廖慶平

數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，解決數(shù)學(xué)問題的思維過程應(yīng)是要斷定一個命題的正確性必須經(jīng)過嚴(yán)密的推斷論證，而要否定一個命題，只需舉出一個與結(jié)論矛盾的例子即可，這種與命題相矛盾的例子稱為反例。

在初中教學(xué)中，反例的構(gòu)建是教學(xué)中一種非常重要的教學(xué)手段和方式，反例教學(xué)有著極其重要的作用。通過反例對學(xué)生所犯錯誤加以剖析，讓學(xué)生從分析中認(rèn)識產(chǎn)生錯誤的原因，這對他們準(zhǔn)確、深刻理解概念、定理、公式，培養(yǎng)他們分析問題、解決問題的能力，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣會有很大的幫助，同時，反例對鞏固和加深對概念與定理的理解，以及對掌握相關(guān)概念的差異和層次方面有著正面說明或證明所無法取代的作用。

結(jié)合筆者平時的教學(xué)，下面就反例教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)方面的作用談?wù)勑牡皿w會。

一、反例有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)概念加深理解

為加深學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定理的清晰認(rèn)識，教師運用反例具有典型、形象、直觀等特點，能加強學(xué)生的感知印象，有利于學(xué)生將所學(xué)知識內(nèi)化。例如，在教學(xué)“正多邊形和圓”時，設(shè)計一個問題：各邊相等的圓內(nèi)接多邊形一定是正多邊形嗎？各角相等的圓內(nèi)接多邊形呢？如果是，說明為什么；如果不是，舉反例說明。學(xué)生們都知道：各邊都相等，各角也相等的多邊形是正多邊形。為了加深學(xué)生對正多邊形一些性質(zhì)的理解，從反面進行鞏固。顯然，各邊相等的圓內(nèi)接多邊形的各角也相等，它是正多邊形，各角相等的圓內(nèi)接多邊形不是正多邊形，例如矩形等。通過舉例，使學(xué)生們找到了正確的答案，也深刻理解和掌握了這個概念。

二、反例有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)定理或性質(zhì)掌握到位

學(xué)生在學(xué)習(xí)一個新的定理或性質(zhì)時，往往會忽略定理或性質(zhì)中的關(guān)鍵詞，從而造成解題的錯誤。為了改變這一現(xiàn)象，恰當(dāng)引入反例，可以幫助學(xué)生記憶這些關(guān)鍵詞，從而達(dá)到掌握定理和性質(zhì)，并能正確加以應(yīng)用。例如：教學(xué)垂徑定理的推論1“平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦”，學(xué)生常會忽略括號中的限制條件，誤記為“平分弦的直徑垂直于弦”。教學(xué)時可以構(gòu)造反例，如：圓中任意兩條直徑，雖然它們互相平分，但不一定互相垂直，由此來糾正這一錯誤，加深對限制條件地理解，達(dá)到準(zhǔn)確掌握和運用定理的目的。

三、反例有助于學(xué)生準(zhǔn)確掌握公式的條件

學(xué)生在利用公式來解決實際問題或進行計算化簡求值等方面，容易忽略公式成立條件或公式適用范圍，因而發(fā)生不必要錯誤。例如，5-2a+a-3先化簡，再求值，當(dāng)a=2時。甲：原式=0.乙：原式=2，你認(rèn)為誰正確，為什么？此例是有絕對值的化簡公式的應(yīng)用，導(dǎo)致兩種截然相反結(jié)果的原因是絕對值中的值是大于0還是小于0，由題意知a=2時，a-3<0，因此乙正確。通過此例甲、乙兩同學(xué)計算過程的對比，讓學(xué)生明顯體會到今后在化簡有絕對值式子時，一定要注意絕對值內(nèi)a的符號，否則會出現(xiàn)兩種完全不同的結(jié)果。本題讓學(xué)生認(rèn)清在實際解題中不能憑主觀判斷進行解題，引導(dǎo)學(xué)生從本質(zhì)上理解如何正確運用公式。

四、反例有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，糾正錯誤

在教學(xué)實踐中，恰當(dāng)運用反例教學(xué)，能有效地幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，糾正錯誤。一方面可以讓學(xué)生準(zhǔn)備一個專門用于訂正練習(xí)中錯誤的筆記本，叫學(xué)生自己分析錯誤原因，寫出正確答案；另一方面把學(xué)生中帶有共性的容易出錯的問題一起討論，使他們發(fā)現(xiàn)問題，分析錯誤原因，找出正確的解題方法。每一次的錯誤分析其實都是一次成功的反例研究，應(yīng)該說對學(xué)生的進步具有很大的推動作用。

五、反例教學(xué)能激發(fā)學(xué)生積極的情感

講解那些精選的反例，往往能引起學(xué)生內(nèi)心的共鳴，加上學(xué)生的積極參與，就更能提高學(xué)生的認(rèn)識，激勵其努力上進的欲望，并使認(rèn)識與體驗相結(jié)合，形成學(xué)好數(shù)學(xué)的堅定信念。反例常能以其特有的魅力吸引學(xué)生的好奇心，促使其去追根究底，它有助于激發(fā)學(xué)生積極的情感。

六、反例有助于學(xué)生的創(chuàng)新思維發(fā)展

例如在講授“實數(shù)”一節(jié)時，我曾安排了這樣一個思考題：兩個無理數(shù)的和是否一定是無理數(shù)？學(xué)生們馬上舉出幾個反例如π與-π；它們的和都等于零是有理數(shù)。在此問題的基礎(chǔ)上，教師可以進一步地追問：兩個無理數(shù)的積是否一定是無理數(shù)？兩個有理數(shù)的和或者積是否一定是有理數(shù)？一個無理數(shù)與一個有理數(shù)的和是否一定是無理數(shù)？一個無理數(shù)與一個有理數(shù)的積是否一定是無理數(shù)？ 通過對這些問題作更多更深入的研究，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性，還可以加深對有理數(shù)、無理數(shù)概念的理解。教師在日常教學(xué)中，可經(jīng)常選擇一些典型的數(shù)學(xué)知識或問題，通過創(chuàng)設(shè)問題情景，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建反例，引導(dǎo)學(xué)生敢于和善于發(fā)現(xiàn)問題或提出問題，愛護、支持和鼓勵學(xué)生中的一切含有創(chuàng)造因素的思想和活動，從而提高學(xué)生的思維能力。

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，適時地引進一些反例或適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生構(gòu)建反例，往往能使學(xué)生在認(rèn)識上產(chǎn)生質(zhì)的飛躍，幫助他們理解數(shù)學(xué)概念、鞏固和掌握定理、公式和法則，糾正一些習(xí)慣性錯誤，全面培養(yǎng)思維的創(chuàng)新性，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力。