陳慶華，史定華

(1. 福建師范大學 福州 350007; 2. 上海大學數(shù)學系 上海 寶山區(qū) 200444)

復雜網(wǎng)絡科學[1]和與之相關的人類動力學[2]發(fā)現(xiàn)，許多復雜現(xiàn)象存在令人驚奇的普適規(guī)律，即涌現(xiàn)標度特性。例如，復雜網(wǎng)絡的度分布呈現(xiàn)P(k)～k?γ的冪律形式，人類時空行為往往陣發(fā)而非隨機，導致任務等待時間也呈現(xiàn)這一形式。物理學家側重探索它們形成的動力學機制，如增長擇優(yōu)連線或任務優(yōu)先權規(guī)則等。然而確認標度律是否成立還同時需要得到廣泛的統(tǒng)計支持。文獻[3]就用一幅圖展示了標度律的兩大支柱：機制成熟和統(tǒng)計支持的景觀。

圖1 統(tǒng)計支持

統(tǒng)計學是一門古老的學科，也是統(tǒng)計物理的基礎，取得了許多重要成果，有著廣泛的實際應用。在我國高校，統(tǒng)計學已列入一級學科，人才供不應求?？茖W出版社出版的《統(tǒng)計手冊》[4]有百余萬字厚達千頁，但卻沒有涉及標度律的統(tǒng)計方法。究其原因主要是定義不夠明確，冪律形式是指近似冪律關系，嚴格冪律分布還是重尾分布，認識并不統(tǒng)一。

網(wǎng)絡科學剛剛出現(xiàn)時，人們普遍采用簡單的圖估計方法進行統(tǒng)計。而且主要是在雙對數(shù)坐標上畫頻率圖，看上去基本成一條直線就認為服從標度律。由于大度數(shù)節(jié)點稀少，尾部擺動太大，就采用粗?；膶?shù)盒子圖。在確定幾何增長網(wǎng)絡度分布指數(shù)時出現(xiàn)了反復，人們才開始使用畫補分布圖。關于這三種圖的畫法與比較，詳細討論參見文獻[5]。畫補分布圖實質上等價于畫秩次圖，秩次圖早在研究人類語言規(guī)律時就已被采用。Zipf在研究文本中單詞出現(xiàn)頻次時，將所有單詞排序，用橫坐標表示序號，縱坐標表示對應的頻次，在雙對數(shù)坐標上畫圖得到了著名的Zipf標度律。文獻[6]用兩套數(shù)據(jù)比較了頻率圖和秩次圖的優(yōu)劣，數(shù)據(jù)1和數(shù)據(jù)2分別從冪律分布和指數(shù)分布產(chǎn)生，并分別畫在雙對數(shù)坐標和半對數(shù)坐標上，他們發(fā)現(xiàn)按秩次畫圖正確，按頻率畫圖會出現(xiàn)錯誤?？梢娬_統(tǒng)計方法的重要性。

圖估計方法全憑經(jīng)驗，結果因人而異?，F(xiàn)在考慮數(shù)值方法，對于嚴格連續(xù)冪律分布：

這是參數(shù)γ的極大似然估計，它是有偏估計，因為。文獻[8]證明了針對連續(xù)冪律分布不存在有效無偏估計，只存在漸近有效無偏估計：

進一步，文獻[8]還討論了假設檢驗和似然比檢驗。引入連續(xù)伽瑪分布

然而，復雜網(wǎng)絡中的度是離散的，上述估計結果需修正。另外，實際網(wǎng)絡的最小度也是隨機變量，而且對估計結果有重要影響。前面的討論都是假定實際網(wǎng)絡的度分布服從冪律分布，而這是需要統(tǒng)計檢驗的。更為重要的是度分布往往不是嚴格冪律的，而是重尾分布。重尾分布是一個很大的分布類，嚴格冪律分布只是其中最簡單的代表。文獻[9]發(fā)現(xiàn)Waring分布為：

是另一個重要代表，幾乎所有無標度增長網(wǎng)絡模型的度分布都是Waring分布。如BA模型度分布是α=2，β=m；復制模型入度分布是α=1，β=1的Waring分布。因此，深入研究雙參數(shù)Waring分布的統(tǒng)計分析方法具有重要的理論意義和實際價值。

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[9] 史定華. 關于無標度網(wǎng)絡[C]//第八屆全國復雜網(wǎng)絡學術會議. 南京: [出版者不詳], 2012.SHI Ding-hua. About scale-free networks[C]//The 8th Chinese Conference on Complex Networks. Nanjing: [s.n.],2012.