周建民，陳 碩，王曉鋒，趙 勇

（1.同濟大學 土木工程學院，上海 200092；2.中國建筑科學研究院，北京 100013）

2011年7月1日，由中國住建部頒布的混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計新規(guī)范《GB 50010—2010》開始施行，正式將500MPa高強鋼筋納入推廣范圍.然而，高強鋼筋的使用是否會導致正常使用階段混凝土梁的撓度和裂縫寬度過大，有待進一步論證.我國混凝土規(guī)范對鋼筋混凝土受彎構(gòu)件和預(yù)應(yīng)力鋼筋混凝土受彎構(gòu)件分別采用兩種不同的模式計算開裂后的剛度，與國際上通行的做法不符；國內(nèi)外關(guān)于剛度的規(guī)范公式大多計算復雜，不便于工程實際應(yīng)用.近年來，同濟大學及相關(guān)高校根據(jù)規(guī)范課題組的要求，對配置高強鋼筋的混凝土梁和預(yù)應(yīng)力混凝土梁進行了一系列試驗，提出了一種精度較高、便于工程應(yīng)用的高強鋼筋混凝土梁短期變形計算的簡化方法.

1 試驗

1.1 試驗概況

試驗采用的加載裝置見圖1.設(shè)計試件綜合考慮了以下因素的影響：混凝土強度等級、構(gòu)件長度、截面尺寸與形式、受拉鋼筋面積、混凝土保護層厚度以及預(yù)應(yīng)力效應(yīng)，具體數(shù)值見表1和表2.試件共分3組進行，各組試件的截面形式見圖2（其中，第1組為矩形截面，第二組為矩形、T形兩種截面，第三組為矩形截面）.前兩組均為高強鋼筋混凝土梁，反向加載，荷載的施加以純彎段的設(shè)計計算彎矩Mu為參照（相應(yīng)地，計算極限荷載為Pu），荷載級差為0.1Pu，每級荷載持荷10min，加載至0.9Pu時荷載級差改為0.05Pu直至破壞；第3組為配置高強鋼筋的預(yù)應(yīng)力混凝土梁，正向加載，試驗梁開裂前荷載級差為0.05Pu，每級荷載持荷30min，試驗梁開裂后，荷載級差增至0.1Pu.

圖1 試驗加載（正向）示意圖Fig.1 Positive loading setup

圖1中，L為梁的總長；L″為構(gòu)件邊緣至支座的距離，對于第1組取200mm，第2組與第3組取150 mm；L′為剪跨（該區(qū)段內(nèi)配置箍筋），對于第1，2組取（L－2L″）／4，即四分點段，對于第3組取1 200 mm（L＝4 500mm時）或1 650mm（L＝6 000mm時）；L－2L′－2L″為純彎段（該區(qū)段內(nèi)，第1，2組均不配置箍筋，第3組配置箍筋）.

圖2 構(gòu)件截面示意圖Fig.2 Cross section

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1.2 變形試驗結(jié)果與分析

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開始加載時，截面未開裂，試件表現(xiàn)為彈性變形，撓度近似為線性增長；當荷載增至（0.2～0.3）Pu時，純彎段梁底出現(xiàn)一條或多條裂縫，開裂彎矩試驗值與規(guī)范計算值符合較好，開裂時應(yīng)變與撓度均發(fā)生突變，表現(xiàn)為荷載－撓度曲線出現(xiàn)明顯轉(zhuǎn)折點，隨后變形恢復線性增長，且增長幅度大于第一階段；隨著荷載進一步增加，純彎段裂縫逐漸增多，寬度逐漸加大，開始出現(xiàn)斜裂縫，當荷載增至約（0.4～0.5）Pu（對于預(yù)應(yīng)力梁為0.6Pu）時，裂縫基本出齊，荷載－撓度曲線基本保持為直線；當荷載接近Pu時，混凝土梁中的鋼筋與預(yù)應(yīng)力梁中的非預(yù)應(yīng)力筋均進入流塑狀態(tài)（預(yù)應(yīng)力梁中的鋼絞線仍處于彈性狀態(tài)），荷載－撓度曲線發(fā)生第二次明顯轉(zhuǎn)折，荷載和撓度均進一步增長直至梁頂混凝土被壓碎而破壞.全過程彎矩－跨中撓度曲線基本呈三折線形狀，兩個轉(zhuǎn)折點分別對應(yīng)混凝土開裂和高強鋼筋受拉屈服的狀態(tài).根據(jù)試驗，混凝土梁與預(yù)應(yīng)力梁跨中混凝土應(yīng)變基本服從平截面假定，試驗梁臨近破壞時，受拉鋼筋能夠達到屈服，故現(xiàn)行混凝土規(guī)范中規(guī)定的鋼筋混凝土受彎構(gòu)件正截面承載力計算公式仍然適用.

各試件的彎矩－撓度曲線如圖3所示（圖中，荷載采用相對值，即加載彎矩與極限彎矩之比M／Mu；f為跨中撓度）.可以看出，隨著荷載的增加，同一構(gòu)件的變形迅速增長；截面尺寸相同的試驗梁B5F1與B5F2，開裂后其彎矩－撓度曲線出現(xiàn)明顯差異，主要原因是配筋率的不同影響著截面有效受壓區(qū)高度，從而對開裂后的剛度產(chǎn)生影響；配筋率相同的梁CB5-2與CB5-4由于截面尺寸不同（進而初始剛度不同），其彎矩－撓度曲線也不相同；另外，與普通鋼筋混凝土梁 CB-1與 CB-2［1］相比，高強鋼筋混凝土梁的極限位移與屈服位移之比沒有明顯降低，但是高強鋼筋的配置大大提高了試驗梁的極限位移，表現(xiàn)出較為優(yōu)越的變形性能.由以上分析可知，荷載、配筋率與初始剛度是影響高強鋼筋混凝土梁短期變形增長的3個基本因素.

2 短期變形計算方法

圖3 各試驗構(gòu)件M-f曲線匯總Fig.3 Relationship between loading moment and the observed deflection

最小剛度法大致分為三類：解析剛度法（GB 50010—2010）、有效慣性矩法（ACI 318—08）和雙直線法（JTG D62—2004，EN 1992-1-1：2004）.現(xiàn)行各混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范在短期抗彎剛度計算上主要考慮了兩方面因素，外部因素為荷載，其變量為Mcr／Mk，其中Mcr，Mk分別為開裂彎矩與使用彎矩；內(nèi)部因素在開裂前為彈性剛度B0，開裂后為配筋率ρ，這與本文試驗得到的結(jié)論類似.以下利用B0，ρ，Mcr／Mk推導出混凝土梁與預(yù)應(yīng)力混凝土梁短期抗彎剛度計算的統(tǒng)一公式，并利用試驗數(shù)據(jù)加以驗證.

3 統(tǒng)一剛度計算公式的建立

根據(jù)試驗結(jié)果，破壞前混凝土梁純彎段的彎矩M與曲率φ變化關(guān)系可以簡化為三個階段，見圖4.第一階段，作用彎矩小于開裂彎矩，M-φ呈線性關(guān)系；構(gòu)件開裂后，進入第二階段，M-φ呈近似線性關(guān)系，傾斜度小于第一階段，當配筋率不大時，在該階段開始點處會出現(xiàn)類似“屈服”的平臺；當作用彎矩大于使縱向受拉鋼筋屈服的彎矩時，進入第三階段，M－φ曲線傾斜度繼續(xù)減小，甚至幾乎呈水平狀態(tài).

開裂后截面短期平均曲率φs可以表示為

式中：φ0開裂前彈性截面曲率；Δφ為曲率增量.

圖4 鋼筋屈服前典型彎矩－曲率關(guān)系示意圖Fig.4 Relationship between moment and curvature before the yielding of the steel

曲率增量Δφ與φcr－φ0近似成正比（φcr為完全開裂截面曲率），并且同M-φ曲線形式有關(guān).當假定構(gòu)件完全開裂（φ→∞）時，圖4中的M-φ曲線將與傾斜的漸近線相交，即Δφ＝φcr－φ0；在一般情況下，Δφ＜φcr－φ0，即Δφ＝ζ（φcr－φ0）（ζ為小于1的折減系數(shù)）.試驗研究表明，ζ隨Mcr／Mk減小而增大，即正常使用彎矩Mk越大，Δφ越大，構(gòu)件越接近完全開裂的情況；另外，ζ還與配筋率ρ和鋼筋與混凝土彈性模量之比（αE＝Es／Ec）的乘積αEρ有關(guān)，即比例因子ζ是的函數(shù)的具體函數(shù)形式可以通過試驗結(jié)果統(tǒng)計分析得到.則開裂后的短期平均曲率表示為

式（2）表明，開裂后截面平均曲率是完全開裂截面曲率φcr與開裂前的彈性截面曲率φ0的加權(quán)平均，權(quán)數(shù)分別為ζ，1－ζ.根據(jù)曲率與截面剛度的關(guān)系，式（2）可以寫成如下形式：

式（4）表明，等效抗彎剛度Bs為B0，Bcr，Mcr／Mk，αEρ的函數(shù).由于開裂截面的剛度Bcr主要與B0，αEρ相關(guān)，故實際上Bs只與3個獨立變量有關(guān)，即Bs＝B（B0，αEρ，Mcr／Mk）或Bs＝B（B0，Bcr，Mcr／Mk）.Bs的具體函數(shù)形式可以通過試驗結(jié)果統(tǒng)計分析得到，或者假定彎矩與曲率為某一個簡單函數(shù)，對其中參數(shù)進行統(tǒng)計分析得到.文獻［2］根據(jù)彎矩與曲率關(guān)系提出的短期剛度近似統(tǒng)一計算式為

本文對式（5）中的參數(shù)n進行試算，獲得有效剛度的試驗值與計算值之比（Bs，t／Bs，c），其均值μ與變異系數(shù)δ分別與參數(shù)n的關(guān)系如圖5所示.

圖5 Bs，t／Bs，c的數(shù)值特征與參數(shù) n 的關(guān)系Fig.5 Relationship of Bs，t／Bs，cwith the parameter n

從圖5可見，當n≥3時，均值趨近于1，且變異系數(shù)差別不大.根據(jù)Branson［3］的檢驗結(jié)果，指數(shù)取4或者3的相對誤差最大為3%，即計算結(jié)果對指數(shù)取3或者4并不特別敏感.為簡化計算，這里取n＝3.此時，均值為0.975，變異系數(shù)為0.172，即各數(shù)值特征都較理想.于是，式（5）變?yōu)?/p>

式（6）即為美國ACI 318—08規(guī)范采用的剛度計算公式.對式（6）變換，得

式（7）中Bcr的計算較復雜，其影響因素主要與初始剛度B0和配筋率ρ有關(guān).考慮到鋼筋與混凝土彈性模量之比為常數(shù)（αE＝Es／Ec），同時為了反映配筋率ρ的影響，這里采用相對剛度形式，即ΔB／B0＝（B0－Bcr）／B0應(yīng)為αEρ的函數(shù).

式（7）也可以寫成如下形式：

為了得到ΔB／B0與αEρ的數(shù)值關(guān)系，需要確定兩個基本參量：Bs／B0與Mcr／Mk.Bs可通過試驗得到，但是鑒于試驗成本較高，試驗數(shù)據(jù)有限，也可以用被證實的、具有較高精度的計算公式產(chǎn)生的剛度模擬值來代替.文獻［4］建立了滑移、裂縫寬度、剛度相統(tǒng)一的計算公式

式中：β1為截面形狀相關(guān)系數(shù)為受拉區(qū)鋼筋平均彈性模量，，對鋼筋混凝土梁取分別為普通縱向受拉鋼筋、預(yù)應(yīng)力筋的彈性模量；As與Ap分別為普通縱向受拉鋼筋、預(yù)應(yīng)力筋的面積；h0為混凝土受壓區(qū)高度；λ0為預(yù)應(yīng)力度，λ0＝M0／Mk，M0為消壓彎矩；ρ＝（As＋Ap）／bh0；ρet＝（As＋Ap）／0.5bh；系數(shù)β與鋼筋應(yīng)力、受力形式有關(guān)，反映了受拉區(qū)混凝土參與工作的程度，0≤β≤0.5；ft為混凝土抗拉強度.公式（9）具有通用性，計算精度高，但計算較為復雜，為此本文按式（8）的模式對該式進一步簡化.

考慮到λ0＝M0／Mk＝（Mcr－γftkW0）／Mk＝Mcr／Mk－γftkW0／Mk（γ為截面抵抗矩塑性影響系數(shù)，ftk為混凝土抗拉強度，W0為截面受拉邊緣彈性抵抗矩），而γftkW0／Mk相當于無預(yù)應(yīng)力混凝土時的Mcr／Mk，由于預(yù)應(yīng)力的影響，該項占預(yù)應(yīng)力混凝土梁中Mcr／Mk的比例較小.同濟大學已有的試驗梁計算結(jié)果表明，γftkW0／Mk約為0.11～0.17，取γftkW0／Mk≈0.15，則λ0＝Mcr／Mk－0.15.同時，為簡化計算，系數(shù)β取為0.25.

公式（9）表明，Bs為配筋率ρ的函數(shù)（當Mcr／Mk確定后ftbh20／Mk為常數(shù)），實際上由ACI規(guī)范也有相同結(jié)論.故通過對Mcr／Mk賦值，利用式（9）可以得到ΔB／B0與αEρ的確定關(guān)系.對于配置高強鋼筋的混凝土梁，經(jīng)濟配筋率ρ一般在0.6%～1.5%之間.取正常使用彎矩Mk≈（0.60～0.80）Mu，則混凝土梁Mcr／Mk≈0.12～0.50（相應(yīng)地，Mcr／Mu≈0.1～0.3）；預(yù)應(yīng)力混凝土梁取Mcr／Mk≈0.25～0.65（相應(yīng)地，Mcr／Mu≈0.20～0.40）.計算結(jié)果見圖6與圖7.

圖6 高強鋼筋混凝土梁ΔB／B0－αEρ曲線Fig.6 ΔB／B0－αEρcurve of RC beam with high strength steel bars

從圖6與圖7可以看出，ΔB／B0與αEρ基本呈線性關(guān)系；預(yù)應(yīng)力梁與普通高強鋼筋混凝土梁的擬合結(jié)果差別不大.現(xiàn)對兩種情況下的均值擬合公式再進行一次平均運算，并微調(diào)取整后得到以下公式：

圖7 高強鋼筋預(yù)應(yīng)力混凝土梁ΔB／B0－αEρ曲線Fig.7 ΔB／B0－αEρcurve of PRC beam with high strength steel bars

將式（10）代入式（8），即得到高強鋼筋混凝土梁短期抗彎剛度統(tǒng)一計算模式

4 計算公式的驗證

為了驗證式（11），除本文試驗數(shù)據(jù)以外，還收集整理了國內(nèi)其他高校相關(guān)試驗結(jié)果［1，5－18］.表3為試驗撓度 與 計 算 撓 度 之 比 （fs，t／fs，c）的 統(tǒng) 計 結(jié) 果，其中，μ為均值，δ為變異系數(shù).為了比較，本文也給出了由 GB 50010—2010，ACI 318—08，JTG D62—2004，EN 1992-1-1：2004等規(guī)范公式以及式（9）得到的計算結(jié)果.

表3 各公式（fs，t／fs，c）計算精度對比Tab.3 Comparison of calculation results（fs，t／fs，c）

從表3可以看出，根據(jù)國內(nèi)公路橋涵規(guī)范和歐洲規(guī)范計算得到的撓度對于普通混凝土梁和預(yù)應(yīng)力混凝土梁都明顯偏大，按中國GB 50010—2010規(guī)范、美國ACI 318—08規(guī)范、文獻［4］和式（11）計算出的結(jié)果與試驗值比較接近，表明現(xiàn)行新規(guī)范適用于高強鋼筋混凝土部分.無論是美國ACI 318—08規(guī)范公式，還是文獻［4］提出的公式其計算都比較復雜，物理概念不夠直觀.本文建議公式對預(yù)應(yīng)力混凝土梁和鋼筋混凝土梁采用統(tǒng)一的表達式，不僅計算精度較高，而且形式簡單，其物理概念也十分明確，反映了影響剛度的主要因素.

5 結(jié)論

（1）對配置500MPa鋼筋的混凝土梁與預(yù)應(yīng)力混凝土梁的試驗結(jié)果表明，混凝土梁的撓度主要與荷載、配筋率、初始剛度有關(guān)；同時，新規(guī)范 GB 50010—2010對配置高強鋼筋的混凝土梁在短期撓度計算上是適用的.

（2）基于混凝土梁抗彎剛度與裂縫寬度計算的統(tǒng)一模式，推導出鋼筋混凝土梁短期變形計算的簡化建議式.

（3）將建議公式與國內(nèi)外規(guī)范在變形計算上的精度進行對比，結(jié)果表明，建議公式不僅適用于高強鋼筋混凝土梁，也適用于預(yù)應(yīng)力混凝土梁，而且計算精度高，形式簡單，物理含義明確，工程應(yīng)用性強.

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