王長穎

一元一次不等式是刻畫現(xiàn)實世界中量與量之間不等關(guān)系的有效模型，現(xiàn)實生活中的許多實際問題可以建立一元一次不等式模型加以解答，現(xiàn)舉例說明如下.

一、 電梯中的載物問題

例1 有3人攜帶會議材料乘坐電梯，這3人的體重共210 kg，每捆材料重20 kg，電梯最大負荷為1 050 kg，那么該電梯在此3人乘坐的情況下最多還能搭載幾捆材料？

【分析】本題中的最大負荷為1 050 kg，實際上隱含著：3人的體重+攜帶會議材料≤1 050，因而可以設(shè)該電梯最多還能搭載x捆材料，進而建立關(guān)于x的不等式解決問題.

【解答】設(shè)該電梯最多還能搭載x捆材料，依題意，得：

20x+210≤1 050，解得x≤42.

所以，x的最大值為42.

答：該電梯最多還能搭載42捆材料.

【點評】乘坐電梯是日常生活中極其平常的事情，乘坐電梯搭載材料千萬不要超過最大負荷，否則就會出現(xiàn)超載無法關(guān)門的現(xiàn)象.

二、 體育活動中的買球問題

例2 同慶中學(xué)為豐富學(xué)生的校園生活，準備從軍躍體育用品商店一次性購買若干個足球和籃球（每個足球的價格相同，每個籃球的價格相同），若購買3個足球和2個籃球共需310元，購買2個足球和5個籃球共需500元.

（1） 求購買一個足球、一個籃球各需多少元？

（2） 根據(jù)同慶中學(xué)實際情況，需從軍躍體育用品商店一次性購買足球和籃球共96個，要求購買足球和籃球的總費用不超過5 720元，這所中學(xué)最多可以購買多少個籃球？

【分析】第（1）題，隱含著兩個等量關(guān)系式：購買3個足球的費用+2個籃球的費用=310元，購買2個足球的費用+5個籃球的費用=500元，因此，可以建立方程組進行解答；第（2）題，隱含著一個不等關(guān)系式：購買足球和籃球的總費用≤5 720元.設(shè)購買a個籃球，即可列出不等式加以解決.

【解答】（1） 設(shè)購買一個足球需要x元，購買一個籃球需要y元.根據(jù)題意，得：

3x+2y=310，2x+5y=500. 解得：x=50，y=80.

所以，購買一個足球需要50元，購買一個籃球需要80元.

（2） 設(shè)購買a個籃球，則購買（96-a）個足球，根據(jù)題意，列不等式，得：

80a+50（96-a）≤5 720，解得：a≤30■.

因為a為整數(shù)，所以a最多是30，所以這所中學(xué)最多可以購買30個籃球.

【點評】踢足球和打籃球是同學(xué)們喜愛的體育活動.購買足球和籃球前，一定要做好經(jīng)費預(yù)算，才能夠確保合理使用經(jīng)費.

三、 商品購買方案問題

例3 某商店5月1日舉行促銷優(yōu)惠活動，當天到該商店購買商品有兩種方案.方案一：用168元購買會員卡成為會員后，憑會員卡購買商店內(nèi)任何商品，一律按商品價格的8折優(yōu)惠；方案二：若不購買會員卡，則購買商店內(nèi)任何商品，一律按商品價格的9.5折優(yōu)惠.已知小敏5月1日前不是該商店的會員.

（1） 若小敏不購買會員卡，所購買商品的價格為120元時，實際應(yīng)支付多少元？

（2） 請幫小敏算一算，所購買商品的價格在什么范圍內(nèi)時，采用方案一更合算？

【分析】第（1）題，按方案二直接可以計算；第（2）題，隱含著不等式關(guān)系是：方案一的費用<方案二的費用.設(shè)購買商品的價格為x元，可得方案一的費用為（0.8x+168）元、方案二的費用為0.95x元，進而建立不等式，求出所購買商品的價格的范圍.

【解答】（1） 120×0.95=114（元），所以實際應(yīng)支付114元；

（2） 設(shè)購買商品的價格為x元，由題意得：0.8x+168<0.95x，解得x>1 120，所以當購買商品的價格超過1 120元時，采用方案一更合算.

【點評】促銷優(yōu)惠活動是商家經(jīng)常采用的方法.不同的商家有不同的方案，既需要我們“貨比三家”，也需要我們對相同商品比較不同購買方案時價格大小關(guān)系，得到價廉物美的商品.

四、 食物中成分的問題

例4 2012年5月20日是第23個中國學(xué)生營養(yǎng)日，某校社會實踐小組在這天開展活動，調(diào)查快餐營養(yǎng)情況.他們從食品安全監(jiān)督部門獲取了一份快餐的信息（如圖）.根據(jù)信息，解答下列問題.

（1） 求這份快餐中所含脂肪質(zhì)量；

（2） 若碳水化合物占快餐總質(zhì)量的40%，求這份快餐所含蛋白質(zhì)的質(zhì)量；

（3） 若這份快餐中蛋白質(zhì)和碳水化合物所占百分比的和不高于85%，求其中所含碳水化合物質(zhì)量的最大值.

【分析】（1） 已知百分比和總量，則脂肪質(zhì)量為400×5%；（2） 已知碳水化合物的百分比，則碳水化合物質(zhì)量為400×40%=160，故蛋白質(zhì)與礦物質(zhì)的質(zhì)量之和為400-20-160，又知蛋白質(zhì)的質(zhì)量是礦物質(zhì)的質(zhì)量的4倍，所以設(shè)礦物質(zhì)的含量為x，則有x+4x=400-20-160；（3） 設(shè)所含礦物質(zhì)的質(zhì)量為y克，則所含碳水化合物的質(zhì)量為（380-5y）克，根據(jù)兩者所占百分比的和不超過85%，可得4y+（380-5y）≤400×85%，從而y的取值范圍可求出.

【解答】（1） 400×5%=20，答：這份快餐中所含脂肪質(zhì)量為20克；

（2） 設(shè)所含礦物質(zhì)的質(zhì)量為x克，由題意得：x+4x+20+400×40%=400，所以x=44，所以 4x=176.

答：所含蛋白質(zhì)的質(zhì)量為176克；

（3） 設(shè)所含礦物質(zhì)的質(zhì)量為y克，則所含碳水化合物的質(zhì)量為（380-5y）克，所以4y+（380-5y）≤400×85%，y≥40，380-5y≤180，所以所含碳水化合物質(zhì)量的最大值為180克.

【點評】本題設(shè)計新穎，以快餐中的營養(yǎng)成分信息為背景，考查了同學(xué)們從信息表中獲取相關(guān)數(shù)據(jù)的能力.同學(xué)們應(yīng)學(xué)會建立不等式模型加以解答.

五、 商品銷售利潤問題

例5 某大型超市從生產(chǎn)基地購進一批水果，運輸過程中質(zhì)量損失10%.假設(shè)不計超市其他費用，如果超市要想至少獲得20%的利潤，那么這種水果的售價在進價基礎(chǔ)上應(yīng)至少提高（ ）.

A. 40% B. 33.4% C. 33.3% D. 30%

【分析】設(shè)購進一批水果有a kg，進價為m元，這種水果的售價在進價基礎(chǔ)上提高原價的x倍，則有：■≥20%，解得x≥■，所以x的最小值為33.4%，即這種水果的售價在進價基礎(chǔ)上應(yīng)至少提高33.4%.

【解答】B.

【點評】商家買賣商品過程中總是沒有賠本的，盡管在銷售過程中有損耗，往往通過提高售價來達到所要獲取的利潤率.

例6 某商場用36 000元購進甲、乙兩種商品，銷售完后共獲利6 000元.其中甲種商品每件進價120元，售價138元；乙種商品每件進價100元，售價120元.

（1） 該商場購進甲、乙兩種商品各多少件？

（2） 商場第二次以原進價購進甲、乙兩種商品，購進乙種商品的件數(shù)不變，而購進甲種商品的件數(shù)是第一次的2倍，甲種商品按原售價出售，而乙種商品打折銷售.若兩種商品銷售完畢，要使第二次經(jīng)營活動獲利不少于8 160元，乙種商品最低售價為每件多少元？

【分析】第（1）題，隱含著兩個相等關(guān)系式：購進甲種商品的費用+購進乙種商品的費用=36 000元，銷售甲種商品的獲利+銷售乙種商品的獲利=6 000元，因而可以列出方程組進行解答；第（2）題，第二次購進甲種商品的件數(shù)的利潤為2×200×（138-120）=7 200元，如果設(shè)最低售價為x元，則第二次購進乙種商品銷售后的利潤為120×（x-100）元，從而可以應(yīng)用不等式進行解決問題.

【解答】（1） 設(shè)第一次購進甲、乙兩種商品件數(shù)分別為x、y件，依題意，得：

120x+100y=36 000，（138-120）x+（120-100）y=6 000.

所以x=200，y=120.

所以第一次購進甲、乙兩種商品件數(shù)分別為200、120件.

（2） 第二次購進甲種商品的件數(shù)是第一次的2倍，仍按原價銷售后的利潤為：2×200×（138-120）=7 200元，所以設(shè)乙種商品最低售價為x元，第二次購進乙種商品銷售后的利潤為120×（x-100）元，得：7 200+120×（x-100）≥8 160，解得x≥108，所以x有最小值為108元，所以乙種商品在第一次售價的基礎(chǔ)上最低售價為每件108元.

【點評】本題著重考查了同學(xué)們把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力，要求應(yīng)用二元一次方程組和一元一次不等式解決生活中銷售利潤問題.

六、 生活用水問題

例7 為了鼓勵市民節(jié)約用水，某市居民生活用水按階梯式水價計費.如表是該市居民“一戶一表”生活用水計費價格表的部分信息：

（說明：① 每戶產(chǎn)生的污水量等于該戶自來水用水量；② 水費=自來水費用+污水處理費用）

已知小王家2012年4月份用水20噸，交水費66元；5月份用水25噸，交水費91元.

（1） 求a、b的值；

（2） 隨著夏天的到來，用水量將增加.為了節(jié)省開支，小王計劃把6月份的水費控制在不超過家庭月收入的2%.若小王家的月收入為9 200元，則小王家6月份最多能用水多少噸？

【分析】第（1）題，根據(jù)兩次付費，可得一個關(guān)于a、b的二元一次方程組，解方程即可；第（2）題，根據(jù)第（1）題的計算結(jié)果可以求得用水30噸時的費用，再確定6月份用水量是否超過30噸，并建立不等式解決問題.

【解答】（1） 由題意，得：17（a+0.8）+3（b+0.8）=66，17（a+0.8）+8（b+0.8）=91.解得a=2.2，b=4.2.

（2） 當用水量為30噸時，水費為：17×3+13×5=116元，9 200×2%=184元.

因為116<184，所以小王家6月份的用水量超過30噸.

設(shè)小王家6月份用水量為x噸，由題意，得：17×3+13×5+6.8（x-30）≤184，解得x≤40，所以，x的最大值為40.

答：小王家6月份最多能用水40噸.

【點評】“節(jié)約用水，人人有責(zé)”，使用不同水量，其每噸的交費也不相同.本題既滲透了節(jié)約用水的意識，也考查了從表格中獲取相關(guān)信息的能力.

七、 方案設(shè)計問題

例8 （2012·益陽）為響應(yīng)市政府“創(chuàng)建國家森林城市”的號召，某小區(qū)計劃購進A、B兩種樹苗共17棵，已知A種樹苗每棵80元，B種樹苗每棵60元.

（1） 若購進A、B兩種樹苗剛好用去1 220元，問購進A、B兩種樹苗各多少棵？

（2） 若購買B種樹苗的數(shù)量少于A種樹苗的數(shù)量，請你給出一種費用最省的方案，并求出該方案所需費用.

【分析】第（1）題，可用一元一次方程求解；第（2）題，由“購買B種樹苗的數(shù)量少于A種樹苗的數(shù)量”建立不等式，再結(jié)合樹苗的棵數(shù)是整數(shù)求解.

【解答】（1） 設(shè)購進A種樹苗x棵，則購進B種樹苗（17-x）棵，根據(jù)題意得：

80x+60（17-x）=1 220，解得x=10，所以17-x=7.

答：購進A種樹苗10棵，B種樹苗7棵.

（2） 設(shè)購進A種樹苗x棵，則購進B種樹苗（17-x）棵，根據(jù)題意得：

17-x8■，購進A、B兩種樹苗所需費用為80x+60（17-x）=20x+1 020，則費用最省需x取最小整數(shù)9，此時17-x=8，這時所需費用為20×9+1 020=1 200（元）.

答：費用最省方案為：購進A種樹苗9棵，B種樹苗8棵. 這時所需費用為1 200元.

【點評】最優(yōu)化或方案設(shè)計問題，常常要借助于不等式和不等式的相關(guān)性質(zhì)進行解答.