吳戰(zhàn)國，路冠軍

(同濟(jì)大學(xué)機(jī)械與能源工程學(xué)院，上海 201804)

在高速機(jī)床、慣性陀螺等機(jī)械中，軸承一般在高速(5 600 r·min－1＜n＜11 200 r·min－1，n為轉(zhuǎn)速)以及超高速(11 200 r·min－1＜n)工況下運(yùn)轉(zhuǎn).不同于一般的軸承，高轉(zhuǎn)速對軸承內(nèi)部的載荷分布、接觸角以及剛度有著重要的影響，高轉(zhuǎn)速下鋼球受到的離心力和陀螺力矩可能引起鋼球打滑，造成軸承內(nèi)部摩擦與溫升.軸承的性能更是決定了軸系的剛度與旋轉(zhuǎn)精度.分析不同工況下，特別是高轉(zhuǎn)速軸承內(nèi)部的載荷分布和大小與軸承的變形與剛度，是研究軸承壽命與主軸特性的基礎(chǔ)，也是整個系統(tǒng)穩(wěn)定工作的保障［1－3］.

本文在剛性套圈理論、赫茲接觸理論和套圈控制理論的基礎(chǔ)上，對在不同工況下用于角接觸球軸承力學(xué)研究的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了研究，以內(nèi)圈旋轉(zhuǎn)，外圈靜止的角接觸球軸承為對象，考慮軸向載荷、徑向載荷、離心力、陀螺力矩的影響，以滾動軸承的擬靜力學(xué)模型為基礎(chǔ)，編制計算分析程序，采用Newton-Raphson 方法求解非線性方程組，得到了角接觸球軸承內(nèi)部接觸角、剛度以及載荷分布的變化規(guī)律，討論了軸向預(yù)緊力和鋼球直徑對旋滾比的影響，并且將計算結(jié)果與Harris 計算結(jié)果進(jìn)行對比.

1 不同工況下的數(shù)學(xué)模型

不同工況作用下，不同位置的鋼球承受的載荷是不同的，本文總結(jié)了在三種不同工況作用下，角接觸球軸承內(nèi)部幾何變形關(guān)系，得到不同工況下角接觸球軸承的力學(xué)分析模型.

1.1 軸向受載

內(nèi)圈只承受軸向載荷的情況下，內(nèi)圈相對于外圈有軸向位移δa.此時每個鋼球承受的載荷相同，彈性變形量相同，接觸角由α0變?yōu)棣?可根據(jù)內(nèi)圈的軸向力平衡建立方程，未知數(shù)就是變形后的接觸角α.

式中:A為加載前內(nèi)外圈溝道溝曲率圓心距離.

式中:Q為鋼球的接觸載荷;Kn為鋼球與套圈接觸變形系數(shù).

式中:Fa為內(nèi)圈受到的軸向載荷;Z為鋼球個數(shù).

1.2 軸向與徑向受載

內(nèi)圈承受軸向載荷和徑向荷載，內(nèi)圈相對于外圈有軸向位移δa和徑向位移δr.此時并不是所有鋼球承受外部荷載，而且不同位置的鋼球承受的荷載大小不一樣，因此不同位置鋼球的彈性變形量也不相同.由幾何變形關(guān)系得出，角位置ψj處的鋼球彈性變形量δj可由下式得出:

因鋼球與內(nèi)外圈的接觸角相等，這樣與內(nèi)外圈溝道的接觸載荷也相等.可根據(jù)由內(nèi)圈在軸向與徑向方向建立平衡方程:

式中:Qj為角位置 ψj處的接觸載荷為角位置ψj處的接觸角;Fr為內(nèi)圈受到的徑向載荷.

1.3 軸向與徑向受載，內(nèi)圈旋轉(zhuǎn)

內(nèi)圈不僅承受軸向與徑向載荷，并且高速旋轉(zhuǎn).此時軸承內(nèi)部部分鋼球除了因彈性變形受到了接觸載荷，所有鋼球還會受到離心力、陀螺力矩的作用，如圖1所示.因為離心力的作用，鋼球?qū)⑾蛲馊系赖臏系走\(yùn)動，滾鋼球與外圈的接觸角將減小，與內(nèi)圈的接觸角將增大.內(nèi)、外接觸角的不一樣，與內(nèi)外圈的接觸荷載也將不一樣.這種工況下，分析的難度與前兩種工況相比將增加.圖2表示受載前后，內(nèi)外圈溝曲率圓心的位置幾何關(guān)系.

圖1 鋼球受力Fig.1 Contact force of ball

圖2 鋼球位移與變形關(guān)系Fig.2 Displacement and deformation of ball

圖1、圖2中:Qij，Qej分別為鋼球與內(nèi)、外圈的接觸載荷;αij，αej分別為鋼球與內(nèi)、外圈的接觸角;Fij，F(xiàn)ej分別為鋼球與內(nèi)、外圈的摩擦力;Mgj為鋼球陀螺力矩;Fcj為鋼球離心力;O1，O2為外、內(nèi)圈受載前溝曲率中心;O'2為受載后為內(nèi)圈溝曲率中心;Axi，Ayi分別為溝曲率中心軸向、徑向距離.

設(shè)每個鋼球與內(nèi)、外圈的接觸角αij，αej和內(nèi)圈的軸向與徑向位移δa，δr為未知量，推導(dǎo)得到每個滾子與內(nèi)、外圈的彈性變形量，因篇幅有限，具體推導(dǎo)可參考文獻(xiàn)［4－6］.

因滾子受離心力作用，鋼球與內(nèi)外圈的接觸角不再相等.在該力學(xué)模型中，除了內(nèi)圈在軸向與徑向的力平衡外，還要滿足每個鋼球的軸向與徑向力平衡，可根據(jù)方程建立未知數(shù) αij，αej，δa，δr的迭代公式，這樣方程才能求解.

對于角位置ψj的鋼球軸向與徑向力平衡:

式中:Db為鋼球直徑.

內(nèi)圈的軸向與徑向力平衡:

軸承高速運(yùn)轉(zhuǎn)時，由滾道控制理論可知，由于離心力作用而使鋼球壓向外圈，與內(nèi)圈有脫離趨勢，此時由鋼球與外圈的摩擦力矩來平衡陀螺力矩.

上述數(shù)學(xué)模型中出現(xiàn)的接觸變形系數(shù)Kn可由下式獲得:

式中:Ki，Ke為鋼球與內(nèi)、外圈的接觸變形系數(shù).

內(nèi)外溝道的接觸剛度Ki，Ke是第一類橢圓積分F 和第二類橢圓積分E 的函數(shù)，而它們又是橢圓率k的函數(shù).傳統(tǒng)的解法是通過查表獲得k的數(shù)值，本文使用數(shù)值的方法，對k進(jìn)行迭代，計算精度要高于傳統(tǒng)方法.

式中:kn+1為第n +1 次迭代時橢圓率的值;Fn，En分別為第n次迭代第一、二類橢圓積分的值.

2 非線性方程組的收斂

對于內(nèi)圈同時受到軸向與徑向載荷，并高速旋轉(zhuǎn)的角接觸球軸承而言，非線性組中方程個數(shù)繁多，共有z+4 個方程(z為鋼球個數(shù)).并且若初值不合適，方程組很可能不收斂.經(jīng)過分析，未知數(shù)可分為鋼球與內(nèi)外圈的接觸角和內(nèi)圈的位移量兩類，它們之間的值可能相差幾個數(shù)量級，若同時求解很可能造成方程組不收斂，所以可對方程組中的方程進(jìn)行分批求解，將方程(4)鋼球的平衡方程作為第一批方程組，將方程(5)內(nèi)圈的平衡方程作為第二批方程組，同時以靜態(tài)時內(nèi)圈的位移量即方程(3)的結(jié)果為初值進(jìn)行迭代，并且加入防松弛系數(shù)，圖3為程序流程圖.

3 算例分析

以角接觸球軸承218ACBB 為例.具體參數(shù)為:軸承內(nèi)溝底直徑為102.79 mm;外溝底直徑為147.73 mm;滾子直徑為 22.23 mm;內(nèi)、外滾道溝曲率半徑為11.63 mm;滾子個數(shù)為16 個.

應(yīng)用建立的分析模型，使用MATLAB 編制角接觸球軸承工作特性計算程序.因為載荷分布沿著徑向載荷方向?qū)ΨQ分布，所以以最下端的鋼球為起始，逆時針180°范圍內(nèi)的鋼球(編號1—10)為研究對象.

載荷分布與剛度是評價軸承性能的重要指標(biāo)，也是分析軸承其他性能的基礎(chǔ).一般要求內(nèi)部載荷分布均勻，滿足承受載荷的鋼球數(shù)目最大化;對于高速旋轉(zhuǎn)的軸承，旋滾比也是衡量其性能的重要指標(biāo).鋼球繞接觸面法線的自旋運(yùn)動會導(dǎo)致摩擦發(fā)熱，盡可能希望減小旋滾比.

圖4—6 是內(nèi)圈靜止或轉(zhuǎn)速不高時，軸承內(nèi)部的工作特性.圖4表明當(dāng)徑向力較大時，適當(dāng)增加軸向力可以提高軸承的剛度，增加受載鋼球的個數(shù)，減小鋼球的最大載荷，避免某個鋼球集中受載，其他鋼球閑置.圖5和圖6表明，軸向力增加，軸向剛度增大，然而徑向力增大，會導(dǎo)致軸向剛度減小;徑向力增加，徑向剛度減小，增加軸向力會增大軸承的徑向剛度.

圖4 軸向力與載荷分布Fig.4 Axial force and load distribution

圖5 軸向力與軸向剛度Fig.5 Axial force and axial stiffness

圖6 徑向力與徑向剛度Fig..6 Radial force and radial stiffness

圖7—9是內(nèi)圈高速旋轉(zhuǎn)時，軸承的工作特性.由于鋼球受到離心力與陀螺力矩的作用，使鋼球與內(nèi)外圈的接觸角不再相等.圖7的結(jié)果表明，鋼球與內(nèi)圈的接觸角變大，與外圈的接觸角變小，并且隨著轉(zhuǎn)速的升高，內(nèi)外圈接觸角的差值越來越大.圖8和圖9表明轉(zhuǎn)速較低時，內(nèi)圈上受到的最大載荷稍大于外圈;隨著轉(zhuǎn)速的升高，外圈上的載荷越來越大，內(nèi)圈上的載荷有所降低，特別在超高速時，外圈上的載荷顯著增加.這是因為離心力作用，使鋼球有脫離內(nèi)圈趨勢，向外圈擠壓.超高速時，離心力的作用將高于外部載荷對外圈的作用.并且隨著轉(zhuǎn)速增加，軸向剛度與徑向剛度都會減小.

圖7 轉(zhuǎn)速對接觸角的影響Fig.7 Impact of speed on contact angle

圖8 轉(zhuǎn)速對內(nèi)圈載荷分布的影響Fig.8 Impact of speed on load distribution of inner ring

圖9 轉(zhuǎn)速對外圈載荷分布的影響Fig.9 Impact of speed on load distribution of outer ring

圖10表明，軸承內(nèi)部最上端的鋼球旋滾比是最大的，因為這個位置的鋼球受到的載荷最小，處于最松的狀態(tài)，所以高速軸承一定要預(yù)緊，保證每個鋼球都要承受載荷;同時適當(dāng)增加軸向力可以降低旋滾比，但是增加軸向力會增大其應(yīng)力，影響疲勞壽命，所以要根據(jù)具體要求在兩者之間進(jìn)行優(yōu)化.圖11討論的鋼球的直徑對旋滾比的影響，在超高速的工況下一般外部載荷較低，可以減小鋼球直徑來降低旋滾比，達(dá)到降低摩擦的目的.

圖10 軸向載荷對旋滾比的影響Fig.10 Impact of axial force on slide-roll ratio

圖11 鋼球直徑對旋滾比的影響Fig.11 Impact of ball diameter on slide-roll ratio

4 算法驗證

以上例的軸承為例，對內(nèi)圈施加軸向力為17 800 N，徑向力為17 800 N 的載荷，針對軸承內(nèi)部的載荷分布和內(nèi)圈的位移量，將本文計算結(jié)果與Harris 的計算結(jié)果進(jìn)行對比，如表1所示，表中未列出不受載的鋼球.

表1 計算結(jié)果Tab.1 Calculation results

結(jié)果表明，本文的結(jié)果與Harris 的計算結(jié)果基本一致，說明本文的計算程序是可信的.Harris 的結(jié)果是假定受載前后接觸角保持不變得到的，因而存在一定的誤差［7］.

5 結(jié)論

(1)分析了軸向力與載荷分布和剛度的關(guān)系，為軸承的軸向預(yù)緊提供了依據(jù).

(2)在聯(lián)合載荷作用下，增大軸向力，軸向剛度與徑向剛度都會增加;然而增大徑向力，徑向剛度會降低.

(3)在聯(lián)合載荷作用下，內(nèi)圈旋轉(zhuǎn)，由于離心力作用，鋼球與內(nèi)圈的接觸角將增大，與外圈的接觸角將減小.

(4)內(nèi)圈高速旋轉(zhuǎn)時，因為鋼球離心力作用，軸承內(nèi)部的載荷分布發(fā)生很大變化，外圈承受的載荷大于內(nèi)圈，外圈疲勞壽命會遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于內(nèi)圈的疲勞壽命.

(5)對于高速軸承，適當(dāng)增大軸向力，減小鋼球直徑都能夠減小旋滾比，減小滑動摩擦.

(6)與Harris 算法相比，Harris 算法中認(rèn)為受載前后，軸承的接觸角保持不變，而實際工作中，接觸角是發(fā)生變化的，所以本文算法在載荷分布與剛度方面比Harris 算法準(zhǔn)確.

［1］岡本純?nèi)?球軸承的設(shè)計計算［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2002.GANGBEN Cunsan.Design calculation of ball bearing［M］.Beijing:China Machine Press，2002.

［2］鄧四二.滾動軸承設(shè)計原理［M］.北京:中國標(biāo)準(zhǔn)出版社，2008.DENG Sier.Design theory of rolling bearing［M］.Beijing:China Standard Press，2008.

［3］歐陽土中.滾動軸承動力學(xué)分析中的理論問題［J］.軸承，1996(4):14－19.OUYANG Tuzhong.The theorical question on rolling bearing dynamic analysis［J］.Bearing，1996(4):14－19.

［4］唐云冰.航空發(fā)動機(jī)高速滾珠軸承力學(xué)特性分析與研究［J］.航空動力學(xué)報，2006，21(2):354－360.TANG Yunbing.Research on aero-engine high speed ball bearing［J］.Journal of Aerospace Power，2006，21(2):354－ 360.

［5］彭波.角接觸球軸承分析模型的數(shù)值求解［J］.南京航空航天大學(xué)學(xué)報，2009，41(3):371－374.PENG Bo.Numerical solution of analysis model for angularcontact ball bearing［J］.Journal of Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，2009，41(3):371－374.

［6］張家?guī)?高速角接觸球軸承變形和接觸角的數(shù)值分析與求解［J］.合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2008，31(11):1764－1766.ZHANG Jiaku.Numerical analysis of the deformation and angle of contact of the high speed-angular contact ball bearing［J］.Journal of Hefei University of Technology，2008，31(11):1764－1766.

［7］HARRIS T A.滾動軸承分析:第2 卷［M］.第5 版.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2009.HARRIS T A.Rolling ball bearing analysis:Vol 2［M］.5th ed.Beijing:China Machine Press，2009.