李艷芹

一般地，解析式形如y=kx+b（k、b是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)叫做一次函數(shù)，x是自變量，y為因變量.一次函數(shù)的定義域是一切實(shí)數(shù).

特別地，當(dāng)b=0時(shí)，一次函數(shù)就成為y=kx （k是常數(shù)，k≠0），這時(shí)y是x的正比例函數(shù).因此正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特殊情形.

對(duì)于y=c（c為常數(shù)）表示不論x的值怎樣變化，y的值總是常數(shù)c，我們?nèi)哉J(rèn)為y與x之間沒(méi)有確定的依賴關(guān)系，這時(shí)把函數(shù)y=c（c為常數(shù)）叫做常值函數(shù)，其自變量由所討論的問(wèn)題確定.

例1.（2012濟(jì)南）當(dāng)m為何值時(shí)，函數(shù)y=-（m-2）xm -3+（m-4）是一次函數(shù)？

分析：某函數(shù)是一次函數(shù)，除應(yīng)符合y=kx+b外，還要注意條件k≠0.

解：∵原函數(shù)是一次函數(shù)，則

m2-3=1

-（m-2）≠0

解得m=-2.

∴當(dāng)m=-2時(shí)，原函數(shù)是一次函數(shù).

小結(jié)：某函數(shù)是一次函數(shù)應(yīng)滿足的條件是：一次項(xiàng)（或自變量）的指數(shù)為1，系數(shù)不為0.而某函數(shù)若是正比例函數(shù)，則還需添加一個(gè)條件：常數(shù)項(xiàng)為0.

考點(diǎn)二：一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

一般地，一次函數(shù)y=kx+b（k、b是常數(shù)，且k≠0）的圖象是一條直線，一次函數(shù)y=kx+b的圖象也稱為直線y=kx+b，這時(shí)，把一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=kx+b稱為這一直線的表達(dá)式.正比例函數(shù)的圖象也是一條直線.

例2.（2012南京）看圖說(shuō)故事.

請(qǐng)你寫(xiě)一個(gè)故事，使故事情景中出現(xiàn)一對(duì)變量x、y滿足圖示的函數(shù)關(guān)系，要求：①指出變量x、y的含義；②利用圖象中的數(shù)據(jù)說(shuō)明這對(duì)變量變化過(guò)程的實(shí)際意義，其中須涉及“速度”這個(gè)量.

解析：根據(jù)情景說(shuō)明函數(shù)關(guān)系，注意只有兩變量，涉及其他的量必須是常量.

答案：①略.

②如：公共汽車從A站出發(fā)，5分鐘內(nèi)速度由0逐漸增加到2m/s，然后勻速運(yùn)動(dòng)，到11分鐘時(shí)開(kāi)始減速，第15分鐘?？緽站.

點(diǎn)評(píng)：此類題目屬于開(kāi)放性問(wèn)題，答案不唯一，考察學(xué)生知識(shí)應(yīng)用的情況.

考點(diǎn)三：一次函數(shù)解析式的確定

由于一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）中有兩個(gè)待定系數(shù)k、b，需要兩個(gè)獨(dú)立的條件確定兩個(gè)關(guān)于k、b的方程，求得k、b的值，這兩個(gè)條件通常是兩個(gè)點(diǎn)或兩對(duì)x、y的值.用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的一般步驟為：

（1）根據(jù)已知條件寫(xiě)出含有待定系數(shù)的函數(shù)關(guān)系式；

（2）將x、y的幾對(duì)值或圖象上的幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入上述函數(shù)關(guān)系式中得到以待定系數(shù)為未知數(shù)的方程；

（3）解方程得出未知系數(shù)的值；

（4）將求出的待定系數(shù)代回所求的函數(shù)關(guān)系式中得出所求函數(shù)的解析式.

例3.（2012山東）已知一次函數(shù)y=kx+b圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2，5）并且與y軸相交于點(diǎn)P，直線y=-1 2x+3與y軸相交于點(diǎn)Q，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱，求這個(gè)一次函數(shù)的解析式.

分析：直線與y軸相交，其交點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為0，求出交點(diǎn)坐標(biāo).再利用對(duì)稱性求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)（-2，5）和點(diǎn)P在直線上，其點(diǎn)的坐標(biāo)符合其函數(shù)解析式，列方程組求解.

解：∵直線y=-1 2 x+3與y軸的交點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，3），

又∵點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于x軸對(duì)稱，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-3），把點(diǎn)（-2，5）和點(diǎn)（0，-3）代入y=kx+b得

∴這個(gè)函數(shù)解析式為y=-4x-3.

考點(diǎn)四：一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

例4.（2013山東）有一個(gè)附有進(jìn)水管、出水管的水池，每單位時(shí)間內(nèi)進(jìn)出水管的進(jìn)、出水量都是一定的，設(shè)從某時(shí)刻開(kāi)始，4h內(nèi)只進(jìn)水不出水，在隨后的時(shí)間內(nèi)不進(jìn)水只出水，得到的時(shí)間x（h）與水量y（m3）之間的關(guān)系圖（如圖）.

回答下列問(wèn)題：

（1）進(jìn)水管4h共進(jìn)水多少？每小時(shí)進(jìn)水多少？（2）當(dāng)0≤x≤4時(shí)，y與x有何關(guān)系？（3）當(dāng)x=9時(shí)，水池中的水量是多少？（4）若4h后，只放水不進(jìn)水，那么多少小時(shí)可將水池中的水放完？

分析：在本題中橫坐標(biāo)的意義是進(jìn)出水的時(shí)間，縱坐標(biāo)表示水池中的水量，從圖象看0≤x≤4時(shí)，y是x的正比例函數(shù)關(guān)系；x>4時(shí)，y是x的一次函數(shù)關(guān)系.

解：（1）由圖象知，4h共進(jìn)水20m3，所以每小時(shí)進(jìn)水量為5m3.

（2）由于0≤x≤4時(shí)，y是正比例函數(shù)，設(shè)y=kx，由于其圖象過(guò)點(diǎn)（4，20），所以20=4k，k=5，即y=5x（0≤x≤4）.

（3）由圖象可知：當(dāng)x=9時(shí)y=10，即水池中的水量為10m3.

（4）由于x≥4時(shí)，圖象是一條直線，所以y與x符合一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)y=kx+b，

由圖象可知，該直線過(guò)點(diǎn)（4，20）、（9，10）.

考點(diǎn)五：二次函數(shù)的有關(guān)概念

一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)叫做二次函數(shù).

（1）求m的值；

（2）求拋物線的解析式，并寫(xiě)出拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（3）問(wèn)在拋物線上是否存在一點(diǎn)M，使△MAC≌△OAC，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析：拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，OA=OB，故A、B兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，就可求得m的值，由拋物線交y軸的正半軸，得m的確定值.

解答：（1）∵拋物線與y軸交于正半軸，且OA=OB.

∴M（2，2）不在拋物線上，即不存在一點(diǎn)M，使△MAC≌△OAC.

點(diǎn)評(píng)：存在性問(wèn)題，通常是先假定存在，若能找出具備某種條件或性質(zhì)的對(duì)象就說(shuō)明存在，其敘述過(guò)程就是理由；若不存在，就需要進(jìn)一步說(shuō)明理由.