王海洋，雷賢卿，崔靜偉

（河南科技大學 機電工程學院，洛陽 471003）

0 引言

在工程應用當中，廣泛涉及到平面線輪廓如漸開線、橢圓、拋物線、擺線和萁舌線的輪廓度測量、識別和誤差評定[1]。如在模式識別和計算機視覺中，圖形（圖像）數(shù)據(jù)的模型擬合和匹配是一項基本工作。CAD中在理論和實際應用中經(jīng)常遇到二次曲線的擬合問題[2]。在徑流式葉輪的設計和制造過程中，拋物線型葉片以其良好的氣動性能、強度及工藝性被普遍采用[3]。在汽車制造業(yè)的深孔加工中拋物線型麻花鉆以其排屑流暢、剛性好、使用壽命長代替了傳統(tǒng)的麻花鉆[4]。在數(shù)控系統(tǒng)加工零件過程中，拋物線輪廓的插補擬合算法的研究對提高擁有拋物線輪廓零件的精度有著很高的實用價值[5]。因此研究拋物線輪廓度誤差評價方法對保證拋物線型葉片及其他拋物線型零件的加工質(zhì)量和精度有著重要的意義。

關(guān)于拋物線的輪廓度誤差的評定，國家標準尚未給出明確的定義和特定的評定算法求解拋物線輪廓度誤差，近年來國內(nèi)外學者專門對拋物線的研究較少，比較有代表性的成果分為幾何距離擬合和代數(shù)距離擬合；幾何距離擬合由H.Sp?th在1996提出的用正交距離最小二乘法擬合拋物線[6]和Sung Joon Ahn在H.Sp?th的基礎(chǔ)上對橢圓、拋物線等二次曲線用正交距離的最小二乘法進行擬合[7]；在代數(shù)距離擬合中，劉海香對二次曲線的最小二乘法擬合進行了闡述和比較，指出在二次曲線擬合中拋物型的曲線較難擬合，拋物型曲線的曲率比較大，擬合出來的誤差曲線理想程度較差[2]。這些擬合方法對于拋物線誤差的評定都有一定的效果和借鑒作用。

本文通過平面任意位置的拋物線方程，拋物線法線方程和拋物線本身的性質(zhì)，利用最小二乘原理和約束條件實現(xiàn)對平面任意位置拋物線輪廓度誤差的評定。

1 最小二乘拋物線擬合

平面任意位置拋物線的表達式 F ( x ,y)用平面一般二次曲線方程表示較為合適。設平面拋物線方程為：

設Wi(xi,yi)(i=1,2,3...N)為拋物線上的N個測量點，根據(jù)最小二乘原理擬合的目標函數(shù)為：

為使得F為最小，使：

由此可得矩陣方程：

解方程（4）會得出0解，為了得出A、B、C、D、E和F的值，需要對方程加限制條件。根據(jù)一般二次曲線的平面解析幾何知識，二元二次方程為拋物線時， 令H=A+C，則H都是在坐標軸的平移和旋轉(zhuǎn)變換之下的變量[9]，在這里我們令A+C=1帶入到方程（4）中，便可以解出A、B、C、D、E和F的值，方程(1)中的六個系數(shù)與拋物線的位置參數(shù)(θ,xc,yc)及形狀參數(shù)p存在以下關(guān)系[7]：

由方程組（6）可以得到用最小二乘法擬合出的拋物線的四個參數(shù)。

2 計算各測量點到最小二乘拋物線的法向距離

圖1 平面拋物線及測量點與最小二乘拋物線關(guān)系圖

2.1 計算法向距離

如圖1所示，我們定義點 ),(ii iYXM 為過拋物線外一點 ),x(ii iyW 的拋物線法線與擬合拋物線的交點，由于交點 ),(ii iYXM 既在法線上又在最小二乘拋物線[8]上，則點 MXi,Yi)滿足方程組（7）：

表1 測量數(shù)據(jù)（mm）

求解非線性方程組（7）求出各個滿足條件的Mi( Xi,Yi)(i = 1 ,2,3...N)的值并帶入式（8）計算各個測量點到拋物線的法向距離 d ( i)。

2.2 判斷測量點 W i位于最小二乘拋物線的內(nèi)外側(cè)

通過將測量點到拋物線的代數(shù)距離的正負來判斷測量點位于擬合曲線的內(nèi)測還是外側(cè)。

將測量點 Wi( xi,yi)的值帶入到擬合曲線F(x,y)=Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F中。

當 F ( x ,y)＞0,則測量點 Wi( xi,yi)在拋物線的外側(cè)； F ( x ,y)＜0,則測量點 Wi( xi,yi)在拋物線的內(nèi)側(cè)。

拋物線輪廓度誤差是指實際被測輪廓線對其理想輪廓線的變動量。則每一個測量點Wi(xi,yi)(i=1,2,3...N)到擬合最小二乘拋物線的法相距離為：

當測量點位于最小二乘拋物線外側(cè)時， d( i)取正值；當測量點位于最小二乘拋物線內(nèi)側(cè)時， d( i)取負值。

3 拋物線的誤差

拋物線輪廓度公差帶是與理想拋物線等距的兩個拋物線等距線之間的區(qū)域。也即理想拋物線外側(cè)測量點的最小法向距離中的最大值與拋物線內(nèi)側(cè)測量點的最小法向距離的最小值之間的距離：

4 實例驗證

為了檢驗算法的正確性和可靠性，用計算機模擬發(fā)生具有不同幾何位置的拋物線數(shù)據(jù)，用本算法對其進行形狀誤差評定，本文采用matlab軟件編程計算，由于沒有已有的參考數(shù)據(jù)進行比較，所以在一組標準拋物線中加入測量誤差δ=±0.05m的數(shù)據(jù)進行仿真驗證，測量數(shù)據(jù)處理結(jié)果如表2所示。

表2 數(shù)據(jù)處理結(jié)果

5 結(jié)論

本文結(jié)合最小二乘原理，通過利用拋物線方程系數(shù)限制條件得到平面任意位置拋物線的擬合方程，并通過拋物線方程及拋物線法線方程特點，找到測量點沿法線方向到最小二乘拋物線的距離，實現(xiàn)對平面任意位置拋物線的最小二乘誤差評定；本文方法適用于平面二次曲線并且無需進行坐標變換。

[1] 李秀明,石朝耀.基于方程的橢圓輪廓度的評定[J].北京工業(yè)大學學報,2009,(35):1303-1307.

[2] 劉海香.平面上散亂數(shù)據(jù)點的二次曲線擬合[J].計算機輔助設計與圖形學學報,2004,16(11):1594-1598.

[3] 龔本正.徑流式葉輪的設計方法[J].華中工學院學報,1979:226-245.

[4] 張淑榮.拋物線麻花鉆的設計原理[J].工具技術(shù),2012,(5):80-81.

[5] 劉海濤.基于Matlab的拋物線等間距擬合法的誤差分析[J].機械設計與制造,2010,4:221-222.

[6] H.Sp?th. Least-squares orthogonal distances fitting of parabolas,Computer.State.1996:261-269.

[7] Sung Joon Ahn. Least-squares orthogonal distances fitting of circle,sphere,ellipse,hyperbola,and parabola,Pattern Recognition,2001,34:2283-2303.

[8] 王宇華.橢圓輪廓的評定方法及其計算機模擬[J].佛山大學學報,1992,10 (6):27-31.

[9] 丘維聲.解析幾何[M].北京:北京大學出版社,1996:161-168.