郭伍軍

【摘要】從小熱愛數(shù)學，經(jīng)常身帶計算器，無論做什么工作不放棄對數(shù)學的學習研究，去年發(fā)表了《談幾點簡單的數(shù)學看法》.現(xiàn)在簡單闡述乘方余數(shù)，希望大家給予批評矯正.

【關鍵詞】論乘方余數(shù)an和an+bn和an+bn+cn，n為奇數(shù)為穩(wěn)定性，n為質數(shù)時為絕對穩(wěn)定性，n為偶數(shù)時是不定性；費爾馬大小定理的看法，億不開方數(shù)，a內(nèi)n次方的和——半解之題

an-1（n為正整數(shù)時）除以n-1一定整除，如：92-1除以8整除，94-1除以8整除，95-1除以8整除，當n為奇數(shù)時，an+1除以a+1整除，an-1除以a-1也整除，如：93+1除以10整除，93-1除以8整除.

兩個數(shù)的次方相加減：an-bn能被a-b整除.當n為奇數(shù)時，an+bn除以a+b整除，an-bn除以a-b也整除.如：173+133和175+135和177+137…都能被30整除，又：173-133和175-135和177-137…都能被17-13=4整除.

當n為偶數(shù)時，只能在a-b=1時，a和b是相鄰數(shù)時，an+bn-1能同時被a和b整除.如：42+32和44+34和46+36減去1之后能同時被3和4整除.

三個數(shù)的n次方相加：an+bn+cn，當n為奇數(shù)時，a-b=b-c時，能夠被b整除.133+113+93中13-11=11-9就能被11整除.連續(xù)相鄰整數(shù)的n次方相加的和，能被首尾數(shù)字的和整除.如：33+43+53+63+73+83+93和35+45+55+65+75+85+95都能被3+9=12整除.

當n為偶數(shù)時，只有三個相鄰數(shù)的n次方的和穩(wěn)定，a-b=b-c=1時，an+bn+cn減去2之后能被b整除.如：92+102+112和94+104+114減去2之后能被10整除.

特殊時：a=b+c時，當n為奇數(shù)時，an-bn-cn能同時被a，b，c，n整除.

當n=3時，a3-b3-c3=3abc，如：113-73-43=11×7×4×3和173-103-73=3×10×17×7.

當n=5時，a5-b5-c5=5abc（ab+c2），如：115-75-45=11×7×4×5×（11×7+42）=5×11×7×4×（11×4+72）.

當n為偶數(shù)時，a=b+c時，an-bn-cn能被b和c整除，其他不穩(wěn)定或太復雜.

例如：相鄰五個數(shù)字的分別平方的和減去10等于當中數(shù)字平方的五倍【只限于平方，相鄰五個數(shù)字】.相鄰七個數(shù)字分別平方的和減去28后是當中數(shù)字的七倍【只限于平方，相鄰七個數(shù)字】.

費爾馬大定理：xn+yn=zn，當n>2時沒有正整數(shù)解，把這個式子寫成an-bn=cn.當n=2時，a-b=1時，也就是a和b是相鄰數(shù)時，a2-b2=a+b每個大于2的數(shù)都會寫成這種形式，最少每個數(shù)字可以寫成a2-b2=c2一次.比如：252-242=72，132-122=52，412-402=92，因為每個奇數(shù)都能寫成一個偶數(shù)和一個奇數(shù)為相鄰數(shù)相加的形式，看完最后文會更清楚.當n>2時，還要從相鄰數(shù)說起，a-b=1是相鄰數(shù)，n=3時，a3-b3=3ab+1，當n=4時，a4-b4=＼[a+b＼]ab×2+2b+1，當n=5時，a5-b5=5a2b2+5ab+1，當n=6時，a6-b6=3×＼[a+b＼]a2b2+4×＼[a+b＼]ab+2b+1，當n=7時，a7-b7=7a3b3+14a2b2+7ab+1另一種算法：＼[a+1＼]×＼[a+1＼]=a2+2a+1，＼[a+1＼]×＼[a+1＼]×＼[a+1＼]=a3+3a2+3a+1，也就是＼[a+1＼]的n次方.最后都是+1，關鍵就是這個+1，本來由ab相乘相加最后再+1的數(shù)，a和b的約數(shù)都不會整除，質因數(shù)被破壞，再受n的限制永遠開不出正整數(shù)相同n次方來.如果a-b=2或3或4或5或6時，就是2個3個4個5個6個＼[多個＼]不同這樣的數(shù)字相加永遠開不出相同正整數(shù)n次方根來.把a3寫成數(shù)列：1，8，27，64，125…數(shù)列中的哪兩個相加（或相減）也不會得其中的一個數(shù)字.數(shù)列中相鄰數(shù)的差再寫成數(shù)列：7，19，37，61…數(shù)列中的數(shù)連續(xù)兩個或多個數(shù)相加永遠得不到a3數(shù)列中的數(shù)字.在an-bn=cn中，n>2時，n越大越?jīng)]有正整數(shù)解.因為a和b越相乘相加次數(shù)多，得到的+1的數(shù)字越大，不能被整除的數(shù)字越多.

費爾馬小定理說：若p是一個質數(shù)，而a和p互質，則ap能被p整除.這是質數(shù)的絕對性.我認為可以換一句話：如果p是一個質數(shù)，a除以p余幾，ap除以p也余幾，a除以p整除，ap除以p還整除.因為多少數(shù)字相加減還是這個性質.只不過其中會有負數(shù)出現(xiàn)，p是一個質數(shù)時，單個數(shù)或多個數(shù)相加減的和【或差】除以p余幾，這個式子中的數(shù)分別p次方除以p還余幾.如：113-25+37-46+17=96，96除以3整除，1133-253+373-463+173這個式子除以3也整除，96除以5余1，還有1135-255+375-465+175除以5也余1，再有96除以7余5，1137-257+377-467+177除以7也余5.

多個數(shù)字加減形成的式子，有時會得到負數(shù)，有時會得零，如果得零，那么原式不改變加減順序，其中的數(shù)字分別p（質數(shù)）次方后，都能被p整除.如果得到一個負數(shù)y除以p整除，分別p次方后也能被p整除.如果得到的這個負數(shù)y不能被p整除，則這個式子的數(shù)分別p次方后得到的數(shù)加上y的絕對值就能被p整除.117-67-63-17+30=0，1173-673-633-173+303能被3整除，1175-675-635-175+305能被5整除，1177-677-637-177+307能被7整除（所有的質數(shù)都整除）.

19-17-12+5=-5，193-173-123+53加上5能被3整除，192-172-122+52加上5能被2整除，195-175-125+55能被5整除，197-177-127+57加上5能被7整除.也就是說，一個式子相加減得出一個負數(shù)y，這個式子的數(shù)分別p次方所得的數(shù)，加上y的絕對值所得的數(shù)一定被p整除.

也就是說一個由加和減形成的數(shù)字式，當p是一個質數(shù)，其中的數(shù)字分別p次方后還順序相加減，原來的式子除以p余幾還余幾，整除還整除，式子的得數(shù)是零時，當p是一個質數(shù)，永遠整除.

ap-bn+cn或ap-bn-cn中a=b+c時，n為偶數(shù).ap-bn+cn能被a整除.n為奇數(shù)，ap-bn-cn能被a整除.

99-78+28除以9整除，99-77-27除以9整除，99-76+26除以9整除，99-75-25除以9整除.

9-72+22=-45能被9整除，92-78+28=-5764464除以9整除，9-77-27=-823662除以9整除 .

把一個數(shù)分解成n次方相加的形式叫做n次方組和形式，比如2=12+12，3=12+12+12，4=22是正方數(shù)，5=22+12，6=22+12+12，7=22+12+12+12，8=22+22，是它們的最低組合形成，在平方組和形式中分成四種數(shù)，第一種：除以4余1的數(shù)中有，奇數(shù)的正平方數(shù)，還有一個偶數(shù)的平方加上一個奇數(shù)的平方，還有兩個偶數(shù)的平方加上一個奇數(shù)的平方三種數(shù)字，因為偶數(shù)的幾次方還是偶數(shù)，奇數(shù)的偶次方都是除以4余1的數(shù)，除以4余1的數(shù)是離正方數(shù)最近的數(shù)字，所以除以4余1的數(shù)列中的數(shù)字最低平方組和沒有4個數(shù)相加的時候，最多是兩個偶數(shù)加上一個奇數(shù)，三個數(shù)組成.除以4余2的數(shù)字，因為沒有一個數(shù)的幾次方會得除以4余2的數(shù)，也就是說4n+2的數(shù)字永遠開不出一個正整數(shù)方根來，必須是由兩個奇數(shù)的平方加在一起或兩個奇數(shù)的平方再加上一個偶數(shù)的平方.除以4余3的數(shù)字，有兩種：一種是3個奇數(shù)的平方加在一起，一種是一個偶數(shù)的平方加上3個奇數(shù)的平方的組合，因為3個奇數(shù)的平方相加才會有除以4余3的數(shù)字，除以4余3的數(shù)只有除以4余3的數(shù)字的奇次方才能得到除以4余3的數(shù).

4n+3的數(shù)永遠開不出偶次方的正整數(shù)方根，33=27是最小的4n+3的正方數(shù)，35是第二個，73是第三個，113是第四個，37是第五個，153是第六個，193是第七個，233是第八個，75是第九個，39是第十個除以4余3的正方數(shù)19683.

4n+3的數(shù)字的最低平方組和就有兩種，任何數(shù)字的最低平方組和都不會超出4個數(shù)字.

4n的數(shù)字除以4整除，在平方組和中變化最多有5種，有正方數(shù)，還有2個偶數(shù)的平方，還有3個偶數(shù)的平方，還有4個偶數(shù)的平方，還有可以寫成4個奇數(shù)的平方相加的形成.比如：60，可以寫成72+32+12+12和52+52+32+12和62+42+22+22最少4個數(shù)字組成.

就因為正平方數(shù)都是4n和4n+1的數(shù)字，60的巧合也是離正方數(shù)最遠的最巧合的數(shù)字，61就是62+52組成，就應了費爾馬小定理4n+1的質數(shù)，能并且只能一次表示兩個數(shù)的平方和.

由于4n+1的質數(shù)，絕對不會是正方數(shù)，再由于質數(shù)的絕對性，它只有是一個偶數(shù)的平方加上一個奇數(shù)的平方組成，必須只能寫成一種式子.所有能開出正整數(shù)偶次方根來的奇數(shù)，減1會被8整除，也就是說奇數(shù)的偶次方，都會是除以8余1的數(shù)字.

億不開方數(shù)：當一個數(shù)的十位以上的數(shù)不變，十位以下個位上的所有的數(shù)字隨意變化，都開不出正整數(shù)n次方根來的數(shù)字段叫做十不開方數(shù)，比如50到59和70到79，沒有一個可以開出正整數(shù)方根來，50和70就叫十不開方數(shù)，50是最小的十不開方數(shù).當一個數(shù)字的百位以上的數(shù)字不變，十位數(shù)和個位數(shù)字隨意變化，都不能開出正整數(shù)方根來，叫做百不開方數(shù).比如4100叫做百不開方數(shù).照這樣說下去，當一個數(shù)字億位以上的數(shù)字不變，億位以下的數(shù)字隨意變化，都開不出正整數(shù)方根來，就叫億不開方數(shù).比如：3599999300000000到3599999400000000整億中一個能開出正整數(shù)方根來的都沒有（無論開幾次方）.