沈廷鰲，涂亞慶，張海濤，楊輝躍

(后勤工程學(xué)院 信息工程系，重慶 401311)

頻率估計是信號處理中的一項重要技術(shù)，在通信、聲納、振動控制、生物醫(yī)學(xué)等方面均有著廣泛的應(yīng)用。主要的頻率估計方法可分為參數(shù)模型法和非參數(shù)模型法［1－2］:兩者均具有較高的頻率分辨率，但參數(shù)模型法的性能受初始參數(shù)影響較大;非參數(shù)模型法存在計算量較大和難以實時實現(xiàn)的問題。

利用自適應(yīng)陷波器進(jìn)行頻率估計，實際就是對其進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化的問題。自適應(yīng)陷波器可以根據(jù)被處理信號的特點，自動調(diào)節(jié)自身模型參數(shù)，以確定最優(yōu)陷波頻率，實現(xiàn)頻率的實時測量與跟蹤而倍受國內(nèi)外研究者［3－5］的關(guān)注。其中，自適應(yīng)格型陷波器由于結(jié)構(gòu)算法簡單、短時頻率跟蹤精度較高而得到了較廣泛的應(yīng)用［6－9］。然而陷波器均存在一個難題:即濾波器的非二次誤差曲面含有局部最優(yōu)值，當(dāng)算法梯度達(dá)到一個局部最優(yōu)值時，算法將固定參數(shù)值在局部最優(yōu)值上而停止調(diào)整，從而喪失對信號頻率變化的持續(xù)跟蹤能力。

本文利用濾波增強信號與原始信號的相關(guān)性，設(shè)計一個頻率跟蹤質(zhì)量評價因子，借鑒反饋控制的思想，根據(jù)頻率跟蹤質(zhì)量實時監(jiān)測并自動調(diào)整陷波參數(shù)，以實現(xiàn)持續(xù)穩(wěn)定地跟蹤信號頻率的變化。據(jù)此原理，為推動自適應(yīng)格型陷波器得到更為廣泛的應(yīng)用，本文提出了一種改進(jìn)算法，以提高算法的收斂速度和持續(xù)跟蹤精度，給出了具體的實現(xiàn)算法，并利用MATLAB仿真與原有算法進(jìn)行了有關(guān)性能的比較分析。

1 自適應(yīng)格型陷波器

自適應(yīng)格型陷波器由全零點和全極點兩個格型濾波器級聯(lián)而成［6－8］。為了降低計算復(fù)雜度，徐科軍等［9］把零點固定在單位圓上，通過調(diào)整一個參數(shù)就可實現(xiàn)自適應(yīng)陷波。其實現(xiàn)方式如圖1所示，傳遞函數(shù)為:

式中:k0為權(quán)系數(shù)，用于計算信號陷波頻率，k0經(jīng)過一段時間后會自適應(yīng)收斂到－cosω;ω為被處理信號y(n)的歸一化頻率;ρ為去偏置參數(shù)，決定陷波器陷阱帶寬。

y(n)－x(n)為去除噪聲后的增強信號，具體的實現(xiàn)算法參見參考文獻(xiàn)［9］。

圖1 自適應(yīng)格型陷波器的結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of lattice-based adaptive notch filter

2 改進(jìn)算法

2.1 問題分析

自適應(yīng)陷波器的內(nèi)部結(jié)構(gòu)會導(dǎo)致非二次型誤差曲面收斂至局部最優(yōu)，從而使得陷波器不完全收斂［10－11］，當(dāng)待估信號頻率很低或很高時尤為明顯。圖2給出了自適應(yīng)陷波器跟蹤單正弦信號的誤差曲面［12］。圖2(a)收斂因子ρ≈1，收斂區(qū)域內(nèi)誤差陷入局部最優(yōu)，梯度降為0，從而導(dǎo)致算法喪失自適應(yīng)能力;圖2(b)為正常跟蹤信號頻率的情況。

圖2 錯誤跟蹤(a)和正常跟蹤(b)時陷波器的誤差曲面Fig.2 Thefilter’s error surface in the case of(a)frequency miss-lock(b)correct frequency lock

在自適應(yīng)調(diào)整過程中，隨著收斂因子趨近于1，誤差曲面將陷入局部最優(yōu)，導(dǎo)致陷波器無法感知信號頻率的變化，從而失去對信號頻率變化的持續(xù)跟蹤能力。

2.2 改進(jìn)措施

當(dāng)誤差曲面陷入局部最優(yōu)時，陷波器失去自適應(yīng)能力，此時，可通過調(diào)整陷波器參數(shù)來增加陷波帶寬的方法，讓其重新恢復(fù)自適應(yīng)能力。原理分析如下:

采用陷波器跟蹤信號頻率，在輸入信號先驗知識未知時，初始陷波帶寬往往較大，以便能盡快捕捉到信號頻率。隨著陷波參數(shù)的自適應(yīng)調(diào)整，收斂因子ρ趨近于1，陷波帶寬趨近于0，誤差曲面將陷入局部最優(yōu)值而非全局最優(yōu)值，陷波器可能鎖定在一個錯誤頻率上，此時，信號頻率在陷波帶寬之外，頻率估計結(jié)果存在較大偏差。在這種情況下，增加陷波帶寬可使陷波器能重新跟蹤信號頻率的變化，讓其恢復(fù)自適應(yīng)能力。此外，當(dāng)陷波器鎖定在正確頻率時，增加陷波帶寬也不會對頻率估計精度有太大影響，因為此時正確頻率的誤差曲面確保了頻率是朝著原來正確方向調(diào)整的。

因此，一旦收斂因子ρ趨近于1，可通過增加陷波帶寬的方法，以確保陷波器不會鎖定在一個錯誤頻率上，進(jìn)而確保陷波器的有效性。

2.3 評價因子

采用增加陷波帶寬的方法，能重新恢復(fù)陷波器的自適應(yīng)能力，可提高收斂速度，但同時也會增大信號頻率估計的方差，因為在增加陷波帶寬的同時會引入部分噪聲。為兼顧收斂速度和估計精度，需要增加一個頻率跟蹤質(zhì)量評價因子，用于實時監(jiān)測并自動調(diào)整陷波參數(shù)。頻率跟蹤質(zhì)量評價因子的設(shè)計過程及原理分析如下:

設(shè)輸入信號為y(n)=c(n)+e(n)，c(n)為時變正弦信號，e(n)為零均值高斯白噪聲，c^(n)為濾波增強信號。由圖1和式(1)可推導(dǎo)出:

由式(2)可知，c^(n)不依賴y(n)的前期輸入，與噪聲e(n)無關(guān)。若陷波器正常工作，則濾波增強信號c^(n)≈c(n)與y(n)顯著相關(guān);否則 c^(t)≈e(n)與 y(t)不相關(guān)。

為檢測陷波器是否有效跟蹤信號基頻，根據(jù)c^(n)和y(n)的相關(guān)性，設(shè)計一個頻率跟蹤質(zhì)量評價因子h(n)，h(n)可由圖3所示的0階LMS算法在線計算得到。

圖3 改進(jìn)的自適應(yīng)格型陷波器結(jié)構(gòu)Fig.3 Structure of the improved adaptive lattice notch filter

LMS算法可由下式表示:

式中:μh是步長，收斂狀態(tài)下，h是維納－霍夫(Wiener-Hopf)方程［12］的解:

其中:

若陷波器正常跟蹤信號基頻，則c^(n)≈c(n)，h收斂為:

若陷波器鎖定在錯誤頻率上，則c^(n)與c(n)不相關(guān)，E{c(n)c^(n)}≈0，則 h≈0。因此，可通過檢測h(n)的值來判斷陷波器是否有效跟蹤信號基頻。若h(n)低于設(shè)定值Th，則說明陷波頻率偏離信號基頻，此時需對陷波器參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，以增加陷波帶寬，進(jìn)而使陷波器恢復(fù)自適應(yīng)能力。

2.4 算法實現(xiàn)

根據(jù)上述分析，對自適應(yīng)格型陷波頻率估計算法進(jìn)行改進(jìn)，改進(jìn)算法實現(xiàn)流程如圖4所示。

具體實現(xiàn)算法如下:

Step1:初始化參數(shù)

k^0(0)，λ(0)，λr，λ∞，ρ(0)，ρr，ρ∞，Th，μh

圖4 改進(jìn)算法流程圖Fig.4 Flow chart of the improved algorithm

Step2:采用自適應(yīng)格型陷波算法跟蹤檢測信號頻率

Step3:根據(jù)頻率跟蹤質(zhì)量實時監(jiān)測并調(diào)整陷波參數(shù)

需要說明的是，如改進(jìn)算法流程圖及其具體實現(xiàn)算法所示:改進(jìn)算法在原有算法的基礎(chǔ)上，只是引進(jìn)了一個頻率跟蹤質(zhì)量評價因子，用于實時監(jiān)測并自動調(diào)整陷波參數(shù)，本文僅是借鑒了反饋控制的思想，并沒有增加算法的計算量。

3 仿真研究

設(shè)陷波器的輸入信號由正弦信號和噪聲信號組成，即

式中:幅值A(chǔ)(n)、歸一化角頻率ω(n)和相位φ(n)按照隨機游動模型變化，時變信號模型及自適應(yīng)格型陷波器相關(guān)參數(shù)值的選取參見參考文獻(xiàn)［9］。

改進(jìn)算法有關(guān)參數(shù)設(shè)定值為:

采用兩種算法估計信號頻率，圖5～6為兩次獨立的仿真實驗結(jié)果，從圖中可以看出本文方法的頻率跟蹤曲線較好地與真實頻率變化曲線吻合，與原有算法相比，本文方法的長時頻率跟蹤效果更好、精度更高。表1列出了兩種算法真實頻率均值均方誤差均值MSE的比較，為去除收斂過程的影響，及MSE分別按下式計算:

天時——近年來電商和新能源的不斷發(fā)展，催生很多老舊倉儲中心升級改造和新興倉儲中心規(guī)劃建設(shè)，其對于內(nèi)部倉儲設(shè)備的要求更加緊貼社會、科技發(fā)展，而中鼎在過去積累的定制化解決方案經(jīng)驗和核心設(shè)備的自主研發(fā)制造成為其獨到的市場競爭優(yōu)勢；地利——民族品牌建設(shè)更加接地氣，更加快速應(yīng)對中國物流行業(yè)發(fā)展新需求，許多客戶都贊許說：“中鼎倉儲管理軟件和自動化倉儲設(shè)備，能夠有效做到因需而變、快速反應(yīng)”；人和——與諾力集團(tuán)的合作，讓中鼎的研發(fā)實力更加雄厚，產(chǎn)品線更加豐富，可為客戶提供更加完善的倉儲一體式解決方案。張總說：“當(dāng)坐擁如此的“天時地利人和”，中鼎又豈能不收獲成功呢？”

圖5 真實頻率與估計頻率比較實驗1Fig.5 Comparison experiment 1 between true frequency and estimated frequency

和MSE值的比較and MSE acquired by the two methods

和MSE值的比較and MSE acquired by the two methods

MSE原有算法 0.314 175 0.314 046 3.418 5 ×10 ω— ω^—－8本文方法 0.314 175 0.314 083 1.628 4 ×10－8

圖6 真實頻率與估計頻率比較實驗2Fig.6 Comparison experiment 2 between true frequency and estimated frequency

由表1可見，本文方法估計頻率均值更接近真實頻率均值，且均方誤差均值更小，說明本文方法持續(xù)跟蹤信號頻率隨機緩慢變化的精度和工作穩(wěn)定性更好。

4 收斂性分析

通過分析陷波器原理可知，初始陷波帶寬越寬，收斂速度越快。改進(jìn)算法在原有算法的基礎(chǔ)上增加了一個頻率跟蹤質(zhì)量評價因子，用于實時監(jiān)測和自動調(diào)整陷波參數(shù)。在陷波器跟蹤信號頻率的初始階段，該評價因子能始終使改進(jìn)算法保持較大的陷波帶寬，以使改進(jìn)算法能盡快捕捉到信號頻率，因而可獲得比原有算法更快的收斂特性。

從圖5和圖6可以看出，兩種方法在前期估計信號頻率的效果均較好，但無法從圖形中對兩種方法的收斂性進(jìn)行比較分析。為了進(jìn)一步考察兩種方法的收斂特性，提出兩種比較方法:

方法1:對EA值的偏差估計

首先定義如下函數(shù):

式(10)中，c(n)為正弦信號，ε(n)為輸出信號。在理想狀態(tài)下，陷波器將把正弦信號c(n)濾除，其輸出只存在噪聲信號e(n)，此時EA值即為信號的理想信噪比值。對EA值進(jìn)行仿真分析，越先靠近并穩(wěn)定在理想信噪比值的方法，其收斂速度越快，濾波效果越好。

方法2:對陷波濾波后的增強信號進(jìn)行比較

對陷波濾波后的增強信號進(jìn)行比較分析，增強信號越先達(dá)到穩(wěn)定的，其收斂速度越快，濾波效果越好。采用陷波濾波后的增強信號來分析不同方法的收斂特性和濾波效果，是最直觀有效的一種方法。

圖7為原始信號經(jīng)原有算法與經(jīng)本文方法陷波濾波后得到的增強信號的比較。從圖中可以看出，經(jīng)原有算法陷波濾波后得到的增強信號在500點左右才達(dá)到穩(wěn)定，而經(jīng)本文方法陷波濾波后得到的增強信號在200點左右便達(dá)到穩(wěn)定，其收斂時間更短，去噪效果更好，得到的增強信號受收斂過程的影響較小。

圖7 經(jīng)格型陷波器與本文方法陷波濾波后增強信號的比較Fig.7 Comparison of the enhanced signals by LANF and the presented method

5 結(jié)論

當(dāng)收斂因子趨近于1時，自適應(yīng)陷波器的內(nèi)部結(jié)構(gòu)將使得誤差曲面陷入局部最優(yōu)，從而失去對信號頻率變化的持續(xù)跟蹤能力。本文利用濾波增強信號與原始信號的相關(guān)性原理，設(shè)計一個頻率跟蹤評價因子，以實時監(jiān)測并自動調(diào)整陷波參數(shù)，據(jù)此原理提出了一種改進(jìn)的自適應(yīng)格型陷波頻率估計算法，并進(jìn)行了仿真比較和性能分析。結(jié)果表明本文方法具有以下特點:

(1)改進(jìn)算法的長時持續(xù)跟蹤信號頻率隨機緩慢變化的精度和穩(wěn)定性更好;

(2)改進(jìn)算法在不增加計算量的前提下，收斂速度更快，去噪效果更好;

(3)本文方法的思想還可參考應(yīng)用于其它類型的自適應(yīng)陷波器。

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