劉章軍，方 興

譜表示方法這一概念最早可追溯到Rice［1］、Goto等［2］以及 Borgman［3］，他們應(yīng)用諧波疊加法對一維隨機過程進(jìn)行了模擬。然而，Shinozuka等［4－5］正式提出了用譜表示方法模擬隨機過程的一般原理，并用于模擬多維、多變量以及非平穩(wěn)隨機過程。在隨后的40年中，諸多學(xué)者在這方面做了大量的研究工作，同時在工程領(lǐng)域也獲得了廣泛的應(yīng)用。Shinozuka等［6］和Deodatis等［7］分別給出了單變量、一維隨機過程以及多維高斯隨機場的譜表示法的理論背景。Deodatis［8］模擬了各態(tài)歷經(jīng)的多變量平穩(wěn)隨機過程。Spanos等［9］對譜表示法所生成樣本函數(shù)的性質(zhì)、計算效率以及通用性等方面進(jìn)行了討論?？傮w而言，譜表示方法算法簡單，理論完善，模擬結(jié)果較為可靠，但其計算工作量較大，特別地，對于工程實際問題，往往需要高達(dá)數(shù)百上千個隨機變量才能保證所需的精度，從而極大地增加了問題的分析難度。為了有效地減少譜表示方法中隨機變量的數(shù)量，陳建兵等［10］提出了隨機過程的隨機諧和函數(shù)表達(dá)方式，采用少量的項數(shù)(10個隨機諧和分量)，即可獲得精確的目標(biāo)功率譜密度函數(shù)，陳建兵等［11］進(jìn)一步對譜表示方法的頻率選點進(jìn)行了優(yōu)化。

本文在平穩(wěn)隨機過程的譜表示基礎(chǔ)上，采用隨機函數(shù)的思想，將譜表達(dá)式中的標(biāo)準(zhǔn)正交隨機變量表示為基本隨機變量的正交函數(shù)形式，從而實現(xiàn)了用1～2個基本隨機變量即可描述原隨機過程的概率特性，而且可以直接由功率譜密度函數(shù)生成具有給定概率的非高斯平穩(wěn)過程和高斯平穩(wěn)過程的樣本函數(shù)。與文獻(xiàn)［10］和文獻(xiàn)［11］相比，本文方法所需隨機變量的數(shù)量更少(僅需1～2個基本隨機變量)，這將為復(fù)雜工程結(jié)構(gòu)的隨機動力反應(yīng)和動力可靠度的精細(xì)化分析提供重要基礎(chǔ)。

1 平穩(wěn)隨機過程的譜表示

對于任意一個一維、單變量、零均值、雙邊功率譜密度函數(shù)為SX(ω)的實平穩(wěn)隨機過程X(t)，存在兩個相互正交的實過程u(ω)和v(ω)，它們的增量d u(ω)和 d v(ω)相互正交，使下式成立［6］:

過程u(ω)和 v(ω)的增量 d u(ω)與 d v(ω)滿足如下的條件:

對式(1)進(jìn)行離散，可得:

式中ωk=kΔω，且Δω要足夠小，使得式(6)可以替代式(1)。

若增量 Δu(ωk)和 Δv(ωk)定義為［6］:

其中{Xk，Yk}為一組標(biāo)準(zhǔn)的正交隨機變量，即:

式中δij為Kronecker-delta符號。容易證明，式(7)～式(9)所定義的增量Δu(ωk)和Δv(ωk)能滿足式(2)～式(5)的條件。

于是，將式(7)和式(8)代入式(6)中，并取有限項作為對原隨機過程的近似表達(dá)，則實平穩(wěn)隨機過程模擬的第一類譜表示［6］:

當(dāng)隨機過程的功率譜密度函數(shù)SX(ω0)=SX(0)=0時，可將式(10)改寫為:

若進(jìn)一步假定{Xk，Yk}(k=1，2，…，N)為相互獨立的標(biāo)準(zhǔn)高斯隨機變量，則式(11)所表達(dá)的平穩(wěn)隨機過程為高斯過程。

此時，平穩(wěn)隨機過程的均方相對誤差:

式中截斷頻率ωu=NΔω。一般而言，εX(N)?1，對于地震動加速度過程，其值不宜超過0.05。

2 標(biāo)準(zhǔn)正交隨機變量的隨機函數(shù)表達(dá)

在上述實平穩(wěn)隨機過程模擬的第一類譜表示(即式(11))中，{Xk，Yk}(k=1，2，…，N)為一組標(biāo)準(zhǔn)正交隨機變量，它們滿足條件式(9)。下面來構(gòu)造標(biāo)準(zhǔn)正交隨機變量{Xk，Yk}的隨機函數(shù)形式。

首先，利用隨機函數(shù)的思想［12］，即假設(shè)任意的兩組標(biāo)準(zhǔn)正交隨機變量(n=1，2，…，N)分別是兩個相互獨立的基本隨機變量(隨機向量)Θ1和Θ2的函數(shù)，即分別是隨機函數(shù) gj(Θ1)和 hj(Θ2)。于是，式(9)可改寫為:

其中:pΘ1(θ1)和 pΘ2(θ2)分別是 Θ1和 Θ2的概率密度函數(shù)。

2.1 非高斯隨機變量的隨機函數(shù)構(gòu)造

容易驗證，下列4組隨機函數(shù)形式均能滿足式(13)～式(17):

下面，以第4類隨機函數(shù)的構(gòu)造形式來加以證明。事實上，有:

2.2 高斯隨機變量的隨機函數(shù)構(gòu)造

為了構(gòu)造一組相互獨立的標(biāo)準(zhǔn)高斯隨機變量，首先，構(gòu)造一組標(biāo)準(zhǔn)正交隨機變量 ξn(n=1，2，…，N)，若假定基本隨機變量Θ在區(qū)間［－π，π］或［0，2π］上服從均勻分布，則可構(gòu)造如下常用的三角正交函數(shù):ξn=fn(Θ)=sin(nΘ + α)，n=1，2，…，N (18)其中α為一確定性常數(shù)，通常可取α=0或α=π/4或α=π/2，此時 fn(x) =sin(nx)或 cas(nx)或cos(nx)。顯然，ξn(n=1，2，…，N)是一組標(biāo)準(zhǔn)的正交隨機變量。

在式(18)中，進(jìn)一步推導(dǎo)可知，ξn(n=1，2，…，N)具有相同的概率分布函數(shù)［13］:

由此可見，ξn(n=1，2，…，N)是服從同一分布的標(biāo)準(zhǔn)正交隨機向量。

為了獲得一組具有高斯分布的標(biāo)準(zhǔn)正交隨機變量ηn(n=1，2，…，N)，可采用等概率的反變換方法［14］:

其中Φ－1為Φ的反函數(shù)。將式(18)、式(19)代入式(21)中，得到

于是，即可獲得一組具有高斯分布的標(biāo)準(zhǔn)正交隨機變量ηn(n=1，2，…，N)。根據(jù)隨機變量的正交性(零均值情況)與獨立性等價可知，ηn(n=1，2，…，N)為一組相互獨立的標(biāo)準(zhǔn)高斯隨機變量。

為此，以上述第1組和第2組的隨機函數(shù)形式，即可構(gòu)造相應(yīng)的兩組相互獨立的標(biāo)準(zhǔn)高斯隨機變量:

最后，按Matlab程序自帶的rand('state'，0)，randperm(N)將。從而，所需的相互獨立的標(biāo)準(zhǔn)高斯隨機變量{Xk，Yk}(k=1，2，…，N)就能被唯一地確定。

3 平穩(wěn)地震動過程的實例分析

3.1 地震動過程的基本信息

考慮平穩(wěn)地震動加速度過程，其功率譜密度函數(shù)采用胡聿賢模型(單邊譜)［15］:

式中:ωg和ζg分別為場地土的卓越圓頻率和阻尼比，ωc為低頻截止頻率，其參數(shù)取值如表1所示。S0為基巖地震動加速度白噪聲功率譜密度，它反映地震動的強弱程度，也簡稱為譜強度因子。

表1 功率譜模型的參數(shù)取值［16］Tab.1 The values of parameters in the power spectrum model

根據(jù)隨機振動理論，譜強度因子S0可按下式計算:

對于不同的場地類別，參數(shù)a—max、f、ωe及S0的取值如表2所示。

表2 不同場地的譜強度因子取值Tab.2 Values of the spectral intensity factor for different site types

表2中地面加速度最大值的均值a—max是采用我國《建筑抗震設(shè)計規(guī)范》(GB 50011－2010)中給出的時程分析法所用地震加速度時程曲線的最大值。

3.2 分析與驗證

為檢驗第一類譜表示－隨機函數(shù)方法的有效性，以上述平穩(wěn)地震動加速度過程為例，其中地震動參數(shù)的取值 ωg=15.71 rad/s，ζg=0.72，ωc=2.108 rad/s，S0=107 cm2/s3。在平穩(wěn)地震動過程模擬的譜表示中，其參數(shù)取值 ωu=35 Hz=219.911 5 rad/s，Δω =0.122 17 rad/s，N=1 800，εX(N)=4.618%。為了獲得地震動加速度過程的樣本時程曲線，首先需要將基本隨機變量離散化，表3給出了1個和2個基本隨機變量的離散公式及離散點數(shù)s。然后根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正交隨機變量的隨機函數(shù)形式(這里以第1組隨機函數(shù)和第2組隨機函數(shù)為例)，獲得標(biāo)準(zhǔn)正交隨機變量的離散點集及相應(yīng)的賦得概率。最后，將標(biāo)準(zhǔn)正交隨機變量的離散點代入平穩(wěn)地震動過程的譜表達(dá)式(11)中，即可生成樣本時程曲線。在地震動加速度過程的樣本生成中，時間間隔Δt=0.01 s滿足 Δt≤π/ωu的條件，圖 1 給出了典型的平穩(wěn)地震動加速度過程的樣本時程曲線。

表3 基本隨機變量的離散點集Tab.3 The discrete point set of basic random variables

圖2和圖3分別給出了以第1組和第2組隨機函數(shù)表達(dá)的非高斯平穩(wěn)過程的二階數(shù)值統(tǒng)計量，其中圖(a)為樣本總體均值與目標(biāo)均值函數(shù)的比較，圖(b)為樣本總體功率譜密度與目標(biāo)功率譜密度函數(shù)的比較，從總體上看，它們之間的符合程度比較好。

圖4和圖5分別給出了以第1組和第2組隨機函數(shù)表達(dá)的高斯平穩(wěn)過程的二階數(shù)值統(tǒng)計量，其中圖(a)為樣本總體均值與目標(biāo)均值函數(shù)的比較，圖(b)為樣本總體功率譜密度與目標(biāo)功率譜密度函數(shù)的比較。與圖2和圖3相比，高斯平穩(wěn)過程的二階數(shù)值統(tǒng)計量與目標(biāo)統(tǒng)計量的符合程度要比非高斯平穩(wěn)過程的符合程度略差一點，這可能是隨機變量的高斯化變換過程中的高度非線性所致。

圖1 平穩(wěn)地震動加速度過程的樣本時程曲線Fig.1 Sample functions of stationary ground motion acceleration processes

圖2 以第1組隨機函數(shù)表達(dá)的非高斯平穩(wěn)過程(1個基本隨機變量，1006個離散點)Fig.2 Expressed non-Gaussian stationary process using random functions in the first group(a basic random variable，1 006 discrete points)

圖3 以第2組隨機函數(shù)表達(dá)的非高斯平穩(wěn)過程(2個基本隨機變量，987個離散點)Fig.3 Expressed non-Gaussian stationary process using random functions in the second group(two basic random variable，987 discrete points)

圖4 以第1組隨機函數(shù)表達(dá)的高斯平穩(wěn)過程(1個基本隨機變量，1 006個離散點)Fig.4 ExpressedGaussian stationary process using random functions in the first group(a basic random variable，1 006 discrete points)

圖5 以第2組隨機函數(shù)表達(dá)的高斯平穩(wěn)過程(2個基本隨機變量，987個離散點)Fig.5 Expressed Gaussian stationary process using random functions in the second group(two basic random variable，987 discrete points)

4 結(jié)論

工程隨機過程的合理描述與建模，是結(jié)構(gòu)隨機動力學(xué)分析的重要基礎(chǔ)。經(jīng)典的譜表示方法往往需要高達(dá)數(shù)百上千個隨機變量才能保證所需的精度，從而極大地增加了分析的難度和計算工作量。本文提出的隨機函數(shù)－譜表示方法，將譜表達(dá)式中的標(biāo)準(zhǔn)正交隨機變量表示為1～2個基本隨機變量的正交函數(shù)形式，從而實現(xiàn)了用基本隨機變量描述原隨機過程的概率特性。研究表明，用隨機三角函數(shù)表達(dá)標(biāo)準(zhǔn)正交隨機變量，不僅能構(gòu)造正交的非高斯隨機變量，也能構(gòu)造相互獨立的高斯隨機變量，從而可方便地由功率譜密度函數(shù)生成具有給定概率的非高斯平穩(wěn)過程和高斯平穩(wěn)過程的樣本函數(shù)。最后，以平穩(wěn)地震動加速度過程的功率譜密度函數(shù)為例，驗證了本文方法的有效性和優(yōu)越性。

［1］ Rice S O.Mathematical analysis of random noise［J］.Bell System Technical Journal，1944，23(3):282 － 332，and 1945，24(1):46 － 156.Reprinted in:N.Wax(Ed.)，Selected Papers on Noise and Stochastic Process，Dover Publications，Inc.，New York，1954:133 －294.

［2］Goto H，Toki K.Structural response to nonstationary random excitation［A］.Proc.4th WCEE，Santiago，Chile，1969.

［3］Borgman L E.Ocean wave simulation for engineering design［J］.Journal of the Waterways and Harbors Division，ASCE，1969，95(4):557－583.

［4］Shinozuka M.Simulation of multivariate and multidimensional random processes［J］.Journal of the Acoustical Society of America，1971，49(1):357－368.

［5］ Shinozuka M，Jan C M.Digital simulation of random processes and its applications［J］.Journal of Sound and Vibration，1972，25(1):111－128.

［6］Shinozuka M，Deodatis G.Simulation of stochastic processes by spectral representation［J］.Applied Mechanics Review，1991，44(4):191－204.

［7］Shinozuka M，Deodatis G.Simulation of multi－dimensional Gaussian stochastic fields by spectral representation ［J］.Applied Mechanics Review，1996，49(1):29－53.

［8］ Deodatis G.Simulation of ergodic multivariate stochastic processes［J］.Journal of Engineering Mechanics，1996，122(8):778－787.

［9］ Spanos P D，Zeldin B.A.Monte Carlo treatment of random fields:A broad perspective［J］.Applied Mechanics Review，1998，51(3):219－237.

［10］陳建兵，李 杰.隨機過程的隨機諧和函數(shù)表達(dá)［J］.力學(xué)學(xué)報，2011，43(3):505 －513.CHEN Jian-bing，LI Jie.Stochastic harmonic function and spectral representations［J］.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics，2011，43(3):505 －513.

［11］陳建兵，李 杰.譜表達(dá)方法的頻率取點優(yōu)選［J］.振動工程學(xué)報，2011，24(1):89－95.CHEN Jian-bing，LI Jie.Optimal selection of frequencies in the spectral representation method［J］.Journal of Vibration Engineering，2011，24(1):89－95.

［12］李 杰.隨機結(jié)構(gòu)系統(tǒng)——分析與建模［M］.北京:科學(xué)出版社，1996.

［13］湯保新，劉 平.隨機結(jié)構(gòu)的單源隨機向量表達(dá)［J］.揚州大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2011，14(4):64 －68.TANG Bao-xin，LIU Ping.Expression of stochastic structures with monophyletic random vector［J］.Journal of Yangzhou University(Natural Science Edition)，2011，14(4):64－68.

［14］劉章軍，陳建兵.結(jié)構(gòu)動力學(xué)［M］.北京:中國水利水電出版社，2012.

［15］胡聿賢，周錫元.彈性體系在平穩(wěn)和平穩(wěn)化地面運動下的反應(yīng)［A］.地震工程研究報告集第一集［C］.北京:科學(xué)出版社，1962:33－50.

［16］薛素鐸，王雪生，曹 資.基于新抗震規(guī)范的地震動隨機模型參數(shù)研究［J］.土木工程學(xué)報，2003，36(5):5－10.XUE Su-duo WANG Xue-sheng，CAO Zi.Parameters study on seismic random model based on the new seismic code［J］.China Civil Engineering Journal，2003，36(5):5 －10.

［17］ Li J，Chen J B.The number theoretical method in response analysis of nonlinear stochastic structures［J］.Computational Mechanics，2007，39(6):693 －708.