潘國榮，李懷鋒，王穗輝

（同濟大學(xué) 測繪與地理信息學(xué)院，上海 200092）

在地鐵隧道盾構(gòu)引導(dǎo)測量中，通常是根據(jù)全站儀獲取盾構(gòu)上的特征點的坐標(biāo)來計算盾構(gòu)的姿態(tài)，及時獲取盾構(gòu)機的姿態(tài)對于指導(dǎo)施工非常重要.文獻(xiàn)［1］中介紹了目前我國應(yīng)用廣泛的前后標(biāo)尺人工測量法.前后標(biāo)尺法根據(jù)相似三角形原理，通過前尺、后尺坐標(biāo)推求盾首、盾尾的平面坐標(biāo)；但在曲線段，由于設(shè)計軸線與相似三角形輔助線不重合從而會產(chǎn)生一定的計算誤差.文獻(xiàn)［2-3］通過解方程組求解盾首、盾尾的三維坐標(biāo)，其實質(zhì)為點與點、點與平面間的距離公式.該解法數(shù)學(xué)模型簡單，但只能從多個固定參考點中選取3個，沒有多余觀測，不能作有效的檢核.文獻(xiàn)［4-5］采用的是通過測量盾構(gòu)機上至少3個固定坐標(biāo)點，然后進(jìn)行三維直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，求出盾構(gòu)機軸線局部坐標(biāo)系與實際三維空間坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換參數(shù)，再利用轉(zhuǎn)換參數(shù)求出盾首中心和盾尾中心點的實際坐標(biāo)，來計算盾構(gòu)機的姿態(tài)偏差.該方法需要在盾構(gòu)機上設(shè)定3個固定參考點，并且每次測量過程中必須全部測出3個固定參考點.由于地下施工條件比較惡劣，空間狹小，通常情況全站儀只能測到3個固定參考點中的2個，難以同時測到分布在盾構(gòu)機上的3個固定參考點的坐標(biāo)，這樣就使得以上方法難以適應(yīng)地下隧道的各種工況，因而就需要尋求采用其他手段獲得數(shù)據(jù)來補充或彌補由于坐標(biāo)點不夠而難以確定盾構(gòu)姿態(tài)的方法.

本文研究利用自動全站儀測定2個或以上控制點坐標(biāo)數(shù)據(jù)與從固定在盾構(gòu)機上的雙軸電子傾斜儀讀取的俯仰角和扭轉(zhuǎn)角數(shù)據(jù)進(jìn)行聯(lián)合數(shù)據(jù)處理的方法，來解決自動確定盾構(gòu)姿態(tài)的問題.采用未簡化的7參數(shù)模型并將雙軸電子傾斜儀的數(shù)據(jù)作為限制條件，按照最小二乘準(zhǔn)則求解坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)，確保了解算參數(shù)的準(zhǔn)確.該模型已完成上海地鐵12號線申江路至金海路、申江路至金京路區(qū)間隧道及杭州地鐵1號線喬司北至臨平高鐵區(qū)間隧道的施工自動引導(dǎo).實踐證明，本文提出的基于全站儀和傾斜儀的盾構(gòu)姿態(tài)自動測量及多源數(shù)據(jù)聯(lián)合處理方法是可靠的.

1 關(guān)于三維直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)模型

地鐵施工中為了及時獲取盾構(gòu)機的姿態(tài)信息，需在盾構(gòu)機上布設(shè)3個控制點，并事先測定這3個控制點與盾首、盾尾之間的相對關(guān)系，這種相對關(guān)系采用坐標(biāo)表示，即稱為標(biāo)定坐標(biāo).工程實際施工定位的坐標(biāo)系簡稱工程坐標(biāo)系.通過控制點在標(biāo)定坐標(biāo)系和工程坐標(biāo)系下的坐標(biāo)以及雙軸電子傾斜儀讀取的俯仰角和扭轉(zhuǎn)角建立三維直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的關(guān)系.這里所定義的俯仰角是指盾首、盾尾連線相對于水平視線的上仰角或下俯角，扭轉(zhuǎn)角是指盾構(gòu)機繞盾首、盾尾連線的滾動角，這兩個角度都是相對量，與坐標(biāo)系無關(guān).由于三維直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的布爾沙模型只適用于小角度的轉(zhuǎn)換，而本文需要任意角度的轉(zhuǎn)換，因此采用如下的未簡化的7參數(shù)模型.

設(shè)點P在工程坐標(biāo)系O-XYZ中的坐標(biāo)為（X，Y，Z），在標(biāo)定坐標(biāo)系o-xyz中的坐標(biāo)為（x，y，z），兩個坐標(biāo)系的關(guān)系如圖1所示.兩個坐標(biāo)系間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式［6－8］為

圖1 兩個坐標(biāo)系的關(guān)系圖Fig.1 Sketch of two coordinate systems

由于隧道地下觀測條件穩(wěn)定，一般情況下不考慮尺度的變形，故可認(rèn)為k為1不變，此時坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型就為6參數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換.為6個坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)進(jìn)行初始賦值，利用泰勒公式線性化后，該點的誤差方程為

列出N個控制點的誤差方程后，組成誤差方程式如下，其權(quán)為W1.

2 關(guān)于俯仰角和扭轉(zhuǎn)角的數(shù)學(xué)模型

若此時盾構(gòu)機俯仰角為θ1，盾首中心與盾尾中心的恒定距離s1不隨坐標(biāo)轉(zhuǎn)換而變化，推出誤差函數(shù)式為

圖2 扭轉(zhuǎn)角示意圖Fig.2 Sketch of scroll hint

結(jié)合式（5）和式（6），將其線性化，得出下面的誤差函數(shù)式，其權(quán)為W2.

3 定權(quán)與聯(lián)合平差

因為雙軸電子傾斜儀讀出來的俯仰角與扭轉(zhuǎn)角數(shù)據(jù)也有一定的精度，并不能將其簡單地作為限制條件，需根據(jù)全站儀測點精度與雙軸電子傾斜儀標(biāo)定精度來定權(quán)陣.設(shè)單位權(quán)中誤差為δ0，各坐標(biāo)分量誤差分別為δx，δy，δz，則各坐標(biāo)分量作為觀測值的權(quán)分別為.俯仰角與扭轉(zhuǎn)角觀測值的權(quán)為：

將誤差方程聯(lián)立，利用間接平差模型，采用聯(lián)合平差，得改正數(shù)的最小二乘解為

求出6個坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)的改正數(shù)，根據(jù)改正數(shù)大小判斷其是否收斂，若不收斂則進(jìn)行迭代計算直至收斂，最后確定該6個坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù).

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型的精度對數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換結(jié)果的精度起決定性影響，本文采用的計算公式為

式中：Δxi，Δyi，Δzi為實際三維坐標(biāo)系的公共點實測坐標(biāo)與求得坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)后轉(zhuǎn)換的公共點在實際三維坐標(biāo)系的坐標(biāo)之間的差值；N為公共點的點數(shù).σm的值越大，轉(zhuǎn)換模型的精度越低；反之，轉(zhuǎn)換模型的精度越高.

4 工程算例

以上海地鐵12號線申江路至金海路上行線工程區(qū)間的實測數(shù)據(jù)為例，始發(fā)井盾構(gòu)拼裝完畢后，在盾構(gòu)機上適當(dāng)位置焊接P1，P2，P33個棱鏡，并測量3個棱鏡及盾首、盾尾中心共5個點在標(biāo)定坐標(biāo)系下的三維坐標(biāo)（表1）.盾構(gòu)機推進(jìn)后，使用全站儀實時測出3個棱鏡在工程坐標(biāo)系的坐標(biāo)，同時從雙軸電子傾斜儀讀取角度數(shù)據(jù)，實時測定盾構(gòu)首、尾中心三維坐標(biāo)并計算盾構(gòu)姿態(tài)偏差.下面采用3個棱鏡在不同里程位置下的兩組坐標(biāo)（表2）分析盾構(gòu)姿態(tài)定位情況.

表1 3個棱鏡與盾構(gòu)首、尾中心初始標(biāo)定數(shù)據(jù)Tab.1 Initial calibration coordinates of three prisms and shield head and tail

表2 3個棱鏡在工程坐標(biāo)系下的兩組坐標(biāo)Tab.2 Two groups of 3Dcoordinates of prism in engineering coordinate systems

采用VC＋＋編寫程序，將表2中的數(shù)據(jù)采用5種不同組合，即：3個棱鏡情形、3個棱鏡結(jié)合角度情形、兩棱鏡P1，P2結(jié)合角度情形、2個棱鏡P2，P3結(jié)合角度情形、2個棱鏡P1，P3結(jié)合角度情形來分別確定盾構(gòu)首尾的坐標(biāo)；將5種情形分別代入程序進(jìn)行計算，并將結(jié)果列入表中作比較.后3種組合為2個棱鏡結(jié)合雙軸電子傾斜儀數(shù)據(jù)模式，進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換后，得出工程坐標(biāo)系下的盾構(gòu)首尾中心坐標(biāo)，具體數(shù)據(jù)見表3與表4.

表3 5種組合計算得出的盾首中心與盾尾中心坐標(biāo)（第一組）Tab.3 Coordinates of head and tail by five combinations（first group）

表4 5種組合計算得出的盾首中心與盾尾中心坐標(biāo)（第二組）Tab.4 Coordinates of head and tail by five combinations（second group）

5 結(jié)論

根據(jù)文章所述的方法，筆者采用VC＋＋語言實現(xiàn)了算法程序與系統(tǒng)研制.經(jīng)過在上海地鐵12號線及杭州1號線地鐵工程的實際應(yīng)用，得出如下結(jié)論：

（1）根據(jù)表2兩組觀測數(shù)據(jù)的計算表明，由5種組合計算出來的盾構(gòu)首、尾中心坐標(biāo)數(shù)據(jù)相差不大，偏差都在毫米級，5種結(jié)果數(shù)據(jù)中相差最大的一個點位偏差為10mm，該精度足以滿足盾構(gòu)姿態(tài)的測量精度要求.

（2）使用3個棱鏡坐標(biāo)數(shù)據(jù)結(jié)合俯仰角和扭轉(zhuǎn)角計算的盾構(gòu)首、尾中心的點位中誤差最??；2個棱鏡坐標(biāo)數(shù)據(jù)結(jié)合俯仰角和扭轉(zhuǎn)角計算過程的點位中誤差最大，但是由于相對誤差相差不超過1cm，故認(rèn)為精度相當(dāng).

（3）本文方法可以在全站儀最不利（即只測到2個坐標(biāo)點）的情況下，通過利用雙軸電子傾斜儀數(shù)據(jù)聯(lián)合處理確定盾構(gòu)的姿態(tài)；在全站儀測到3個坐標(biāo)點的情況下，通過雙軸傾斜儀的數(shù)據(jù)聯(lián)合處理，可以提高盾構(gòu)姿態(tài)的解算精度.

［1］ 高俊強，王維.基于前后標(biāo)尺法的盾構(gòu)姿態(tài)測量及精度研究［J］.工程勘察，2010（1）：70.

GAO Junqiang， WANG Wei. Research on shield attitude determination and accuracy based on pre and post scale method［J］.Geotechnical Investigation ＆Surveying，2010（1）：70.

［2］ 唐爭氣，趙俊三，彭國新.盾構(gòu)機實時姿態(tài)測量和計算方法的研究［J］.土木工程學(xué)報，2007，40（11）：92.

TANG Zhengqi，ZHAO Junsan，PENG Guoxi.Measurement and calculation method for real-time attitude of tunnel boring machine［J］.Chine Civil Engineering Journal，2007，40（11）：92.

［3］ 馮冬健，潘慶林，張鳳梅.地鐵盾構(gòu)施工中盾構(gòu)機姿態(tài)定位測量的研究［J］.工程勘察，2003（5）：57.

FENG Dongjian，PAN Qinglin，ZHANG Fengmei.Research on shield attitude determination in subway construction ［J］.Geotechnical Investigation ＆Surveying，2003（5）：57.

［4］ 潘國榮，周瑩，張德海.坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型在盾構(gòu)姿態(tài)計算中的應(yīng)用［J］.大地測量與地球動力學(xué)，2006，26（3）：84.

PAN Guorong， ZHOU Ying， ZHANG Dehai. 3D datum transformation model for determining orientation of shield in subway construction ［J］.Journal Geodesy and Geodynamics，2006，26（3）：84.

［5］ 潘國榮，王穗輝，陳傳林，等.盾構(gòu)姿態(tài)自動測量系統(tǒng)的開發(fā)與應(yīng)用［J］.同濟大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2010，38（3）：459.

PAN Guorong， WANG Suihui， CHEN Chuanlin，et al.Development and application of automatic surveying system in shield tunneling［J］.Journal of Tongji University：Natural Science，2010，38（3）：459.

［6］ 潘國榮，李懷鋒.基于空間向量的空間圓形擬合檢測新方法［J］.大地測量與地球動力學(xué)，2010，30（4）：106.

PAN Guorong，LI Huaifeng.A new test method based on space vector in 3D circle fitting ［J］.Journal Geodesy and Geodynamics，2010，30（4）：106.

［7］ 陳義，沈云中，劉大杰.適用于大旋轉(zhuǎn)角的三維基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換的一種簡便模型［J］.武漢大學(xué)學(xué)報：信息科學(xué)版，2004，12（29）：1101.

CHEN Yi，SHEN Yunzhong，LIU Dajie.A simplified model of three dimensional-datum transforma tion adapted to big rotation angle［J］.Geomatics and Information Science of Wuhan University，2004，12（29）：1101.

［8］ 王敬庚.空間解析幾何［M ］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2004.

WANG Jinggeng.Analytic geometry ［M］.Beijing：Beijing Normal University Press，2004.