彭崇梅，張啟偉，李元兵

（1.同濟(jì)大學(xué) 土木工程防災(zāi)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200092；2.同濟(jì)大學(xué) 橋梁工程系，上海 200092）

橋梁工程中，拉索或吊桿應(yīng)用廣泛，由于施工或使用過(guò)程中的磨損、老化、腐蝕、斷絲等原因，相當(dāng)一部分拉索或吊桿在成橋后不久便出現(xiàn)嚴(yán)重?fù)p傷，甚至導(dǎo)致橋梁坍塌.高強(qiáng)鋼絲或鋼絞線斷絲是拉索損傷的重要形式之一，斷絲后索體內(nèi)各鋼絲會(huì)發(fā)生內(nèi)力重分布，不僅降低鋼絲索承載力，而且在腐蝕及車(chē)輛、溫度等外荷載作用下，截面內(nèi)其他鋼絲進(jìn)一步斷裂，直至拉索（吊桿）喪失承載力.研究表明，斷絲和接觸變形是引起拉索截面鋼絲內(nèi)力重分布的主要影響因素.

目前，半平行鋼絲索是橋梁工程中拉索的主要應(yīng)用形式，而這方面的研究主要為基于平行直鋼絲假定的并聯(lián)模型或鋼絞線模型.針對(duì)半平行鋼絲索特殊的構(gòu)造，其適用性應(yīng)作進(jìn)一步探討，且這些模型不能同時(shí)考慮接觸變形和斷絲的影響.接觸變形的影響方面，Raoof和 Hobbs［1］在其半連續(xù)模型中考慮了接觸應(yīng)力對(duì)變形的影響；LeClair［2］的研究表明，對(duì)于給定的鋼絞線應(yīng)變，鋼絲間的接觸變形減少了單位長(zhǎng)度上鋼絲間的平衡接觸力和鋼絲拉力；Nawrocki［3］等通過(guò)建立不同股和絲的有限元模型，分析了鋼絲的接觸應(yīng)力和彈性變形；Jiang［4－5］等通過(guò)考慮鋼絲間局部接觸、摩擦、塑性變形，建立了軸向荷載作用下的有限元模型；Seyed等［6］建立了考慮徑向接觸的簡(jiǎn)單直鋼絞線有限元模型，并與相關(guān)文獻(xiàn)中的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了對(duì)比.以上研究對(duì)象均是完好鋼絞線（鋼絲繩）.斷絲模型的研究方面，Cappa［7］通過(guò)測(cè)試外層單根斷絲的7絲鋼絞線，研究了斷絲后鋼絞線中鋼絲拉力分布規(guī)律；Chein和Costello［8］，MacDougall［9］從不同角度研究了7絲鋼絞線斷絲后的鋼絲拉力分布和斷絲影響長(zhǎng)度；Raoof［10］基于半連續(xù)模型，研究了外層單根鋼絲斷裂后，鋼絞線（鋼絲繩）中鋼絲拉力分布規(guī)律和斷絲影響長(zhǎng)度；李元兵［11］在 MacDougall［9］的基礎(chǔ)上，應(yīng)用有限元方法研究了斷絲后鋼絞線吊桿截面內(nèi)鋼絲內(nèi)力分布及護(hù)套握裹力、鋼絲間摩擦系數(shù)等對(duì)吊桿內(nèi)鋼絲拉力分布的影響.

綜上所述，已有研究對(duì)象主要為鋼絞線（鋼絲繩），未同時(shí)考慮斷絲和接觸變形的影響，且用以描述鋼絲間接觸、摩擦和滑移的物理量也很難通過(guò)試驗(yàn)方法獲得，從而難以準(zhǔn)確描述多層半平行鋼絲索的受力行為.本文基于Love［12］曲桿理論，忽略鋼絲彎矩、扭矩和剪力，考慮泊松效應(yīng)、接觸變形以及鋼絲間的接觸力和摩擦力的影響，推導(dǎo)了靜力拉伸荷載作用下多層半平行鋼絲索的對(duì)稱斷絲模型，并通過(guò)數(shù)值計(jì)算重點(diǎn)討論了拉索截面鋼絲拉力分布規(guī)律、鋼絲拉力增長(zhǎng)系數(shù)和拉索軸向剛度及其影響因素.

1 模型推導(dǎo)及求解

1.1 對(duì)稱斷絲模型

基于半平行鋼絲索的對(duì)稱斷絲模型，是將多層半平行拉索按鋼絲螺旋半徑進(jìn)行分層，以單根鋼絲為曲桿，忽略鋼絲彎矩、扭矩和剪力，考慮泊松效應(yīng)和鋼絲間的接觸、摩擦，基于Love［12］曲桿理論推導(dǎo)而得，但該模型未考慮鋼絲間的接觸變形，鋼絲間的拉力分布差異難以體現(xiàn).本文在該模型［13］的基礎(chǔ)上，考慮了鋼絲間接觸變形的影響，對(duì)模型進(jìn)行了進(jìn)一步的修正，主要推導(dǎo)方程如下：

式（1），（2）中：δri為螺旋半徑的變分，ri為第i根鋼絲螺旋半徑；R1為中心鋼絲半徑；νj為第j根鋼絲泊松比；λj為應(yīng)變系數(shù)；ε（s）為中心鋼絲軸向應(yīng)變；ξi（s）為外層未斷鋼絲的軸向應(yīng)變；α為外層鋼絲螺旋角.

式中：Tb（s）表示斷絲拉力；ib為斷絲所在鋼絲層；kb為斷絲所在鋼絲環(huán)；Xms，i表示第i層斷絲徑向接觸力；ΔXms，k為第k＋1環(huán)鋼絲作用于第k環(huán)鋼絲的接觸力.

式中：Fu（s）為未斷鋼絲總拉力；E為鋼絲彈性模量；Ac為中心鋼絲面積；A0為外層鋼絲面積；mi為第i層鋼絲數(shù)目；λi表示螺旋鋼絲應(yīng)變系數(shù)；nb為斷絲數(shù)目；Ku為未斷鋼絲總拉力系數(shù).

式中：Tu，i（s）為未斷鋼絲拉力；Fb為斷絲拉索總軸向力.

式中：ηi和φkb－1為權(quán)系數(shù)，與kb有關(guān).

式（8），（9）中：λΔX，k和λP，k分別為 ΔXms，k和Pms，k提取公因式（Fb－nbTib（s）sinα）后的系數(shù)；μ為內(nèi)部鋼絲間摩擦系數(shù).

影響長(zhǎng)度La為

當(dāng)La＞L（拉索長(zhǎng)度），索力剩余系數(shù)γ為

式中：F為完好拉索總軸向力；Γ的表達(dá)式參考文獻(xiàn)［13］.

當(dāng)La＜L，索力剩余系數(shù)γ為

為研究接觸變形對(duì)對(duì)稱斷絲模型鋼絲拉力分布的影響，考慮泊松效應(yīng)和徑向接觸變形的影響，則螺旋半徑的變分式（1）可表示為

［14］，兩根相互線接觸的平行圓桿之間的接觸變形為

式（13），（14）中：Δdiag，j為第j環(huán)對(duì)角線鋼絲與第j－1環(huán)對(duì)角線鋼絲間的接觸變形系數(shù)；Δc，i表示第i層鋼絲的接觸變形；Δi表示第i層鋼絲的接觸變形系數(shù)；R為外層鋼絲半徑.

由式（13），（14）可以看出，接觸變形與鋼絲間的接觸力有關(guān)，而接觸力又與斷絲拉力Tb（s）有關(guān)，故螺旋半徑的變分應(yīng)是斷絲拉力的函數(shù)，式（9）中各項(xiàng)系數(shù)亦是斷絲軸向拉力的函數(shù)，且式（3）無(wú)法直接求出解析解，如此，將大大加大求解難度.為簡(jiǎn)化求解過(guò)程，同時(shí)又能定性地討論接觸變形對(duì)斷絲模型預(yù)測(cè)結(jié)果的影響，將通過(guò)如下過(guò)程進(jìn)行簡(jiǎn)化：首先，求出鋼絲間的徑向接觸力（不考慮接觸變形），再將徑向接觸力代入式（14），求出鋼絲間的接觸變形，后續(xù)計(jì)算中，將此接觸變形作為不變量代入式（13），并和式（2）迭代求解，得到考慮接觸變形的螺旋半徑的變分，其余求解過(guò)程同不考慮接觸變形的情況.

1.2 方程的求解

對(duì)于給定的半平行鋼絲索，首先，不考慮接觸變形，按前述斷絲模型得到鋼絲間的接觸力，再將徑向接觸力代入式（14），求出鋼絲間的接觸變形，后續(xù)計(jì)算中，將此接觸變形作為不變量代入式（13），并和式（2）迭代求解，得到考慮接觸變形的螺旋半徑的變分δri和外層鋼絲應(yīng)變系數(shù)λi；將計(jì)算得到的λi代入式（4），得未斷鋼絲總拉力系數(shù)Ku，代入式（5）、式（6），得外層未斷鋼絲拉力Tu，i和接觸力Xms，i，對(duì)于給定的坐標(biāo)s，假定Tb（s），代入式（3），（7），（8），可得ΔXms，kb，將ΔXms，kb代入式（9），可得新一輪的Tb（s）和接觸力ΔXms，kb，如此循環(huán)，直到前后兩輪計(jì)算得到的ΔXms，kb差值小于給定誤差；再進(jìn)入下一坐標(biāo)s＋Δs的計(jì)算，重復(fù)以上過(guò)程，直到拉索全長(zhǎng)計(jì)算完為止.將上述計(jì)算結(jié)果代入式（10），可得影響長(zhǎng)度La，代入（11）或式（12），可得索力剩余系數(shù)γ.全部計(jì)算過(guò)程可通過(guò)編程實(shí)現(xiàn).

2 數(shù)值分析與討論

為討論接觸變形對(duì)多層半平行鋼絲索斷絲模型的影響，參考橋梁工程中半平行鋼絲纜索構(gòu)造的技術(shù)參數(shù)，如無(wú)特別說(shuō)明，均以Ф5-127的半平行鋼絲索為例進(jìn)行討論.索長(zhǎng)L取6m，鋼絲直徑為5mm，鋼絲彈性模量E取197.9GPa，泊松比ν取0.3，內(nèi)部鋼絲間摩擦系數(shù)μ取0.12，護(hù)套握裹力Ws取2.0×10－6N·mm－1；鋼絲總層數(shù)n為15，斷絲所在鋼絲層為第7層，斷絲數(shù)為8根，所有斷絲斷口均位于L／2截面處.

2.1 索內(nèi)鋼絲拉力分布

為討論接觸變形對(duì)索內(nèi)鋼絲拉力分布的影響，考慮接觸變形，對(duì)應(yīng)的拉索鋼絲拉力分布如圖1、圖2所示.其中圖1和圖2分別對(duì)應(yīng)螺旋角為80°和86°時(shí)的鋼絲拉力分布.圖中“x＝0”和“x＝La／2”分別對(duì)應(yīng)斷絲處截面和影響長(zhǎng)度處截面，圖例中的序數(shù)表示未斷鋼絲所在的鋼絲層.

由圖1、圖2可以看出，對(duì)稱斷絲情況下鋼絲拉力分布規(guī)律如下：

（1）從圖1a和圖2a可以看出，鋼絲拉力沿拉索縱向分布規(guī)律與不考慮接觸變形相似，考慮接觸變形時(shí)，斷絲拉力隨到斷裂處距離的增加近似線性增加，斷絲拉力變化明顯；而未斷鋼絲拉力隨到斷裂處距離的增加近似線性衰減，在斷裂處最大，如螺旋角為80°和 86°時(shí)，分 別 對(duì) 應(yīng)Ti／Fb為 0.86% 和0.84%；影響長(zhǎng)度內(nèi)，各未斷鋼絲拉力增大，影響長(zhǎng)度外，索體內(nèi)同層鋼絲拉力相等.但當(dāng)螺旋角為80°時(shí)，各層未斷鋼絲間拉力分布不重合.

（2）從圖1b和圖2b可以看出，當(dāng)螺旋角為80°時(shí)，考慮接觸變形，拉索截面各層未斷鋼絲拉力不重合，鋼絲拉力明顯分布不均，鋼絲間拉力差異在斷絲處比影響長(zhǎng)度外明顯，如斷絲處第6環(huán)和第4環(huán)Ti／Fb分別為0.86%和0.85%，影響長(zhǎng)度外第6環(huán)和第4環(huán)分別為0.81%和0.80%，鋼絲越往外環(huán)，拉力越大；當(dāng)螺旋角為86°時(shí)，考慮接觸變形，拉索截面各層未斷鋼絲拉力基本重合，如斷絲處Ti／Fb均為0.84%，影響長(zhǎng)度外均為0.80%，說(shuō)明各層未斷鋼絲拉力分布較均勻.而不考慮接觸變形時(shí)，拉索截面中鋼絲拉力分布均勻，與螺旋角無(wú)關(guān).

2.2 影響長(zhǎng)度和索力剩余系數(shù)

為討論接觸變形對(duì)斷絲影響長(zhǎng)度和索力剩余系數(shù)的影響，考慮接觸變形，對(duì)應(yīng)的拉索斷絲影響長(zhǎng)度和索力剩余系數(shù)和螺旋角的關(guān)系曲線分別如圖3、圖4所示.

圖3 影響長(zhǎng)度隨螺旋角變化關(guān)系曲線Fig.3 The affected length as a function ofα

由圖3、圖4可以看出，影響長(zhǎng)度和索力剩余系數(shù)隨螺旋角變化的規(guī)律如下：

圖4 索力剩余系數(shù)隨螺旋角變化關(guān)系曲線Fig.4 Remaining prestress fraction as a function ofα

與不考慮接觸變形相似，考慮接觸變形時(shí)，隨螺旋角的增加，斷絲影響長(zhǎng)度逐漸增加，而索力剩余系數(shù)則逐漸變小，拉索拉力損失率均小于拉索橫截面損失率.不論考慮接觸變形與否，圖中影響長(zhǎng)度和索力剩余系數(shù)隨螺旋角的變化曲線基本重合，曲線間的差異可以忽略，說(shuō)明接觸變形對(duì)影響長(zhǎng)度和索力剩余系數(shù)的影響不大.

3 鋼絲拉力增長(zhǎng)系數(shù)

工程實(shí)踐中，主要應(yīng)用基于平行直鋼絲假定的并聯(lián)模型計(jì)算半平行鋼絲索，計(jì)算時(shí)假定截面內(nèi)各鋼絲拉力相等.這一模型忽略了外層鋼絲的螺旋特性，且鋼絲間的接觸與摩擦也無(wú)法考慮，為研究半平行鋼絲索中實(shí)際鋼絲拉力分布和拉索中鋼絲拉力增長(zhǎng)幅度，將拉索截面內(nèi)各根鋼絲拉力相對(duì)于并聯(lián)模型得到的鋼絲拉力的比值定義為鋼絲拉力增長(zhǎng)系數(shù)λwi，有

由2.1節(jié)可知，考慮接觸變形，鋼絲間的拉力分布不均勻，而不考慮接觸變形拉力分布均勻，所以主要討論考慮接觸變形時(shí)鋼絲間的拉力分布規(guī)律.考慮接觸變形時(shí)，拉索截面鋼絲拉力增長(zhǎng)系數(shù)分布如圖5、圖6所示.

由圖5、圖6可以看出，鋼絲拉力增長(zhǎng)系數(shù)分布規(guī)律為：當(dāng)螺旋角為80°時(shí)，影響長(zhǎng)度內(nèi)，鋼絲拉力增長(zhǎng)系數(shù)隨到斷裂處距離的增加呈線性衰減，在斷絲處不均勻分布最明顯，如最外層和最內(nèi)層鋼絲拉力增長(zhǎng)系數(shù)分別為1.092和1.065；影響長(zhǎng)度外，拉力增長(zhǎng)系數(shù)保持不變，鋼絲間拉力分布保持不變，如最外層和最內(nèi)層鋼絲拉力增長(zhǎng)系數(shù)分別保持在1.024和0.998.螺旋角為86°，各層鋼絲間拉力增長(zhǎng)系數(shù)曲線基本重合，鋼絲間的拉力分布較均勻.當(dāng)螺旋角為80°和86°時(shí)，考慮接觸變形時(shí)，拉索內(nèi)最大鋼絲拉力增長(zhǎng)系數(shù)分別為1.092和1.070，未考慮接觸變形時(shí)，最大鋼絲拉力增長(zhǎng)系數(shù)分別為1.083和1.069，增幅分別為10.84%和1.45%.

拉索中最大鋼絲拉力增長(zhǎng)系數(shù)和鋼絲間的拉力分布不均勻程度可通過(guò)最大、最小拉力增長(zhǎng)系數(shù)隨拉索軸向坐標(biāo)的變化曲線進(jìn)行描述，如圖7所示，拉索中最大、最小拉力增長(zhǎng)系數(shù)隨螺旋角的變化關(guān)系如圖8所示.

由圖7可以看出，距離斷絲處越遠(yuǎn)，截面最大、最小拉力增長(zhǎng)系數(shù)越小，影響長(zhǎng)度外，曲線變?yōu)樗?，兩?xiàng)系數(shù)保持不變；當(dāng)螺旋角為86°時(shí)，兩曲線在拉索長(zhǎng)度內(nèi)基本重合，表示最大和最小增長(zhǎng)系數(shù)間的范圍很小，截面內(nèi)鋼絲拉力分布基本均勻；當(dāng)螺旋角為80°時(shí)，兩曲線間的差異較大，斷絲處，最大、最小拉力增長(zhǎng)系數(shù)為1.094和1.059，變化區(qū)間為0.035，影響長(zhǎng)度外，兩項(xiàng)系數(shù)分別變?yōu)?.025和0.992，變化區(qū)間為0.033，最大和最小拉力增長(zhǎng)系數(shù)間變化區(qū)間較大，截面內(nèi)鋼絲拉力分布不均勻.由圖8可以看出，隨著螺旋角的增大，最大拉力增長(zhǎng)系數(shù)逐漸變小（1.094～1.068），而最小拉力增長(zhǎng)系數(shù)則逐漸增大（0.992～1.001），兩者間的區(qū)間長(zhǎng)度變短，即索體內(nèi)鋼絲間的拉力分布逐漸趨于均勻.

4 拉索軸向剛度

軸向荷載作用下，拉索的軸向剛度相對(duì)于鋼絲會(huì)降低，軸向荷載作用下，拉索的荷載位移曲線可反映拉索的軸向剛度.為描述拉索的軸向剛度，將斷絲拉索總軸力Fb除以纜索橫截面積nπR2，可得到纜索截面平均軸向應(yīng)力，平均軸向應(yīng)力與索體長(zhǎng)度內(nèi)平均應(yīng)變的比值，定義為拉索彈性模量Ecable.

式中：n為拉索截面全部鋼絲數(shù)；Δ為拉索兩端相對(duì)位移量.拉索軸向荷載－位移曲線如圖9所示，拉索彈性模量隨螺旋角的變化曲線如圖10所示.

由圖9可以看出，對(duì)于給定的螺旋角，拉索荷載位移曲線滿足線性關(guān)系.根據(jù)拉索彈性模量的定義，當(dāng)螺旋角為86°時(shí)，考慮接觸變形，拉索彈性模量為188 363MPa，約為鋼絲彈性模量的95.18%；不考慮接觸變形，拉索彈性模量為188 417MPa，約為鋼絲彈模的95.21%.當(dāng)螺旋角為80°時(shí)，考慮接觸變形，拉索彈性模量為183 104MPa，約為鋼絲彈性模量的92.52%；不考慮接觸變形，拉索彈性模量為184 929MPa，約為鋼絲彈模的93.45%.由圖10可以看出，隨著螺旋角的增大，拉索彈性模量經(jīng)歷了一個(gè)先增加后減小的過(guò)程，對(duì)于橋梁用半平行鋼絲索扭絞范圍（對(duì)應(yīng)螺旋角86°～88°），軸向剛度最大降低4.82%；考慮接觸變形時(shí)，軸向剛度要小于相應(yīng)不考慮接觸變形時(shí)的值.

拉索彈性模量隨斷絲徑向位置和鋼絲間摩擦系數(shù)的變化曲線分別如圖11和圖12所示.

由圖11可以看出，隨著斷絲徑向位置的增大，即斷絲越往外層，拉索彈性模量逐漸減小，如斷絲位于第4層時(shí)，拉索彈性模量為191 200MPa，約為鋼絲彈性模量的96.61%，斷絲位于最外層時(shí)，拉索彈性模量為184 734MPa，約為鋼絲彈性模量的93.35%.由圖12可以看出，隨著鋼絲間摩擦系數(shù)的增大，拉索彈性模量逐漸增大，如鋼絲間摩擦系數(shù)為0.05時(shí)，拉索彈性模量為185 375MPa，約為鋼絲彈性模量的93.67%，鋼絲間摩擦系數(shù)為0.20時(shí)，拉索彈性模量為191 258MPa，約為鋼絲彈性模量的96.64%.

5 結(jié)論

考慮鋼絲間的接觸變形，對(duì)多層半平行鋼絲索的對(duì)稱斷絲模型進(jìn)行了修正，通過(guò)數(shù)值計(jì)算討論了接觸變形對(duì)索內(nèi)鋼絲拉力分布和拉索軸向剛度的影響，主要結(jié)論如下：

（1）影響長(zhǎng)度內(nèi)，鋼絲拉力隨到斷裂處距離的增加近似線性衰減，影響長(zhǎng)度外，各層鋼絲拉力保持不變.當(dāng)螺旋角為86°時(shí)，截面內(nèi)鋼絲拉力分布較均勻，當(dāng)螺旋角為80°時(shí)，截面內(nèi)鋼絲拉力不均勻分布明顯，隨著螺旋角的增大，最大拉力增長(zhǎng)系數(shù)逐漸變小.

（2）不論接觸變形考慮與否，斷絲影響長(zhǎng)度和索力剩余系數(shù)基本保持不變.鋼絲拉力增長(zhǎng)系數(shù)隨到斷裂處距離的增加近似線性衰減，在斷絲處不均勻分布最明顯，影響長(zhǎng)度外，拉力增長(zhǎng)系數(shù)保持不變.當(dāng)螺旋角為80°時(shí)，最大拉力增長(zhǎng)系數(shù)為1.092；當(dāng)螺旋角為86°時(shí)，最大拉力增長(zhǎng)系數(shù)為1.070.當(dāng)螺旋角為80°和86°時(shí)，考慮接觸變形，最大鋼絲拉力增長(zhǎng)系數(shù)增幅分別為10.84%和1.45%.

（3）隨著螺旋角的增大，拉索彈性模量經(jīng)歷了一個(gè)先增加后減小的過(guò)程.對(duì)于橋梁用半平行鋼絲索常用參數(shù)范圍，螺旋角引起軸向剛度降低最大可達(dá)4.82%，鋼絲間摩擦系數(shù)引起軸向剛度降低最大可達(dá)6.33%.

實(shí)際工程中，拉索由于腐蝕、磨損等因素引起的斷絲可能跨越多個(gè)鋼絲層，沿長(zhǎng)度方向也可能有多處斷絲，且多為非對(duì)稱斷絲；同時(shí)，斷絲形式、斷口處的鋼絲滑移等均會(huì)改變索內(nèi)鋼絲的拉力分布，這些因素的影響值得進(jìn)一步研究.

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