高坤張軍袁晶

(西安電子工程研究所 西安 710100)

1 引言

副瓣電平是天線的重要技術(shù)指標(biāo)之一，較低的副瓣電平可以減弱雜波影響、提高雷達(dá)的抗干擾能力。為確保在現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)中奪取制空權(quán)的優(yōu)勢(shì)，未來(lái)的雷達(dá)系統(tǒng)都力求配備超低副瓣天線，從而促進(jìn)了超低副瓣天線技術(shù)的發(fā)展。在超低副瓣陣列天線的研制中，不可避免的會(huì)引入誤差。陣列誤差可由多種因素引起，如:復(fù)權(quán)向量的幅度和相位誤差，通道頻響不一致性(通道失配)對(duì)系統(tǒng)性能的影響，信號(hào)方向估計(jì)誤差，權(quán)向量的量化誤差，個(gè)別陣元出現(xiàn)故障引起的誤差等。無(wú)論是電氣誤差還是機(jī)械制造誤差最終都可以歸結(jié)為系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差。一般可以通過(guò)提高加工和安裝精度以及試驗(yàn)測(cè)試等手段可以較為容易地對(duì)部分系統(tǒng)誤差的影響進(jìn)行評(píng)估和修正;而隨機(jī)誤差的產(chǎn)生不可預(yù)見(jiàn)(比如氣候，溫度，加工誤差等原因引入了隨機(jī)誤差)，以致難以修正。但不論如何，隨機(jī)誤差的引入最終都可以表現(xiàn)為陣列各個(gè)單元的幅度誤差和相位誤差，故需要分析幅相誤差對(duì)陣列天線副瓣電平的量化影響。使最終的陣列設(shè)計(jì)既能夠達(dá)到系統(tǒng)性能要求，又節(jié)省生產(chǎn)成本。

J K.Hisao[1]研究了口徑幅、相誤差的方差和與某方位角副瓣電平極限值的關(guān)系，類似的研究還包括文獻(xiàn)[2，3]的內(nèi)容。向廣志[6]進(jìn)行了超低副瓣陣列天線的公差分析，給出了特定分布隨機(jī)波瓣電平與最大幅、相誤差之間的關(guān)系。楊志榮等[7]研究了互耦和隨機(jī)幅、相誤差對(duì)副瓣電平的影響，定義了天線的誤差敏感系數(shù)，通過(guò)誤差敏感系數(shù)來(lái)考量互耦和誤差對(duì)天線性能的影響程度。作者在前期也做了關(guān)于誤差對(duì)副瓣電平的研究[10]，上述這些文獻(xiàn)都是對(duì)于某方位角上輻射電平的分析研究，缺乏對(duì)陣列最高副瓣電平的統(tǒng)計(jì)特性全面、細(xì)致的分析與研究。本文在計(jì)入隨機(jī)誤差的陣列模型的基礎(chǔ)上，應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)理論分析電場(chǎng)方向圖副瓣區(qū)某方位角上輻射電平的統(tǒng)計(jì)特性，之后以副瓣區(qū)各方位角的輻射電平分布來(lái)分析整個(gè)副瓣區(qū)的最高副瓣電平的統(tǒng)計(jì)特性，并結(jié)合計(jì)算機(jī)仿真，以切比雪夫(chebyshev)線陣為例驗(yàn)證公式的正確性，將計(jì)算得出最高副瓣電平的概率密度曲線與仿真得到了最高副瓣電平的概率密度直方圖進(jìn)行對(duì)比，理論計(jì)算曲線與仿真直方圖吻合的較好。

2 陣列誤差模型

設(shè)N元陣列排列在x軸上，陣元的間距為d，陣元上的電流為In，線陣模型如圖1所示。

圖1 N元等間距線陣模型示意圖

其方向性函數(shù)可以表示為:

隨機(jī)誤差引入可以等效成各個(gè)單元幅度和相位的誤差。計(jì)入幅度和相位誤差后，使得其口徑分布發(fā)生變化。

在分析計(jì)入誤差后的陣列模型時(shí)，首先對(duì)誤差進(jìn)行了幾點(diǎn)假定:

a.輻射元失效情況。

設(shè)fn=1代表陣列中第n個(gè)單元正常工作，fn=0則代表單元損壞。令其正常工作的概率為p，則:

由均值定義可求得:

b.彼此陣元相互獨(dú)立，誤差互不影響。

c.引入的幅度誤差為 In·Δn，相位誤差為ΔΦn，其滿足均值為 0，方差分別為 σ2Δ和 σ2Φ的高斯分布，即:

3 誤差方向圖的統(tǒng)計(jì)特性

3.1 誤差方向圖的均值

將(9)式帶入(7)、(8)式，計(jì)算得出:

結(jié)合(6)式，最后可得:

3.2 方向性函數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性

根據(jù)文獻(xiàn)[8]所述模型，分別計(jì)算并化簡(jiǎn)可得方向性函數(shù)實(shí)部的方差、虛部方差和實(shí)部虛部的協(xié)方差σAB，其表達(dá)形式為:

在上式中的前兩個(gè)表達(dá)式中，其第二項(xiàng)含有余弦函數(shù)，其幅度是原方向圖的二次諧波，在方向圖的副瓣區(qū)域里，它們的第二項(xiàng)比第一項(xiàng)小得多。此外，第三個(gè)表達(dá)式較前兩個(gè)表達(dá)式相比，可忽略不計(jì)，故有:

因此在計(jì)入誤差后方向圖的副瓣區(qū)域內(nèi)，A和B組成的聯(lián)合概率密度函數(shù)近似為:

在分析誤差造成的影響時(shí)，主要關(guān)注副瓣區(qū)的幅度R的分布情況。

其中R2=A2+B2，做如下假設(shè):

β是副瓣區(qū)某方位角上的輻射電平矢量與其實(shí)部之間的夾角，α是該方位角誤差輻射電平矢量的均值與其實(shí)部的均值之間的夾角，并結(jié)合(14)式，可得到關(guān)于(R和β)的概率密度函數(shù)ρ(R，β)，如下表達(dá)式:

面對(duì)“屌絲”流行文化，我們更應(yīng)該采取的態(tài)度是了解、理解、順應(yīng)與發(fā)展。理解這種文化現(xiàn)象所傳達(dá)的青年群體的深層需求，順應(yīng)青年群體的這種獨(dú)特表達(dá)方式，以發(fā)展的視角去更好地回應(yīng)青年群體的需要。

其中μ=β－α，根據(jù)文獻(xiàn)[3]的數(shù)學(xué)計(jì)算，給出了對(duì)上式的化簡(jiǎn):

3.3 副瓣區(qū)功率電平的概率密度函數(shù)及分布函數(shù)

一般對(duì)副瓣的研究中，我們所關(guān)心的是副瓣區(qū)的輻射功率電平，在表述過(guò)程中也主要以功率電平的分貝值(dB)來(lái)衡量天線性能。所以應(yīng)該對(duì)功率電平(dB)的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)進(jìn)行分析。

線陣模型1:單元數(shù)N=100，設(shè)計(jì)最高副瓣電平為－35dB的 Taylor線陣，其中等電平個(gè)數(shù) n－=7，經(jīng)過(guò)萬(wàn)次計(jì)算機(jī)仿真，統(tǒng)計(jì)得到無(wú)誤差時(shí)第一副瓣電平所處方位角上輻射電平的直方圖分布，并和理論計(jì)算出的該點(diǎn)副瓣電平的概率密度曲線對(duì)比，如圖2所示。

圖2 該方位角輻射電平直方圖和其概率密度曲線對(duì)比

功率電平與方向性函數(shù)的幅度值關(guān)系如下:

根據(jù)概率論相關(guān)理論，有:

對(duì)上式兩邊關(guān)于q求導(dǎo)，可得到Q的概率密度函數(shù):

將(17)式帶入上式，得到功率電平概率密度函數(shù)的最終表達(dá)式:

4 誤差方向圖在某方位角的數(shù)值結(jié)果

為了論證計(jì)算結(jié)果的正確性，我們把指定幅、相誤差(σΔ=0.05、σΦ=2°)后的某方位角輻射電平分

藍(lán)色直方圖是經(jīng)過(guò)計(jì)算機(jī)萬(wàn)次仿真之后得到該方位角上輻射電平的概率分布，紅色曲線是經(jīng)過(guò)(24)式計(jì)算得到的該角度上輻射電平的概率分布曲線?？梢钥闯?，理論計(jì)算和仿真數(shù)值結(jié)果比較吻合。

由概率密度曲線可以得到計(jì)入指定誤差后第一副瓣電平的分布函數(shù)，如圖3所示。

圖3 該方位角輻射電平的分布函數(shù)

同樣以上述線陣模型為例，令總誤差σ'2=+，計(jì)算得出計(jì)入不同誤差(σ'=0.02 ～0.09)情況下的分布函數(shù)，并作圖進(jìn)行對(duì)比說(shuō)明:

5 誤差方向圖最高副瓣電平的分析與研究

第4節(jié)中的分析都是指定方位角求該點(diǎn)的輻射電平的分布，但在對(duì)天線副瓣電平的研究中，我們關(guān)心的是最高副瓣的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，求出最高副瓣的概率密度函數(shù)或分布函數(shù)才是有意義的。

嚴(yán)格意義上，若要求出誤差方向圖的最高副瓣的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，必須對(duì)副瓣區(qū)所有點(diǎn)的輻射電平加以分析。

多維隨機(jī)變量的分布函數(shù)可以寫(xiě)成如下表達(dá)式:

根據(jù)(25)式可知，若要求得最高副瓣小于q的概率，則必須得到副瓣區(qū)每一個(gè)點(diǎn)小于q的概率，最后求所有點(diǎn)的聯(lián)合分布即就是最高副瓣電平的分布。但實(shí)際中這樣計(jì)算步驟太多，過(guò)程比較冗長(zhǎng)。所以對(duì)此模型進(jìn)行一個(gè)假設(shè)，假設(shè)如下:

陣列方向圖在副瓣區(qū)域內(nèi)，整個(gè)副瓣區(qū)有M個(gè)峰值(M=N－2，N為陣列單元個(gè)數(shù))。用小瓣內(nèi)峰值點(diǎn)輻射電平的概率密度函數(shù)來(lái)代替計(jì)入誤差后的小瓣內(nèi)最高副瓣的概率密度函數(shù)(如圖5標(biāo)注所示)。

應(yīng)用MATLAB對(duì)此進(jìn)行如下論證。采用線陣模型2:單元數(shù) N=100，設(shè)計(jì)最高副瓣電平為 －35dB的 chebyshev線陣。計(jì)入誤差(σΔ=0.03、σΦ=2°)，經(jīng)過(guò)10000次計(jì)算機(jī)仿真，首先對(duì)小瓣內(nèi)的峰值點(diǎn)輻射電平的概率密度做一個(gè)直方圖，如圖6所示。之后再仿真得到的整個(gè)小瓣內(nèi)最高副瓣電平分布的直方圖，如圖7所示。

通過(guò)圖(6)和圖(7)可知，兩種情況的概率密度直方圖基本吻合。說(shuō)明當(dāng)計(jì)入的誤差不大時(shí)，小瓣內(nèi)峰值點(diǎn)輻射的概率密度分布可以近似代替小瓣最高副瓣的概率密度分布。

應(yīng)用上面的假設(shè)，就可以對(duì)整個(gè)副瓣區(qū)的最高副瓣電平的分布特性進(jìn)行分析。對(duì)于同一個(gè)方向圖中的各個(gè)副瓣電平，顯然其數(shù)值不是相互獨(dú)立的;但我們研究的并不是同一個(gè)方向圖中各個(gè)副瓣的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，而是大量的同一類方向圖中各方位角的副瓣電平的統(tǒng)計(jì)，因此各個(gè)方位角上的副瓣電平是近似相互獨(dú)立的，這樣就可以進(jìn)行如下分析。

由于各方位角上的副瓣相互獨(dú)立，故(25)式可以變形為:

其中Qn(n=1～M)代表第n個(gè)副瓣。又有副瓣電平的分布函數(shù)是其概率密度函數(shù)的積分，得:

將(27)帶入(26)就可以求得整個(gè)副瓣區(qū)最高副瓣電平的分布函數(shù)。

同樣采用線陣模型2來(lái)論證上述分析，計(jì)入不同誤差，經(jīng)過(guò)10000次計(jì)算機(jī)仿真。單元數(shù)目為N=100，故在整個(gè)副瓣區(qū)有98個(gè)副瓣，結(jié)合(27)式，將M=98帶入(26)計(jì)算得到最高副瓣電平的分布函數(shù)并微分求得其概率密度函數(shù)，繪制如圖中的藍(lán)色曲線。紅色直方圖是計(jì)算機(jī)仿真得出的最高副瓣電平的概率密度直方圖。

可以看出，不同幅相誤差下，計(jì)算結(jié)果和仿真結(jié)果基本吻合，論證了分析過(guò)程的正確性。

圖8 計(jì)入不同誤差后副瓣區(qū)最高副瓣概率密度的仿真值和計(jì)算值對(duì)比

圖9 副瓣區(qū)最高副瓣概率密度的仿真值和計(jì)算值對(duì)比

6 結(jié)論

本文在計(jì)入隨機(jī)誤差的陣列模型的基礎(chǔ)上，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)與概率學(xué)理論分析了電場(chǎng)方向圖副瓣區(qū)某方位角上輻射電平的統(tǒng)計(jì)特性，之后以副瓣區(qū)各方位角的輻射電平分布來(lái)分析整個(gè)副瓣區(qū)的最高副瓣電平的統(tǒng)計(jì)特性，并結(jié)合計(jì)算機(jī)仿真驗(yàn)證公式的正確性。

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