傅緒加,吳紅光
(1.淮北師范大學 數(shù)學科學學院,安徽 淮北 235000;2.南京理工大學 理學院,江蘇 南京 210094)
向量范數(shù)函數(shù)的單調(diào)遞減性質(zhì)
傅緒加1,2,吳紅光1
(1.淮北師范大學 數(shù)學科學學院,安徽 淮北 235000;2.南京理工大學 理學院,江蘇 南京 210094)
在有限維實向量空間?N中,用兩種方法證明lp范數(shù)函數(shù)(p >0)的單調(diào)遞減性質(zhì),并應用此性質(zhì),證明任意兩個lp范數(shù)(p ≥1)之間的等價性.
向量空間;向量范數(shù);單調(diào)遞減性
在有限維實向量空間?N中,可以引入不同的范數(shù),使之成為不同的賦范空間[1-2],常用的范數(shù)有l(wèi)p范數(shù)(p≥1),如l1范數(shù)、l2范數(shù)、l∞范數(shù)[1].由于范數(shù)滿足齊次性與三角不等式性[1-2],故范數(shù)可視為是定義在向量空間上的凸函數(shù),很多工程問題最終可歸結(jié)為相應的賦范空間中的lp范數(shù)極小化或lp范數(shù)正則化問題[1-6].近年來,此類問題在機器學習、反問題、圖像處理、結(jié)構(gòu)化稀疏表示、壓縮感知等領(lǐng)域[3-6]廣受關(guān)注.探究向量lp范數(shù)的有關(guān)性質(zhì),仍具有意義.對于不同的p≥1值,空間?N中向量的lp范數(shù)實際上給出了向量長度或模的不同度量方式,它們之間具有某些聯(lián)系,如等價性等.在lp范數(shù)的定義式中取p∈(0 ,1)時,所得到的實函數(shù)并不是向量空間?N(N ≥2)中的向量范數(shù),詳見本文的定義1及其說明,但是,此時的lp極小化問題或正則化問題(p ∈(0 ,1) )卻有諸多有趣的性質(zhì)[6].本文主要討論向量不同范數(shù)之間的大小關(guān)系,主要結(jié)論為定理1與定理2.
3.1 定理1的第一種證法
3.2 定理1第二種證法
[1]李慶楊,王能超,易大義.數(shù)值分析[M].5版.北京:清華大學出版社,2008.
[2]張恭慶,林源渠.泛函分析講義:上冊[M].北京:北京大學出版社,2009.
[3]LU Zhaosong.Iterative reweighted minimization methods for lpregularized unconstrained nonlinear programming[J].Pre?print,2012,arXiv:1210.0066.
[4]DAUBECHIES I,DEVORE R,F(xiàn)ORNASIER M,et al.Iteratively reweighted least squares minimization for sparse recovery[J].Communications on Pure and Applied Mathematics,2010,63(1):1-38.
[5]VESE L A,OSHER S J.Image denoising and decomposition with total variation minimization and oscillatory functions[J]. Journal of Mathematical Imaging and Vision,2004,20(1/2):7-18.
[6]XU Zongben,GUO Hailiang,WANG Yao,et al.Representative ofL12regularization amongLq(0 The Monotone Decreasing Property of Vector Norm Functions FU Xu-jia1,2,WU Hong-guang1 In finite dimensional real vector space?N,the monotone decreasing property oflpnorm func?tions(p >0 )was proved by two methods,and this property was applied to prove the equivalence of any two lpnorms(p ≥1). vector space;vector norms;monotone decreasing property O 151.21 A 2095-0691(2013)04-0026-04 2013-06-27 安徽省高等學校省級自然科學研究項目(KJ2013B252);淮北師范大學教研項目(JY10227);淮北師范大學青年研究項目(2012xq56) 傅緒加(1978- ),男,安徽六安人,講師,博士生,研究方向:圖像建模與分析.
(1.School of Mathematical Sciences,Huaibei Normal University,235000,Huaibei,Anhui,China;
2.School of Science,Nanjing University of Science and Technology,210094,Nanjing,Jiangsu,China)