黃阿娜

摘要：極限是微積分的理論基礎(chǔ)。研究函數(shù)的性質(zhì)實(shí)質(zhì)上是研究各種類型的極限，如連續(xù)，導(dǎo)數(shù)，定積分，級(jí)數(shù)等等。由此可見極限的重要性。由于極限的計(jì)算方法很多而繁雜，所以本文根據(jù)自己的教學(xué)實(shí)踐，力求對(duì)高職高等數(shù)學(xué)課程里計(jì)算一元函數(shù)極限的方法進(jìn)行一個(gè)基本的總結(jié)。

關(guān)鍵詞：連續(xù)性四則運(yùn)算重要極限無窮小量無窮大量

型型

極限是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的基本概念，是研究微積分學(xué)的重要工具。微積分中的許多重要概念都是用極限來表述的，一些重要的性質(zhì)和法則也是通過極限方法推得的。因此，掌握極限的思想與方法是學(xué)好微積分學(xué)的基礎(chǔ)，也是學(xué)好工科類學(xué)科知識(shí)前提條件。這樣才能更好地工學(xué)結(jié)合，使得學(xué)生在今后的工作中受益。

求函數(shù)極限時(shí)，要根據(jù)函數(shù)的特性選擇求函數(shù)極限的適當(dāng)方法。

1 求一元函數(shù)極限的基本方法

1.1 利用連續(xù)性求極限

①設(shè)f（x）在x=a連續(xù)，按定義則有：fx=fa。

因此對(duì)連續(xù)函數(shù)求極限就是用代入法求函數(shù)值。

②一切初等函數(shù)在它的定義域上連續(xù)。因此，若fx是初等函數(shù)，a屬于它的定義域，則fx=fa。

③設(shè)gx=A，若補(bǔ)充定義g（a）=A，則gx在 x=a連續(xù)。若又有y=f（u）在u=A連續(xù)，則由復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性得f（g（x））=f（gx）=f（A）。

1.2 利用四則運(yùn)算法則

設(shè)fx=A，gx=B，則

[fx±gx]=A±B，[fx·gx]=A·B，

=（B≠0），fx=AB（A>0）

1.3 利用重要極限

常用的兩個(gè)重要極限公式是：

=1

1+=e

1.4 利用無窮小、無窮大的性質(zhì)

①無窮小與有界函數(shù)之積仍為無窮小。

②無窮小與無窮大的倒數(shù)關(guān)系。

2 求一元函數(shù)未定型極限的方法

2.1 型極限的求法

①因式分解或通分。

②分子，分母同除以一個(gè)代數(shù)式。

③根式有理化。

④變量替換。

⑤等價(jià)無窮小代換。

求函數(shù)極限，如能恰當(dāng)采用等價(jià)無窮小代換，可以起到變難為易，化繁為簡(jiǎn)的作用。等價(jià)無窮小代換：設(shè)α～α′，β～β′，且lim存在，則lim=lim（其中α，β，α′，β′均為無窮?。?/p>

應(yīng)用等價(jià)無窮小應(yīng)注意的地方：只能用分子，分母整個(gè)部分去代換，或是把函數(shù)化成積的形式施行無窮小代換。在和，差式中，就不能代換。因?yàn)闊o窮小的和或是差是比原先更高階的無窮小。

⑥利用羅必達(dá)法則

定理（型，x→a+0）

若 （1）函數(shù)f（x）和g（x）在（a，a+δ）上有定義 （δ>0），并且

fx=0，gx=0

（2）f′（x）和g′（x）在（a，a+δ）上存在，g′（x）≠0，并且

=A（包括A=∞的情形）

則==A

2.2 型的解法

定理 （，x→a+0）

若（1） 函數(shù)函數(shù)f（x）和g（x）在（a，a+δ）上有定義 （δ>0），并且

fx=∞，gx=∞

（2）f′（x）和g′（x）在（a，a+δ）都可導(dǎo)，g′（x）≠0，并且

=A（包括A=∞的情形）

則==A

極限是數(shù)學(xué)分析中最基本，重要的概念之一；極限在實(shí)際應(yīng)用中有很廣泛的應(yīng)用，因此掌握求極限的方法十分重要。

總之，求極限的方法很多，函數(shù)的類型也很多，但求極限總的指導(dǎo)思想是根據(jù)函數(shù)特征選擇適當(dāng)求法，在熟練掌握各種極限求法的基礎(chǔ)上，按照極限求法的思考順序來考慮，就可準(zhǔn)確地找到適當(dāng)?shù)那蠓?，使問題得到圓滿的解決。

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