諸建剛

數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，它寓于數(shù)學(xué)知識(shí)之中，但比數(shù)學(xué)知識(shí)本身更為重要、更為寶貴.我們的學(xué)習(xí)不單純是解題，而應(yīng)把數(shù)學(xué)思想的積累、培養(yǎng)與數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握融為一體，用我們高品質(zhì)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué). 這一章蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，下面具體談?wù)?

例1 計(jì)算：2 0123-2 011×2 012×2 013.

【分析】直接計(jì)算顯然較繁，注意到原式中的各數(shù)的聯(lián)系，可恰當(dāng)?shù)乩米帜复鏀?shù)，把數(shù)的計(jì)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)式的化簡(jiǎn)，可使問題解決得更快更巧妙.

解：設(shè)2 012=a，則

原式=a3-（a-1）×a×（a+1）

=a3-a（a2-1）=a3-a3+a=2 012.

例2 已知M=2 012×2 013-1，N=2 0122-2 012×2 013+2 0132，試比較M、N的大小.

【分析】可設(shè)2 012=a，那么M=a（a+1）-1=a2+a-1，N=a2-a（a+1）+（a+1）2=a2+a+1，因?yàn)镸-N=（a2+a-1）-（a2+a+1）=-2，所以M

【點(diǎn)評(píng)】本題先將數(shù)的計(jì)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)式的化簡(jiǎn)，再將比較兩數(shù)大小問題轉(zhuǎn)化為判斷這兩數(shù)差的符號(hào)問題，解題過程運(yùn)用了兩次轉(zhuǎn)化.

例3 已知代數(shù)式x2+5x+1的值等于9，求代數(shù)式2x2+10x+7的值.

【分析】從已知條件可得x2+5x+1=9，從而得x2+5x=8，由同學(xué)們現(xiàn)在的知識(shí)還不能求出具體的x的值，所以應(yīng)思考其他的解題方法.提部分公因式得2x2+10x=2（x2+5x），所以可將x2+5x作為一個(gè)整體代入2（x2+5x）中.

解：由已知，得x2+5x+1=9，所以x2+5x=8，所以2x2+10x+7=2（x2+5x）+7=2×8+7=23.

【點(diǎn)評(píng)】通常求代數(shù)式2x2+10x+7的值時(shí)，會(huì)將x的值代入計(jì)算求得，但本題以上解法把2x2+10x看作一個(gè)整體，直接求出這個(gè)整體的值，繞過“用x代入求2x2+10x的值”的細(xì)節(jié)，顯得靈活、巧妙、直接、“大氣”，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)上的“整體思想”.

例4 分解因式：（m+n）2-6（m+n）+9.

【分析】本題分解因式時(shí)，如把括號(hào)展開整理后再分解顯然很麻煩，但若把（m+n）看成一個(gè)整體，則此多項(xiàng)式即為關(guān)于（m+n）的二次三項(xiàng)式，恰好能用完全平方公式分解.

解：原式=[（m+n）-3]2=（m+n-3）2.

【點(diǎn)評(píng)】運(yùn)用整體思想可使解題思路清晰、步驟簡(jiǎn)捷、解法簡(jiǎn)便.

【說明】事實(shí)上，本章能突出體現(xiàn)“整體思想”之處還有很多，如平方差公式和完全平方公式的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用.乘法公式（a+b）（a-b）=a2-b2、（a+b）2=a2+2ab+b2和（a-b）2=a2-2ab+b2中的字母都可以看作某個(gè)整體，這個(gè)整體可以是一個(gè)單項(xiàng)式、一個(gè)多項(xiàng)式，即可以將公式中的字母換元成單項(xiàng)式或多項(xiàng)式，因此圍繞整體換元，可對(duì)公式進(jìn)行下列幾方面的變式運(yùn)用：變化符號(hào)、變化字母 、變化系數(shù)、變化指數(shù)、變化項(xiàng)數(shù)等.

例5 已知a+b=4，ab=1，求代數(shù)式（a2+1）（b2+1）的值.

【分析】同學(xué)們還不具備“由已知條件求出a，b的值，再代入（a2+1）（b2+1）計(jì)算”的知識(shí)，即便將來掌握了，用此法解決本問題也較困難，可考慮將（a2+1）（b2+1）變形，用a+b和ab來表示，然后整體代入求值.

解：（a2+1）（b2+1）

=a2b2+a2+b2+1

=（ab）2+（a+b）2-2ab+1.

把a(bǔ)+b=4，ab=1整體代入，可得原式=12+42-2×1+1=16.

例6 知x3+x2+x+1=0，求x2012+x2011+x2010+…+x2+x+1的值.

【分析】由x3+x2+x+1=0，因此我們要利用x3+x2+x+1這個(gè)整體，在所求代數(shù)式x2012+x2011+x2010+…+x2+x+1中構(gòu)造若干個(gè)這樣的整體，將0代入這些整體，從而計(jì)算出x2012+x2011+x2010+…+x2+x+1的值.

解： x2012+x2011+x2010+…+x2+x+1

=x2009（x3+x2+x+1）+x2005（x3+x2+x+1）+…+x（x3+x2+x+1）+1

=1.

【說明】我們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法.換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，變得容易處理.換元法又稱輔助元素法、變量代換法.通過引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來，或者變?yōu)槭煜さ男问剑褟?fù)雜的計(jì)算和推證簡(jiǎn)化.

例7 若多項(xiàng)式（x2+mx+n）（x2-3x+4）展開后不含x3項(xiàng)和x2項(xiàng)，試求m，n的值.

【分析】要使多項(xiàng)式（x2+mx+n）（x2-3x+4）展開后不含x3項(xiàng)和x2項(xiàng)，必須使得展開合并后x3項(xiàng)和x2項(xiàng)的系數(shù)為0.

解：（x2+mx+n）（x2-3x+4）=x4+（m-3）x3+（n-3m+4）x2+（4m-3n）x+4n，因?yàn)檎归_后不含x3項(xiàng)和x2項(xiàng)，所以有m-3=0且n-3m+4=0，解得m=3，n=5.

【點(diǎn)評(píng)】本題先將等式左邊按照多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則展開，然后利用“對(duì)應(yīng)思想”， 比較等式兩邊次數(shù)相同項(xiàng)的系數(shù)，利用這些項(xiàng)系數(shù)為0，實(shí)現(xiàn)不含這些項(xiàng)，從而構(gòu)造出方程求解.需要提醒的是，題目出現(xiàn)了3個(gè)字母，其中m，n應(yīng)視作多項(xiàng)式的項(xiàng)的系數(shù)的一部分，而將x視作多項(xiàng)式的項(xiàng)的字母.

例8 若x2-px+16是完全平方式，則p=_______；若a2-8a+k是完全平方式，則k=_______.

【分析】由完全平方公式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)知，與p相關(guān)的乘積項(xiàng)可表示為±8x，與k相關(guān)的平方項(xiàng)可表示為16，利用“對(duì)應(yīng)思想”得-px=±8x，k=16，通過方程得p=±8.

例9 如圖，正方形卡片A類、B類和長(zhǎng)方形卡片C類各若干張，如果要拼一個(gè)長(zhǎng)為a+3b、寬為a+b的大長(zhǎng)方形，則需要C類卡片_______張.

【分析】由圖可知每類卡片中一張卡片的面積.由于三類卡片的面積表達(dá)式不同，因此可計(jì)算出長(zhǎng)為（a+3b）、寬為（a+b）的大長(zhǎng)方形的面積，然后根據(jù)結(jié)果中的代數(shù)式確定所需C類卡片的張數(shù).

解：由圖可知，一張A類卡片的面積是a2，一張B類卡片的面積是b2，一張C類卡片的面積是ab，因?yàn)椋╝+3b）（a+b）=a2+4ab+3b2，所以需要C類卡片4張.

【點(diǎn)評(píng)】本題用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，一方面利用整式乘法得出等式右邊為a2+4ab+3b2，另一方面結(jié)合圖形發(fā)現(xiàn)a2+4ab+3b2實(shí)際上是幾個(gè)長(zhǎng)方形面積的和，利用拼圖前后面積相等得出結(jié)論.由于條件限制，本題解法只關(guān)注了數(shù)量關(guān)系，忽視了位置關(guān)系，即雖然面積數(shù)符合題目要求，但能否真的能拼成一個(gè)長(zhǎng)方形呢？就需要同學(xué)們動(dòng)手拼一拼了.

例10 計(jì)算（a-1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）=________.

【分析】遇到這樣的問題，一下難以入手， 我們可以先從簡(jiǎn)單的情況入手，分別計(jì)算下列各式的值：

（a-1）（a+1）=______；

（a-1）（a2+a+1）=______；

（a-1）（a3+a2+a+1）=______；

……

由此我們可以得到（a-1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）=_______.

解：由特殊情況探索我們可以猜想得（a-1）（a99+a98+a97+…+a2+a+1）=a100-1.

【點(diǎn)評(píng)】解決本問題時(shí)，我們從特殊情況出發(fā)，從特殊情況發(fā)現(xiàn)結(jié)論從而猜想出一般結(jié)論，這是數(shù)學(xué)上常用的歸納法，屬于由特殊到一般的思想方法.限于初中生所掌握的知識(shí)，許多問題還不能最終證明結(jié)論的正確性，但這種由許多特殊情況歸納出一般結(jié)論的思想方法，是我們進(jìn)行數(shù)學(xué)探索和發(fā)現(xiàn)的有力工具，能為我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來無窮樂趣.

【說明】以上各例涉及了本章主要的數(shù)學(xué)思想方法， 同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)中要不斷領(lǐng)悟和加深對(duì)它們的理解， 用我們睿智的眼光去發(fā)現(xiàn)許多問題背后深藏著的數(shù)學(xué)思想，用我們的自覺行為去應(yīng)用它們，使我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更有意義.