杜 鈞，張 英，趙堂春

（北京電子科技職業(yè)學(xué)院自動(dòng)化工程學(xué)院，北京 100176）

0 引 言

齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中，輪齒是齒輪直接參與工作的部位，常見(jiàn)的失效現(xiàn)象多發(fā)生于輪齒上，設(shè)計(jì)中的接觸應(yīng)力分析是強(qiáng)度校核的重要基礎(chǔ)。

1 設(shè)計(jì)應(yīng)滿足的條件

1.1 一對(duì)漸開(kāi)線齒輪正確嚙合的條件分析

一對(duì)漸開(kāi)線齒廓雖能保證確定的傳動(dòng)比，但不表明任意兩個(gè)漸開(kāi)線齒輪都能搭配起來(lái)進(jìn)行正確嚙合傳動(dòng)。要實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力的傳動(dòng)，必須滿足一定條件。圖1出示一對(duì)漸開(kāi)線齒輪的嚙合瞬間，此時(shí)有兩對(duì)齒參與嚙合，兩輪齒工作側(cè)齒廓的嚙合點(diǎn)分別為K和K'。為了保證確定的傳動(dòng)比，兩嚙合點(diǎn)K和K'必須同時(shí)落在嚙合線N1N2上；否則，將出現(xiàn)卡死或沖擊的現(xiàn)象。這一條件可表述為和分別為齒輪1和齒輪2相鄰?fù)瑐?cè)齒廓沿公法線上的距離，稱為法向齒距，用pn1、pn2表示。因此，一對(duì)齒輪實(shí)現(xiàn)定比傳動(dòng)的正確嚙合條件為兩輪的法向齒距相等。又由漸開(kāi)線性質(zhì)知，齒輪法向齒距與基圓齒距相等，則該條件又可表述為兩輪的基圓齒距相等，即pb1=pb2.若將 pb1=πm1cosα1和 pb2=πm2cosα2，代入則得 ： m1cosα1=m2cosα2.

式中：m1、m2和α1、α2分別為兩輪的模數(shù)和壓力角。由于齒輪模數(shù)和壓力角都已標(biāo)準(zhǔn)化，可?。簃1=m2=n.α1＝α2=α.兩輪的法向齒距相等，因此，漸開(kāi)線直齒圓柱齒輪的正確嚙合條件最終表述為：兩輪的模數(shù)和壓力角分別相等。

1.2 實(shí)現(xiàn)連續(xù)傳動(dòng)的條件分析

圖1 一對(duì)漸開(kāi)線齒輪的嚙合

1）一對(duì)漸開(kāi)線齒輪嚙合傳動(dòng)的過(guò)程：齒輪傳動(dòng)通過(guò)輪齒交替嚙合實(shí)現(xiàn)。見(jiàn)圖1，主動(dòng)輪o1順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，推動(dòng)從動(dòng)輪o2逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)。一對(duì)輪齒的開(kāi)始嚙合點(diǎn)是從動(dòng)輪齒頂圓η2與嚙合線 N1N2的交點(diǎn) B2，這時(shí)主動(dòng)輪的齒根與從動(dòng)輪的齒頂接觸，兩輪齒進(jìn)入嚙合。隨著嚙合傳動(dòng)進(jìn)行，兩齒廓的嚙合點(diǎn)將沿著嚙合線向左下方移動(dòng)，直到主動(dòng)輪的齒頂圓η1與嚙合線的交點(diǎn)B1，主動(dòng)輪的齒頂與從動(dòng)輪的齒根即將脫離接觸，兩輪齒結(jié)束嚙合，B1點(diǎn)為終止嚙合點(diǎn)。線段B1B2為嚙合點(diǎn)的實(shí)際軌跡，稱為實(shí)際嚙合線段。若兩輪齒頂圓加大時(shí)，點(diǎn)B1、B2分別趨于點(diǎn)N1、N2，實(shí)際嚙合線段將加長(zhǎng)。但因基圓內(nèi)無(wú)漸開(kāi)線，故點(diǎn)B1、B2不會(huì)超過(guò)點(diǎn)N1、N2，故點(diǎn)N1、N2稱為極限嚙合點(diǎn)。線段N1N2是理論上最長(zhǎng)的實(shí)際嚙合線段，稱為理論嚙合線段[1]。

2）連續(xù)傳動(dòng)應(yīng)滿足的條件：為保證齒輪定傳動(dòng)比的連續(xù)性，僅有兩輪基圓齒距相等的條件是不夠的，還須滿足B1B2≥Pb。否則，當(dāng)前一對(duì)齒廓在點(diǎn)B1分離時(shí)，后一對(duì)齒廓尚末進(jìn)入點(diǎn)B2嚙合，這使前后兩對(duì)輪齒交替時(shí)將會(huì)引起沖擊，無(wú)法保證傳動(dòng)的平穩(wěn)性。兩漸開(kāi)線曲面的彈性體在齒廓傳動(dòng)壓力下相互接觸，都會(huì)產(chǎn)生接觸應(yīng)力，這種傳遞動(dòng)力的高副機(jī)構(gòu)工作中往往出現(xiàn)交變應(yīng)力。受交變接觸應(yīng)力的機(jī)器零件在一定的條件下會(huì)出現(xiàn)疲勞點(diǎn)蝕現(xiàn)象，點(diǎn)蝕擴(kuò)散到一定程度，零件就不能再用了，失效了，稱為疲勞點(diǎn)蝕破壞。齒輪傳動(dòng)中的疲勞點(diǎn)蝕是其常見(jiàn)的一種失效形式，又因這種交變應(yīng)力，進(jìn)而會(huì)產(chǎn)生齒廓的塑性變形和齒廓折斷等失效現(xiàn)象，要保證漸開(kāi)線直齒圓柱齒輪正確嚙合和連續(xù)傳動(dòng)，接觸應(yīng)力的分析是設(shè)計(jì)的關(guān)鍵，所以，兩對(duì)齒輪的重合度對(duì)接觸應(yīng)力存在著一定的影響[1]。

3）重合度：實(shí)際嚙合線段B1B2與基圓齒距pb的比值稱為重合度εα，見(jiàn)圖2。

圖2 重合度

重合度表達(dá)為：εα=(B1B2)/pb≥1.實(shí)際應(yīng)用中，εα值應(yīng)大于或等于一定的許用值[εα]，即 εα≥[εα].其中許用重合度[εα]的值是隨齒輪的使用要求和制造精度而定，推薦的[εα]值可查找相應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)[2]，常用的見(jiàn)表1。

表1 [εa]推薦表

一對(duì)外嚙合齒輪的實(shí)際嚙合線段B1B2=B1P+B2P.由于B1P=B1N1-PN1=mz1cosα(tgαa1-tgα')/2.B2P=B2N2-PN2=mz2cosα(tgαa2-tgα')/2.可得：

4）兩齒廓的嚙合傳動(dòng)中，重合度的物理意義：重合度的大小表明同時(shí)參與嚙合的輪齒對(duì)數(shù)的多少。見(jiàn)圖3的εα=1.3情況，實(shí)際嚙合線B1B2的B2A1和A2B1（長(zhǎng)度各為0.3Pb）段有兩對(duì)輪齒同時(shí)在嚙合，即為雙齒嚙合區(qū)；而在節(jié)點(diǎn)P附近A1A2段（長(zhǎng)度為0.7Pb），只有一對(duì)輪齒在嚙合，即為單齒嚙合區(qū)[2]。總之，εα值愈大，表明同時(shí)參加嚙合輪齒的對(duì)數(shù)愈多，在相同載荷的條件下其應(yīng)力分布較為分散，不僅對(duì)提高齒輪傳動(dòng)的承載能力和傳動(dòng)的平穩(wěn)性都有重要意義，而且能夠減弱疲勞點(diǎn)蝕破壞，提高齒輪的使用壽命。

圖3 重合度的意義

2 軸線平行的兩圓柱體接觸時(shí)的接觸應(yīng)力

軸線平行的兩圓柱體接觸時(shí)，變形前二者沿一條直線接觸，受壓力P后，接觸處發(fā)生了彈性變形，接觸線變成寬度2b的矩形面，見(jiàn)圖4，接觸面上的單位壓力按橢圓柱規(guī)律分布[3]。變形最大的x軸上壓力最大，以P0表示，接觸面上其余各點(diǎn)的壓力按半橢圓規(guī)律分布，見(jiàn)圖5，半橢圓柱的體積等于總壓力P，故

圖4 兩圓柱體接觸

圖5 兩圓柱體接觸的壓力分布

最大單位壓力：

由赫茲公式知：

代入式（1）得

若兩圓柱體的材料均為鋼時(shí)，E1＝E2＝E，μ1＝μ2＝0.3，取

.則接觸應(yīng)力為：

3 齒輪傳動(dòng)齒廓的接觸應(yīng)力分析

一對(duì)齒輪在節(jié)點(diǎn)處接觸，相當(dāng)于半徑為ρ1、ρ2的兩個(gè)圓柱體接觸，見(jiàn)圖6，則其曲率半徑為：

圖6 一對(duì)齒輪在節(jié)點(diǎn)處接觸的接觸應(yīng)力

4 結(jié)束語(yǔ)

1）經(jīng)對(duì)漸開(kāi)線曲面間高副接觸應(yīng)力的分析，并用赫茲公式可知，齒輪材料確定的條件下，齒輪的結(jié)構(gòu)與接觸應(yīng)力有著直接關(guān)系，在相同載荷的情況下，其分度圓的直徑越大，可承受的接觸應(yīng)力就會(huì)有所提高；壓力角越大，可承受的接觸應(yīng)力值會(huì)下降。2）對(duì)于齒輪傳動(dòng)，通常是工作在較高的接觸壓力下，使其經(jīng)過(guò)多次接觸應(yīng)力循環(huán)后，局部表面將有小片或小塊金屬剝落、形成麻點(diǎn)或凹坑，使零件工作時(shí)噪音增大，振動(dòng)加劇。如果在其結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)，根據(jù)上述接觸應(yīng)力赫茲公式分析，進(jìn)行相應(yīng)結(jié)構(gòu)考慮，對(duì)于提高齒輪使用壽命很有實(shí)際意義。

[1] 周亞焱，程友斌.機(jī)械設(shè)計(jì)基礎(chǔ)[M].北京:化學(xué)工業(yè)出版社,2008:107-108.

[2] 韓建友.機(jī)械原理[M].北京:高等教育出版社,2007：279-282.

[3] 劉鴻文.材料力學(xué)[M].北京:高等教育出版社,1984：268-270.