馬冰清,潘全香（.河南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,河南新鄉(xiāng)453007；.河南科技學(xué)院,河南新鄉(xiāng)453003）

List流上梯度Shrinking Solitons的廣義Ricci張量

馬冰清1,潘全香2
（1.河南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,河南新鄉(xiāng)453007；2.河南科技學(xué)院,河南新鄉(xiāng)453003）

研究List流上梯度Shrinking Solitons的廣義Ricci張量和廣義數(shù)量曲率的增長(zhǎng)行為.通過(guò)選取適當(dāng)?shù)慕財(cái)嗪瘮?shù),利用散度定理,得到了廣義Ricci張量的積分上界估計(jì).另外,還得到了廣義數(shù)量曲率的積分上界估計(jì).關(guān)鍵詞：List流；梯度Shrinking Solitons；上界

由于俄羅斯數(shù)學(xué)家Perelman利用Ricci流的方法解決了Poincare猜想,使得Ricci流的研究已經(jīng)成為一個(gè)非常熱的研究方向.梯度RicciSolitons是Ricci的解,因此,研究梯度RicciSolitons的幾何結(jié)構(gòu)對(duì)理解Ricci的幾何性質(zhì)和Ricci流的奇性非常重要.Ivey證明了當(dāng)流形是緊致的時(shí)候,Steady和Expanding的梯度RicciSolitons是平凡的[1].如果n=2或者n=3,則緊致的Shrinking的梯度RicciSolitons是平凡的.因此,自然的問(wèn)題是：研究完備流形上梯度Solitons的幾何結(jié)構(gòu).Cao研究了完備梯度Shrinking Solitons的位勢(shì)函數(shù)的增長(zhǎng)行為,證明了完備梯度Shrinking Solitons至多具有歐氏增長(zhǎng)[2].Munteanu研究了完備流形上的Shrinking梯度RicciSolitons有關(guān)Ricci張量的積分上界估計(jì),并且得到了數(shù)量曲率的積分上界估計(jì)[3].

為了建立與廣義相對(duì)論之間的聯(lián)系,List引入了List流[4],它是一種比Ricci流更加廣泛的幾何流,對(duì)于List流也有類似的梯度RicciSolitons的概念.本文研究了List流上的梯度Shrinking Solitons及其廣義Ricci張量和廣義數(shù)量曲率的增長(zhǎng)行為,對(duì)研究List流的奇性有一定的理論意義.

1 梯度Solitons的概念及主要結(jié)果

其中Sij=Rij-（ 稱Sij為廣義Ricci張量）,α是正常數(shù),則稱（M,g）是對(duì)應(yīng)于List流一個(gè)梯度RicciSolitons.特別的,ρ=0稱為梯度Steady Solitons,ρ＞0為梯度Shrinking Solitons,ρ＜0為梯度Expanding Solitons.如果φ是常數(shù),則式（1）變?yōu)榱讼旅娴腍amilton-Ricci流的梯度Solitons方程

因此,由式（1）定義的梯度Solitons是Hamilton-Ricci流的梯度Solitons的一個(gè)推廣.令廣義數(shù)量曲率S==R-α.則有下面的結(jié)果：

定理1設(shè)（M,g）是由式（1）定義的n維完備的梯度Shrinking Solitons.則對(duì)于任意的λ＞0,都有

另外,從定理1得到了廣義Ricci曲率和廣義數(shù)量曲率在指數(shù)體積元下的積分估計(jì)：推論1設(shè)（M,g）是由式（1）定義的n維完備的梯度Shrinking Solitons.則有

2 定理的證明

利用第二Bianchi恒等式和式（1）得到

選?。∕,g）上的一個(gè)截?cái)嗪瘮?shù)φ,使得supφ?M,0≤φ≤1,|?φ|≤C.則利用式（6）得到把式（8）式（9）帶入式（7）得到

注意到,Yang-Shen[5]證明了：S≥0,并且存在一致的常數(shù)c使得

3 結(jié)論

本文研究了List流下的完備梯度Solitons廣義Ricci張量和廣義數(shù)量曲率的積分上界估計(jì),完善了Solitons在完備流形上的結(jié)構(gòu).另外,作者在文獻(xiàn)[6]中,分析了List流上的log熵函數(shù),并計(jì)算了其關(guān)于時(shí)間t的第一變分公式.在文獻(xiàn)[7]中探討了緊致黎曼流形上的Yamabe Solitons的平凡結(jié)構(gòu).在文獻(xiàn)[8]中,證明了List流上的微分Harnack不等式.結(jié)合本文,這些研究對(duì)梯度Solitons的發(fā)展將起到促進(jìn)作用.

[1]Ivey T.Riccisolitons on compactthree-manifolds[J].Diff.Geom.Appl.,1993,3（4）：301-307.

[2]Cao H D,Zhou D.On Complete gradientshrinking Riccisolitons[J].J.DifferentialGeom,2010,85（2）：175-185.

[3]Munteanu O,Sesum N.On gradient Ricci solitons[J/OL].J.Geom.Anal.DOI：10.1007/s12220-011-9252-6.[2012-10-15]. http：//www.springerlink.com/content/y816mgn46l53n867.

[4]ListB.Evolution ofan extended Ricciflow system[J].Comm.Anal.Geom,2008,16（5）：1007-1048.

[5]Yang F,Shen J F.Volume growth for gradient shrinking solitons of Ricci-harmonic flow[J].Science China Mathematics,2012,55（6）：1221-1228.

[6]馬冰清,潘全香.List流上的log熵函數(shù)[J].河南科技學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2012,40（6）：44-47.

[7]馬冰清,姚素霞.緊致黎曼流形上的Yamabe soliton[J].河南師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2012,40（6）：12-13.

[8]Ma B Q.Differential Harnack estimate for a nonlinear parabolic equation under List's flow[J].Comm.Math.Appl.,2013,4（1）：75-83.

（責(zé)任編輯：盧奇）

Generalized Ricci tensor of gradient Shrinking Solitons under the List's flow

Ma Bingqing1,Pan Quanxiang2
（1.College ofMathematics and Information Science,Henan NormalUniversity,Xinxiang 453007,China；2.Henan Institute ofScience and Technology,Xinxiang 453003,China）

Growth estimates on the generalized Ricci tensor and the generalized scalar curvature of gradient shrinking solitons under the List's flow are studied in this paper．By choosing an appropriate cut-off function and the divergence theorem,upper bounds of the integral Ricci curvature are obtained．On the other hand,upper bound of the integral scalar curvature is obtained also．

List's flow；gradient Shrinking Solitons；upper bound

O186.12

A

1008-7516（2013）01-0059-03

10．3969/j．issn．1008-7516．2013．01．015

2012-12-05

國(guó)家自然科學(xué)基金（11171368）；河南省自然科學(xué)基金（092300410143）

馬冰清（1978-）,女,河南商丘人,碩士,講師．主要從事微分幾何、概率論等方面的研究．