(nèi)市場不斷增長，同時(shí)又銷往日韓、歐美等國家，在全球市場上得到廣泛認(rèn)可。2016年，膠州大白菜的國內(nèi)市場占其銷量的74.12%，國外市場占25.88%。其中，日、韓成為膠州大白菜國外的主要市場，韓國約占18.31%，日本占其銷量的6.16%。

步驟2根據(jù)公式（17）、公式（18）更新粒子速度和位置，如溢出取上下限值。

步驟3計(jì)算每個(gè)粒子適應(yīng)度值Jh。

步驟4比較Jh、Pbest、Gbest，更新粒子最優(yōu)位置。

步驟5判斷ΔGbest，若ΔGbest≤Q，num++，當(dāng)num≥Tm時(shí)，轉(zhuǎn)到式（16）進(jìn)行更新粒子位置。

步驟6判斷算法是否滿足終止條件，若滿足轉(zhuǎn)向步驟7，否則轉(zhuǎn)向步驟3。

步驟7輸出粒子的相關(guān)信息，算法結(jié)束。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

4.1 狀態(tài)空間模型辨識

取p=3，刷新和采樣時(shí)間間隔依次為τ1=1 s，τ2=2 s，τ3=3 s，刷新和采樣時(shí)間點(diǎn)為t1=1 s，t2=3 s，框架周期t3=T=τ1+τ2+τ3=6 s。提升狀態(tài)空間模型如式（21）所示。

為驗(yàn)證上述改進(jìn)算法的有效性，分別研究了系統(tǒng)在白噪聲和有色噪聲干擾情況下的用MATLAB軟件設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)的數(shù)字仿真，仿真對象如式（20）所示。

當(dāng)系統(tǒng)的輸入為零均值的單位方差隨機(jī)信號序列，{v(kT)}采用零均值方差為的白噪聲序列，取σr=0.1，其

其中，h為數(shù)據(jù)寬度，λ為遺忘因子且λ∈[0,1]，i越大，λi就越小，以提高數(shù)據(jù)的權(quán)重，更好地跟蹤系統(tǒng)。系統(tǒng)實(shí)際輸出Y(k)、估計(jì)輸出Y?(k)。定義誤差率為δ=||θ′-θ||/||θ||,(||X||= XTX)為參數(shù)估計(jì)誤差，θ為真值參數(shù)構(gòu)成的向量，θ′為θ的估計(jì)。采用本文提出的協(xié)同粒子群算法辨識對應(yīng)的可觀測性空間狀態(tài)模型如式（23）所示。適應(yīng)度函數(shù)如式（22）。

誤差估計(jì)曲線如圖3示，表1給出了運(yùn)用CPSO得到的參數(shù)估計(jì)、真值和系統(tǒng)的相對的誤差率值。最后辨識得到的提升多率系統(tǒng)的空間狀態(tài)模型如式（24）所示。

圖3 CPSO參數(shù)誤差隨k的變化曲線

表1 CPSO的真值與參數(shù)估計(jì)(σr=0.1)

表2 隨機(jī)梯度法真值與參數(shù)估計(jì)(σr=0.1)

隨機(jī)梯度法得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表2所示[16]。

從表1和表2的數(shù)據(jù)對比中，可以看到，對含有白噪聲干擾的非均勻采樣系統(tǒng)。引入變異因子的協(xié)同CPSO算法在迭代次數(shù)200次的時(shí)候系統(tǒng)誤差率2.881%遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于隨機(jī)梯度算法的42.94%，幾乎已經(jīng)達(dá)到隨機(jī)算法在3 000次時(shí)誤差率1.797 5%收斂效果。迭代3次時(shí)，CPSO算法收斂精度為5.15×10－4%，隨機(jī)算法收斂在1.797%，精度倍數(shù)約104個(gè)數(shù)量級。圖3研究了CPSO在白噪聲干擾下系統(tǒng)的收斂過程。從圖中可以看出，在前300次迭代時(shí)沒有引入變異因子，系統(tǒng)收斂速度比較快。在500次時(shí)，系統(tǒng)收斂速度緩慢，誤差率幾乎為零，系統(tǒng)平穩(wěn)，達(dá)到很好的收斂效果。

4.2 傳遞函數(shù)模型辨識

現(xiàn)假設(shè)當(dāng)系統(tǒng)的輸入為零均值的單位方差隨機(jī)信號序列，{v(kT)}采用零均值方差的有色噪聲信號，取σr= 0.1時(shí)，則得到系統(tǒng)提升的傳遞函數(shù)模型如式（25）所示。

其中，a1v(k-1)+a2v(k-2)+v(k)為一有色噪聲序法辨識在有色噪聲(σr=0.1)干擾下時(shí)的參數(shù)估計(jì)，如表3所示。各算法的誤差跟蹤曲線如圖4所示。為了更好研究CPSO算法的魯棒性，定義噪信比為噪聲幅值與信號幅值之比，分別取噪信比為0.1、0.5、2時(shí)系統(tǒng)的參數(shù)估計(jì)如表4，誤差曲線如圖5所示。

表3 有色噪聲下參數(shù)真值和參數(shù)估計(jì)(σr=0.1)

圖4 有色噪聲下各算法的誤差變化曲線(σr=0.1)

表4 CPSO在不同噪信比噪聲下的辨識值

圖5 不同有色噪信比下的CPSO算法的誤差曲線

從表3得出各算法在有色噪聲(σr=0.1)干擾下系統(tǒng)的收斂情況。CPSO收斂誤差率為0.347 3%、SPSO為33.150 5%、遞推LS為81.548 4%。CPSO參數(shù)辨識的精度最高。表4實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是將噪聲擾動(dòng)依次提高的結(jié)果，噪信比分別為0.1、0.5、2時(shí)，CPSO算法的收斂在誤差率分別為0.347 3%、16.792 9%、39.524 1%。圖4研究了在有色噪聲干擾下，三種算法的收斂性能的比較。從圖中可以看出，SPSO和LS算法收斂速度很快但是精度不高。CPSO雖然收斂速度稍慢，但是保持了很高精度，能夠準(zhǔn)確估計(jì)到參數(shù)真實(shí)值。圖5是依次取噪信比0.1、0.5、2，曲線仍然可以收斂，表明CPSO算法無論從精度還是魯棒性都優(yōu)于其他幾種算法，較好地克服了SPSO易陷入局部收斂的缺點(diǎn)。

5 結(jié)論

本文針對非均勻采樣的多率系統(tǒng)的輸入和輸出數(shù)據(jù)，采用提升技術(shù)，提出了基于新型的協(xié)同粒子群優(yōu)化的辨識算法，通過在白噪聲干擾下的空間狀態(tài)方程模型和有色噪聲干擾下的差分模型的參數(shù)辨識，對比傳統(tǒng)的辨識算法，新型的協(xié)同算法在參數(shù)精確度、魯棒性和實(shí)時(shí)性上都得到較好的結(jié)果，從而證明了該算法的合理性和有效性。

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WANG Tao,LIN Weixing,BAO Jianmeng

Faculty of Information Science and Technology,Ningbo University,Ningbo,Zhejiang 315211,China

For one type of non-uniformly sampled data of dual-rate system,by using the lifting technique the state space models of the multirate systems are got and thus the corresponding transfer functions are obtained.An asynchronous pattern from analyzing on biologic character of particle swarm optimization is proposed,and a novel method is studied for dual-rate system identification which is based on the improved CPSO（Cooperative Particle Swarm Optimization,CPSO）under different noise models.To prove the validity and rationality of the new algorithm,this paper compares the differences of many traditional algorithms and CPSO algorithm in accuracy and robustness by experimental simulation.

dual-rate system;non-uniformly sampled-data systems;state space model;parameter estimation;cooperative Particle Swarm Optimization（PSO）

對于非均勻采樣數(shù)據(jù)的雙率系統(tǒng)，運(yùn)用提升技術(shù)，得到系統(tǒng)離散狀態(tài)空間模型，變換得到相應(yīng)的傳遞函數(shù)模型。討論在有色噪聲和白噪聲的干擾下，提出了利用協(xié)同粒子群（Cooperative Particle Swarm Optimization，CPSO）的新穎算法，通過實(shí)驗(yàn)仿真對比傳統(tǒng)的算法和協(xié)同PSO算法的精度和魯棒性，證明新型算法的有效性和合理性。

雙率系統(tǒng)；非均勻采樣系統(tǒng)；狀態(tài)空間模型；參數(shù)估計(jì)；協(xié)同粒子群優(yōu)化（PSO）

A

TP271

10.3778/j.issn.1002-8331.1303-0473

WANG Tao,LIN Weixing,BAO Jianmeng.Method of non-uniformly sampled-data system identification based on cooperative PSO.Computer Engineering and Applications,2013,49（24）：32-37.

浙江省教育廳重點(diǎn)項(xiàng)目（No.Z201017236）；浙江省錢江人才項(xiàng)目（No.2011R10074）；寧波市自然科學(xué)基金（No.2012A610005）。

王濤（1988—），男，碩士，研究方向?yàn)橹悄芩惴?，信息集成和智能控制；林衛(wèi)星（1957—），男，教授，研究方向?yàn)橄到y(tǒng)辨識，智能控制與優(yōu)化，計(jì)算機(jī)控制；包建孟（1987—），男，碩士，研究方向?yàn)樾畔⒓珊椭悄芸刂婆c優(yōu)化。

2013-03-29

2013-06-07

1002-8331（2013）24-0032-06

CNKI出版日期：2013-09-12http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20130912.1436.013.html