李 銳，陶 亮

安徽大學(xué) 計(jì)算智能與信號(hào)處理教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，合肥 230039

基于多高斯窗的實(shí)值離散Gabor變換

李 銳，陶 亮

安徽大學(xué) 計(jì)算智能與信號(hào)處理教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，合肥 230039

1 引言

Gabor變換是重要的時(shí)頻分析方法之一[1]。Gabor變換的重要特點(diǎn)在于Gabor變換系數(shù)揭示了信號(hào)在時(shí)域與頻域的局部化性，Gabor變換的優(yōu)點(diǎn)已被用于非平穩(wěn)信號(hào)的處理，如生物醫(yī)學(xué)信號(hào)的分析與處理、信號(hào)的檢測(cè)、圖像壓縮、圖像識(shí)別、線性時(shí)變系統(tǒng)建模等方面。然而，由于傳統(tǒng)復(fù)值離散Gabor變換算法具有較高的計(jì)算復(fù)雜性，從而限制了其實(shí)時(shí)應(yīng)用。另外，傳統(tǒng)復(fù)值離散Gabor變換是單窗的，具有固定的時(shí)頻分辨率這一缺點(diǎn)。由于受窗函數(shù)時(shí)寬-帶寬之間的制約關(guān)系，也即不確定性原理[2]限制，傳統(tǒng)單窗復(fù)值離散Gabor變換時(shí)間分辨率和頻率分辨率是矛盾的關(guān)系，不可能同時(shí)都好。為了改善傳統(tǒng)離散Gabor變換時(shí)頻分辨率并加快其變換速度，本文在文獻(xiàn)[3]基礎(chǔ)上提出了一種基于多高斯窗的實(shí)值離散Gabor變換。實(shí)值離散Gabor變換有快速算法[4]，其變換系數(shù)與復(fù)值離散Gabor變換系數(shù)的實(shí)部和虛部有著非常簡(jiǎn)單的加減關(guān)系，因此能大大減少?gòu)?fù)值離散Gabor變換系數(shù)計(jì)算量。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基于多高斯窗的實(shí)值離散Gabor變換能得到較好時(shí)間和頻率的分辨率，明顯改善聯(lián)合時(shí)頻域內(nèi)的聚集性，更適用于非平穩(wěn)信號(hào)的處理。

2 傳統(tǒng)離散Gabor變換回顧

2.1 單窗復(fù)值離散Gabor變換

x(k)為一個(gè)有限長(zhǎng)或者經(jīng)過(guò)周期拓展的時(shí)間序列，周期為L(zhǎng)。傳統(tǒng)的單窗離散Gabor展開(kāi)式定義[5]為：

其中δk={1,k=0 0,k≠0，給定的綜合窗h(k)就可以由此式求出雙正交分析窗γ(k)。

2.2 多窗復(fù)值離散Gabor變換

設(shè)x(k)為有限長(zhǎng)或者截?cái)嗟倪M(jìn)行周期拓展的時(shí)間序列，周期為L(zhǎng)，那么基于多高斯窗下的Gabor展開(kāi)式[1]定義為：

其中 j= -1，系數(shù)cθ，m，n可由以下公式獲得：

這里I，M，N分別為窗函數(shù)的個(gè)數(shù)，時(shí)間和頻率的采樣點(diǎn)數(shù)。M，N，L的關(guān)系及完備性條件與2.1節(jié)的傳統(tǒng)離散Gabor變換的約束條件和關(guān)系一樣，這里就不多敘述了。其中：

h(k)為高斯窗函數(shù)，在這里稱為母窗，hθ(k)稱為子窗。傳統(tǒng)的離散Gabor變換是單窗下進(jìn)行的，具有固定的時(shí)間和頻率的分辨率，由于受到時(shí)寬-帶寬的不確定性原理限制，在單窗條件下離散Gabor變換的時(shí)間和頻率分辨率是成反比的，不可同時(shí)做到都好。由公式（4）和公式（5）可以看出將信號(hào)在一組窗函數(shù)下分解，由于平均的作用，其時(shí)間和頻率分辨率可同時(shí)得到有效改善。

3 基于多高斯窗的實(shí)值離散Gabor變換

3.1 單窗實(shí)值離散Gabor變換

將長(zhǎng)度為L(zhǎng)的信號(hào)拓展或截?cái)喑芍芷跒長(zhǎng)的序列x(k)，實(shí)值離散Gabor展開(kāi)和Gabor變換系數(shù)分別定義為式（6）和式（7）[4]。

公式（6）稱為實(shí)值離散Gabor變換，其中：

3.2 多高斯窗實(shí)值離散Gabor變換

在文獻(xiàn)[3]方法基礎(chǔ)上，利用實(shí)值離散Gabor變換取代復(fù)值離散Gabor變換，即可得到基于多高斯窗的實(shí)值離散Gabor變換，這樣既可改善Gabor變換時(shí)頻分辨率，又可加快Gabor變換速度，適應(yīng)實(shí)時(shí)處理需求。基于多高斯窗的實(shí)值離散Gabor展開(kāi)式和變換式分別定義為[3-6]：

其中hθ，m，n(k)和γθ，m，n(k)要滿足雙正交的完備性關(guān)系公式：

通過(guò)公式（12）可以看出是把信號(hào)在多組高斯基函數(shù)上進(jìn)行分解，進(jìn)行不同尺度的分解，然后求平均來(lái)還原信號(hào)，可以得到不同時(shí)間和頻率尺度的Gabor展開(kāi)（變換）系數(shù)，克服了固定窗函數(shù)的缺點(diǎn)。

4 進(jìn)化譜分析

傳統(tǒng)的確定性信號(hào)可表示如下：是時(shí)間-頻率核，并由如下公式獲得：

其中cθ，m，n是基于多高斯窗的下的復(fù)值Gabor變換系數(shù)。定義：

為時(shí)間變化窗。圖1為w（k，64）的時(shí)間變化窗，對(duì)應(yīng)的幅度頻譜圖如圖2所示。

圖1 w（k，64）時(shí)間變化窗

圖2 w（k，64）的頻譜圖

從圖1和圖2可以看出時(shí)間變化窗在時(shí)間和頻率都有良好的分辨率而且很平滑，對(duì)信號(hào)分解可以得到比較好的時(shí)間和頻率的分辨率，時(shí)變窗的三維圖形如圖3所示。

圖3 時(shí)變窗三維圖

x(k)的進(jìn)化譜定義為：

A(k，wn)是復(fù)函數(shù)，可用多高斯窗下的實(shí)值Gabor變換簡(jiǎn)化計(jì)算，為此可將式（15）改寫(xiě)如下：

其中aθ，m，n為多高斯窗下的實(shí)值離散Gabor變換系數(shù)，可由式（12）獲得。再將式（16）改寫(xiě)如下：

不難看出，式（18）可通過(guò)使用N點(diǎn)離散Hartley變換（DHT）快速算法計(jì)算。根據(jù)實(shí)值Gabor變換系數(shù)與復(fù)值離散Gabor變換系數(shù)關(guān)系，不難導(dǎo)出A(k，wn)與RA(k，wn)的關(guān)系如下：

由于實(shí)值運(yùn)算速度快于復(fù)值運(yùn)算速度，所以能加快信號(hào)分析的過(guò)程。

5 實(shí)驗(yàn)

非平穩(wěn)信號(hào)是指分布參數(shù)或者分布律隨時(shí)間發(fā)生變化的信號(hào)并且統(tǒng)計(jì)特征是時(shí)間的函數(shù)，一般的分析方法是時(shí)頻聯(lián)合分析。心電圖檢查是臨床常規(guī)檢查項(xiàng)目之一，其對(duì)于心臟疾病的及早發(fā)現(xiàn)及治療具有重要的意義。醫(yī)生從心電圖中得到所需的臨床信息，根據(jù)這些信息對(duì)病人作出診斷。心電圖到動(dòng)態(tài)心電圖，其過(guò)渡的一個(gè)關(guān)鍵是心電信號(hào)臨床信息的自動(dòng)識(shí)別，即心電信號(hào)分析技術(shù)。目前的心電圖自動(dòng)分析并不能完全取代人工分析，大多只用來(lái)輔助心電專(zhuān)家對(duì)病人進(jìn)行診斷，其主要原因是現(xiàn)有的心電自動(dòng)診斷技術(shù)精度不夠，不能完全達(dá)到臨床應(yīng)用的要求。因此提高對(duì)心電信號(hào)分析的準(zhǔn)確性和實(shí)用性，對(duì)實(shí)現(xiàn)自動(dòng)化分析有著非常重要的意義。

圖4 EKG（心電信號(hào)）信號(hào)

圖5 寬高斯窗下譜圖

圖6 窄高斯窗下時(shí)頻譜圖

圖7 多高斯窗下進(jìn)化譜圖

6 總結(jié)

針對(duì)傳統(tǒng)的單窗復(fù)值離散Gabor變換具有固定的時(shí)頻分辨率，文獻(xiàn)[3]提出的基于多高斯窗的復(fù)值Gabor變換得到的進(jìn)化譜雖然時(shí)頻精度高但是由于其變換是基于復(fù)值因此速度慢。本文提出了一種基于多高斯窗的實(shí)值離散Gabor變換，不僅改善了離散Gabor變換時(shí)頻分辨率還加快了其變換速度，從而提供了一種快捷地計(jì)算非平穩(wěn)信號(hào)（高時(shí)頻分辨率）進(jìn)化譜（時(shí)頻譜）方法。圖7可以看出信號(hào)在時(shí)頻域內(nèi)有良好的聚集性，有較好的實(shí)用性。仿真實(shí)驗(yàn)表明基于多高斯窗的實(shí)值Gabor變換既能得到較高的時(shí)頻聚集性而且計(jì)算復(fù)雜度小。

[1]GaborD.Theory ofcommunication[J].JInstElectrEng，1946，93（3）：429-457.

[2]Cohen L.Time-frequency analysis[M].Englewood Cliffs，NJ：Prentice-Hall，1995.

[3]Akan A，Chaparro L F.Multi-window Gabor expansion for evolutionary spectral analysis[J].Signal Processing，1997，63 （1）：249-262.

[4]陶亮，顧涓涓.實(shí)值Gabor變換理論及應(yīng)用[M].合肥：安徽科學(xué)技術(shù)出版社，2005.

[5]Qian S，Chen D.Discrete Gabor transform[J].IEEE Transactions on Signal Processing，1993，41（7）：2429-2438.

[6]Wang L，Chen C T，Lin W C.An efficient algorithm to compute the complete set of discrete Gabor coefficients[J]. IEEE Trans on Image Processing，1994，3（1）：87-92.

LI Rui,TAO Liang

MOE Key Lab of Intelligence Computing and Signal Processing,Anhui University,Hefei 230039,China

The traditional single-window based discrete Gabor transform has a fixed joint time-frequency resolution.Due to the uncertainty principle the time resolution and frequency resolution in the Gabor transform domain have an inverse proportion relationship.In order to improve the joint time-frequency resolution of the traditional discrete Gabor transform and speed up the transform,it presents a multi-Gaussian window based real-valued discrete Gabor transform.The experimental results show that the proposed transform can effectively improve the accuracy of the joint time-frequency resolution,it provides a fast method for the computation of the evolutionary spectrum of the non-stationary signals with the high joint time-frequency resolution.

real-valued discrete Gabor transform;time-frequency signal analysis;evolutionary spectrum

傳統(tǒng)的單窗復(fù)值離散Gabor變換具有固定的時(shí)頻分辨率，由于受窗函數(shù)時(shí)寬-帶寬之間的制約關(guān)系，即不確定性原理限制，其時(shí)間分辨率和頻率分辨率是矛盾的關(guān)系。為了改善傳統(tǒng)離散Gabor變換時(shí)頻分辨率并加快其變換速度，提出了一種基于多高斯窗的實(shí)值離散Gabor變換，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明能有效改善聯(lián)合時(shí)頻域內(nèi)的聚集性，從而提供了一種快捷地計(jì)算非平穩(wěn)信號(hào)進(jìn)化譜方法。

實(shí)值離散Gabor變換；時(shí)頻分辨率；進(jìn)化譜

A

TP391

10.3778/j.issn.1002-8331.1107-0463

LI Rui,TAO Liang.Multi-Gaussian window based real-value discrete Gabor transform.Computer Engineering and Applications,2013,49（5）：210-212.

國(guó)家自然科學(xué)基金（No.61071169）；安徽大學(xué)創(chuàng)新研究項(xiàng)目（No.yqh090053）。

李銳（1986—），男，碩士研究生，主要研究領(lǐng)域?yàn)樾盘?hào)處理；陶亮（1963—），男，博士，教授，主要研究領(lǐng)域?yàn)樾盘?hào)處理、模式識(shí)別等。E-mail：lirui4788503@163.com

2011-07-22

2011-12-26

1002-8331（2013）05-0210-03