于曉默，薛加海，秦愛玲，周文景，葉俊科

（廣西大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，廣西 南寧 530004）

0 引言

波紋管廣泛應(yīng)用于日常生活和工業(yè)生產(chǎn)過程中，其結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)是一項(xiàng)復(fù)雜的工藝過程，由于需要經(jīng)受循環(huán)載荷作用，既要保證部件具備一定的柔性提供足夠的位移補(bǔ)償來滿足工程應(yīng)用中位移補(bǔ)償?shù)墓δ苄枰?；同時(shí)需要兼顧強(qiáng)度、疲勞壽命、穩(wěn)定性、剛度及生產(chǎn)工藝性等性能約束，因此，波紋管的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)是典型的帶有多約束條件的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。

而在以往的生產(chǎn)過程中，由于結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)周期長,以分析設(shè)計(jì)為準(zhǔn)則的校核式設(shè)計(jì)往往需要憑借人為經(jīng)驗(yàn)反復(fù)運(yùn)算，才能得到一個(gè)較經(jīng)濟(jì)而又安全的設(shè)計(jì)結(jié)果，工作量大,且容易受到人為因素的影響。如何提高設(shè)計(jì)效率，減少實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)次數(shù)，尋找一種方便可靠高效的設(shè)計(jì)方案是學(xué)術(shù)界一直在試圖解決的問題。文獻(xiàn)中[1]和[2]分別采用有限元軟件分析方法和線性加權(quán)法，將波紋管結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的多個(gè)目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化問題，取得了一定的成果。人為定出權(quán)重，使得目標(biāo)影響所占的比重固定，或者將單位重量波紋管的補(bǔ)償量作為目標(biāo)函數(shù)，都等同于承認(rèn)了不同目標(biāo)函數(shù)之間存在的線性關(guān)系，顯然，這樣的假設(shè)是存在缺陷的。而在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)于多目標(biāo)優(yōu)化問題，人們更希望得到滿足重量（成本）和總體剛度之間的一組最優(yōu)解，在兩者之間做出平衡，然后選擇自身最希望得到的結(jié)構(gòu)參數(shù)，所以本文引入了多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化。

1 多目標(biāo)優(yōu)化模型

在實(shí)際生產(chǎn)過程中，波距通常由廠家直接給出，故可選取相互獨(dú)立的結(jié)構(gòu)參數(shù)波高（h）、單層波殼名義壁厚（t）、層數(shù)（m）、波數(shù)（n）為設(shè)計(jì)變量；以波紋管最小整體剛度和最小質(zhì)量為優(yōu)化目標(biāo)，建立多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)模型如下：

計(jì)算總體剛度的經(jīng)驗(yàn)公式：

計(jì)算U形無加強(qiáng)波紋管質(zhì)量的經(jīng)驗(yàn)公式如下：

其中：Eb—設(shè)計(jì)溫度下材料的彈性模量；Cf—波紋管的計(jì)算修正系數(shù)；t—波紋管成型后一層材料的厚度；Db—波紋管直邊段內(nèi)徑；ρ—材料密度；Dm—波形管的平均直徑，其中Dm=Db+h+mt。

2 多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法

2.1 標(biāo)準(zhǔn)型粒子群優(yōu)化算法（SPSO）

粒子群優(yōu)化算法（PSO）[3]是一種群智能進(jìn)化算法，在標(biāo)準(zhǔn)粒子群優(yōu)化算法中，將任意粒子抽象為潛在的一個(gè)解，并以迭代方式使粒子向自身記憶的最好位置和群體迄今為止找到的最好位置靠近，從而達(dá)到優(yōu)化的目的。而在D維的目標(biāo)搜索空間中，每個(gè)粒子又可以看成是空間內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，每個(gè)粒子在第t次迭代時(shí)的狀態(tài)屬性由兩個(gè)向量來決定：位置向量和速度向量：

Pbesti（t）和 Gbest（t）分別為第 t次迭代后得到的粒子個(gè)體最優(yōu)位置和當(dāng)前的全體最好位置。迭代的更新公式如下：

其中：ω—慣性權(quán)重；r1和r2為均勻分布在 [0,1]區(qū)間的隨機(jī)數(shù)，c1和c2—加速系數(shù)，分別調(diào)節(jié)粒子飛向自身個(gè)體最好位置方向和最好鄰居方向的步長。

2.2 改進(jìn)型多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法

與單目標(biāo)優(yōu)化問題比較MOP的解是一組非優(yōu)劣解組成的解集，將PSO改進(jìn)為MOPSO時(shí)應(yīng)明確的幾個(gè)問題：采用Pareto支配關(guān)系[5]來選擇個(gè)體極值Pbest；采用外部種群策略[4]來保持解的收斂性和多樣性，群體進(jìn)化中產(chǎn)生的最優(yōu)解保存到外部檔案中；采用pareto占優(yōu)策略[5]來更新外部存儲(chǔ)器中的非優(yōu)劣解集，保證存儲(chǔ)器中的粒子數(shù)量不超過上限值。

由于多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法全局搜索能力強(qiáng)、控制參數(shù)少、算法簡(jiǎn)單、收斂速度快等特點(diǎn)，在多目標(biāo)優(yōu)化領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。

如何提高種群多樣性，避免陷入局部最優(yōu)，是目前對(duì)多目標(biāo)粒子群進(jìn)化算法進(jìn)行改進(jìn)的主要內(nèi)容。本文為了提高搜索精度，引入主從分群的多子群協(xié)同搜索策略[6]，將粒子種群劃分為N個(gè)相互獨(dú)立的子種群，分別在D維的目標(biāo)搜索空間中進(jìn)行搜索，每個(gè)子群體代表求解問題的一個(gè)子目標(biāo)，所有子群體在獨(dú)立進(jìn)化的同時(shí)，又能利用周期性地信息遷移維持種群多樣性，抑制算法早熟現(xiàn)象的發(fā)生。改進(jìn)型多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法流程如下：

Step1:初始化粒子群的每個(gè)子種群,在決策向量決定的可行解空間初始化群體（xi1,xi2,…,xim）和隨機(jī)的初始每個(gè)粒子的速度 Vi0（vi1,vi2,…,vim）。

Step2:根據(jù)目標(biāo)函數(shù)關(guān)系計(jì)算各子目標(biāo)的函數(shù)值，確定出各子種群進(jìn)化的全局最優(yōu)解gbest。

Step3:根據(jù)式（3）、（4）更新粒子的位置和速度， 形成新的種群，根據(jù)Pareto占優(yōu)排序機(jī)制更新外部存儲(chǔ)器。

Step4：重復(fù)步驟2、3直至各粒子的迭代步數(shù)達(dá)到最大步數(shù)為止。

Step5:達(dá)到規(guī)定的最大迭代步數(shù)，輸出非優(yōu)劣解集，算法終止。

3 波紋管結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例

查找文獻(xiàn)[7]和[8]，制定如下U型無加強(qiáng)波紋管設(shè)計(jì)條件：材料采用316L，設(shè)計(jì)溫度為300℃，設(shè)計(jì)溫度下材料的彈性模量Eb=18.9E4 MPa；壓力P=0.4MPa；波距q=41mm；波紋管平均直徑Dm=350mm；波紋管直邊外徑D0=230mm；單波伸縮量e=9mm；修正系數(shù)Cf=1.4；疲勞壽命10500周次，采用液壓成型，材料密度ρ=7.93g/cm3。約束條件如表1所示。

表1 約束條件Tab.1 Constraints

改進(jìn)的多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法參數(shù)設(shè)置：種群大小nPop=50，外部存儲(chǔ)器的大小為nRep=200， c1=c2=1.5，ω=0.5。根據(jù)設(shè)計(jì)變量的取值范圍，初始化100個(gè)樣本點(diǎn)，設(shè)置迭代次數(shù)為200次，表2中列出了優(yōu)化后隨機(jī)取出的5組優(yōu)化工藝參數(shù)組和實(shí)際在用波紋管參數(shù)組。

表2 優(yōu)化結(jié)果對(duì)比Tab.2 Optimization results contrast

優(yōu)化結(jié)果顯示，算法搜索到的最優(yōu)解支配了在用波紋管性能結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)變量組，這說明算法找到了至少三組設(shè)計(jì)變量（2組、3組、4組）參數(shù)，使得兩個(gè)目標(biāo)值均優(yōu)于實(shí)際在用參數(shù)組，實(shí)際測(cè)量值同實(shí)驗(yàn)值有出入，這與文中使用的經(jīng)驗(yàn)公式有關(guān)，結(jié)果證明了算法優(yōu)化的有效性。

圖1顯示了多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法優(yōu)化得到的Pareto前沿，為用戶提供了更多的優(yōu)化結(jié)果選擇，通過圖中Pareto前沿的顯示結(jié)果，用戶可以依據(jù)實(shí)際情況自行選擇平衡兩個(gè)目標(biāo)，并選取相應(yīng)的工藝參數(shù)組。

4 結(jié)論

本文將改進(jìn)型多目標(biāo)粒子群優(yōu)化方法應(yīng)用到波紋管結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中,通過建立結(jié)構(gòu)參數(shù)多目標(biāo)數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)了波紋管的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)，獲得了較為理想的優(yōu)化結(jié)果，同以往的優(yōu)化方法相比，可以為用戶提供更多的優(yōu)化解進(jìn)行選擇，體現(xiàn)出了經(jīng)濟(jì)性和高效性，本文可以為波紋管的制造信息化提供借鑒。

[1]孫愛芳.基于CAE的U形波紋管膨脹節(jié)的工程優(yōu)化設(shè)計(jì)[J].壓力容器，2005，2.

[2]于穎.基于PSO的波紋管結(jié)構(gòu)完整性設(shè)計(jì)[J].機(jī)械設(shè)計(jì)與制造，2008，5.

[3]Kennedy,J.,&Eberhart,R.C.(1995).Particle swarm optimization.Proceedingsofthe IEEE internationalconference on neural networks.

[4]Ray T.,Liew K.M.A swarm metaphor for multiobjective design optimization[J].Engineering Optimization，2002，2.

[5]Coello C.,A.C.,Pulido G.,et al.Handling multiple objectives with particle swarm optimization[J].IEEE Transactions on Evolutionary Computation 3，2004.

[6]Yong Zhang,Dun-wei Gong.Handling multi-objective optimization problems with a multi-swarm cooperative particle swarm optimizer[J].Expert Systems with Applications，38，2011.

[7]GB-T12777-1999，金屬波紋管膨脹節(jié)通用技術(shù)[S].

[8]趙正修.壓力容器設(shè)計(jì)[M].濟(jì)南:石油大學(xué)出版社，1996.