徐友會(huì)，佟首峰

(長(zhǎng)春理工大學(xué) 空間光電技術(shù)研究所，長(zhǎng)春 130022)

0 引言

目前大多數(shù)自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)都是應(yīng)用波前傳感器探測(cè)出畸變波前的相位信息，然后用波前處理機(jī)重構(gòu)出波前，再用校正器進(jìn)行校正［1-2］。這類自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，成本較高，且受閃爍效應(yīng)的影響，當(dāng)光波傳播距離較遠(yuǎn)或湍流較強(qiáng)時(shí)，會(huì)導(dǎo)致常用的哈特曼波前傳感器不能準(zhǔn)確的獲得波前信息，從而導(dǎo)致依靠探測(cè)波前信息的傳統(tǒng)自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)不能正常工作。因此，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單且不依賴波前測(cè)量的校正式自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)逐漸成為人們新的研究方向［3-4］。

這種系統(tǒng)使用優(yōu)化算法直接對(duì)性能指標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化，不需依賴波前探測(cè)器探測(cè)畸變波前信息，從而降低了系統(tǒng)的復(fù)雜性，也降低了控制算法的復(fù)雜性。在這種系統(tǒng)中優(yōu)化算法的選取時(shí)關(guān)鍵。目前常用的算法有隨機(jī)并行梯度下降算法(SPGD)、模擬退火法(SA)、遺傳算法(GA)，其中國(guó)內(nèi)外研究表明，隨機(jī)并行梯度下降算法是一種比較具有前途的優(yōu)化控制算法。

1 自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)SPGD算法

圖1 SPGD算法流程圖

1.1 SPGD算法的實(shí)現(xiàn)過程

SPGD算法作為一種循環(huán)控制算法，實(shí)時(shí)控制變形鏡的驅(qū)動(dòng)電壓，從而優(yōu)化性能指標(biāo)J。在自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)中，殘余相位φ(r)=φ(r)+u(r)，其中φ(r)為畸變波前相位，u(r)為波前校正器引入的相位，r=(x，y)為與光軸垂直的平面內(nèi)的位置矢量。SPGD算法的具體實(shí)現(xiàn)過程如下:隨機(jī)生成擾動(dòng)向量δu(n)={δu1，δu2，...，δuN}(n)，其分布滿足伯努利分布，即幅值的絕對(duì)值相等概率相等(初始值一般都取0)。性能指標(biāo)的變化量為δJ(n)=J(+n)-J(-n)，其中

則梯度估計(jì)為δJ(n)δu(n)，利用梯度下降進(jìn)行迭代:u(n+1)=u(n)+γδJ(n)δu(n)，在實(shí)際操作中，若目標(biāo)函數(shù)向極大化方向優(yōu)化，γ正值;反之取負(fù)值。迭代的過程就是在一定的迭代步數(shù)內(nèi)，在控制參量空間尋找最優(yōu)的電壓向量u(r)，使得殘余相位最小，系統(tǒng)性能達(dá)到最優(yōu)。算法流程圖如圖1所示:

1.2 控制參量

在SPGD算法中控制參量為變形鏡的驅(qū)動(dòng)電壓引入的相位，其表達(dá)式為:u(r)=∑Nj=1ujSj(r)，式中:N為變形鏡驅(qū)動(dòng)器個(gè)數(shù)，在文中取32;uj為第j個(gè)驅(qū)動(dòng)器的驅(qū)動(dòng)電壓;Sj(r)為第j個(gè)驅(qū)動(dòng)器的影響函數(shù)，其表達(dá)式如下所示:

圖2 驅(qū)動(dòng)器的分布形式

其中p為驅(qū)動(dòng)器的交連值，а為高斯指數(shù)(文中取2)，rd為驅(qū)動(dòng)器之間的歸一化間距，xc(j)，yc(j)為第j個(gè)驅(qū)動(dòng)器坐標(biāo)，驅(qū)動(dòng)器的排布形式如圖2所示。

1.3 性能指標(biāo)

本文選取斯特列耳比SR為系統(tǒng)的性能指標(biāo)。斯特列爾比是自適應(yīng)光學(xué)領(lǐng)域評(píng)價(jià)光束質(zhì)量的一個(gè)重要的性能指標(biāo)，峰值斯特列爾比定義為實(shí)際光斑峰值強(qiáng)度與衍射極限光斑峰值強(qiáng)度的比值，可以由下式計(jì)算得到:SR≈1-(2πδ)2

2 數(shù)值仿真結(jié)果與分析

實(shí)驗(yàn)中采用Zernike多項(xiàng)式模擬大氣湍流畸變波前，且只取多項(xiàng)式的前30項(xiàng)，其模擬結(jié)果如圖3所示:

2.1 擾動(dòng)幅值與增益系數(shù)的影響

在利用基于SPGD算法的自適應(yīng)光學(xué)校正波前畸變實(shí)驗(yàn)中可以看出，選取不同的擾動(dòng)幅值和增益系數(shù)時(shí)，系統(tǒng)的收斂速度會(huì)有所不同，其校正效果也有所差異。因此下面就著重討論一下當(dāng)其他條件一定，選取不同的擾動(dòng)幅值和增益系數(shù)時(shí)，對(duì)校正效果有何影響。

圖3 校正前的畸變波前

圖4 不同增益系數(shù)時(shí)的斯特列爾比的變化曲線

圖4 給出了當(dāng)擾動(dòng)幅值取1時(shí)，增益系數(shù)分別取0.18、0.35、0.95、1.95、2.35時(shí)對(duì)應(yīng)的SR的變化曲線示意圖。從圖中可以明顯看出，當(dāng)增益系數(shù)取不同值時(shí)，SR值收斂到同一值時(shí)所需的迭代次數(shù)是不同的。增益系數(shù)取值過小時(shí)，收斂速度慢，例如當(dāng)=0.18時(shí)，迭代1000次，SR在0.6左右;增益系數(shù)太大，前期收斂速度快，

但后期容易陷入局部極值，例如當(dāng)=2.35時(shí)，SR只收斂到0.6左右且曲線波動(dòng)較大;而當(dāng)=0.95時(shí)就比較理想了，既保證了收斂速度又保證了校正效果。另外，從圖中還可以看出，隨著增益系數(shù)的增大，SR曲線圖出現(xiàn)了抖動(dòng)，而且值越大，抖動(dòng)越明顯。

圖5給出了當(dāng)增益系數(shù)為0.95時(shí)，不同的擾動(dòng)幅值對(duì)應(yīng)的SR變化曲線。從圖中可以看出，擾動(dòng)幅值從0.1到0.5再到1.0時(shí)，SR的收斂速度逐漸加快;而從1.0到1.5再到2.0時(shí)，SR的收斂速度逐漸減慢。

從以上分析可以看出，對(duì)于擾動(dòng)幅值和增益系數(shù)而言，只要其中一個(gè)固定，另一個(gè)就會(huì)有一個(gè)合適的變化范圍。所以在具體應(yīng)用中只要固定一個(gè)而調(diào)節(jié)另一個(gè)就行了。

圖5 不同擾動(dòng)幅度時(shí)的斯特列爾比的變化曲線

圖6 增益分段與增益固定仿真結(jié)果的比較

2.2 分段增益

由以上分析可以看出，對(duì)于擾動(dòng)幅值固定時(shí)，SR的收斂速度隨著增益的改變而變化。在校正初期，畸變較大，所以需要較大的增益以實(shí)現(xiàn)對(duì)畸變的快速校正;在校正中后期，選擇較小的增益可以獲得更好的校正效果。所以本文提出了分段增益的方法，即在校正過程中不斷改變?cè)鲆娲笮。瑏慝@得較快的收斂速度以及較好的校正效果。在校正過程中，將增益大小分為N段(即增益從大到小取N個(gè)不同的值)，算法每迭代1000/N次，增益就減小0.25(文中初始增益固定為2.15)。圖6表示增益固定時(shí)(取0.95)SR的變化情況與增益分段(N=6)時(shí)SR的變化曲線的對(duì)比。

從圖中可以看出，當(dāng)SR到達(dá)0.8時(shí)，分段增益相對(duì)于固定增益有一定的優(yōu)勢(shì)，這是因?yàn)樵谛Ｕ捌诜侄卧鲆嬗休^大的增益，保證了收斂速度;而在中后期分段增益具有較小的增益，從而保證了校正效果。

3 結(jié)語

本文介紹了隨機(jī)并行梯度下降算法的基本原理，并分析了影響算法收斂速度的兩個(gè)主要因素——擾動(dòng)幅值和增益大小:固定增益大小，擾動(dòng)幅值就會(huì)存在最優(yōu)取值范圍;固定擾動(dòng)幅值，增益也存在相應(yīng)的最優(yōu)取值范圍。最后論文介紹了優(yōu)化算法的一種方法:分段增益，并仿真驗(yàn)證了通過這種方法可以有效的改善校正效果。

［1］Robert K.Tyson.Principle of Adaptive Optics［M］.San Diego:Academic Press，1991.

［2］Richard A.Muller，Andrew Buffington.Real time correction of atmospherically degraded telescope images through image Sharpening［J］.J.Opt.Soc.Am.，1974，64(9):1200-1210.

［3］姜文漢，黃樹輔，吳旭斌.爬山法自適應(yīng)光學(xué)波前校正系統(tǒng)［J］.中國(guó)激光，1988，15(1):17-21.

［4］張雨東，姜文漢.像銳化自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)中的多極值問題［J］.中國(guó)激光，1990，17(4):193-197.