李先銅

【摘要】古希臘三大幾何問題，數(shù)學(xué)家說是無解.今天，我找到了答案.現(xiàn)將第一題，化圓為方解答如下.

【關(guān)鍵詞】化圓為方；尺規(guī)（半圓規(guī)）；弧度線；后記；圓的運(yùn)動(dòng)功能

古希臘三大幾何問題第一題：化圓為方.即作一個(gè)正方形與給定的圓面積相等.作圖時(shí)，要求用直尺和圓規(guī).

我把答案分三步驟：一、證明圓等于方；二、找出相等的圓與方；三、尺規(guī)作圖.

一、求證：圓等于方

幾何分析：在一正方形內(nèi)作內(nèi)切圓，圓的面積小于正方形的面積.設(shè)正方形面積不變.現(xiàn)在，增加圓的面積.使圓從正方形的內(nèi)切圓，逐漸增大變成正方形的外接圓.圓的面積大于正方形的面積.推理：在這個(gè)面積變化過程中，有一個(gè)瞬間，圓的面積正好等于正方形的面積.即：○<匚，○=匚，○>匚.由此證明：圓一定能等于方.

二、找出相等的圓和方

1.圓與方相等時(shí)，圓不可能在方內(nèi)小于方，也不可能在方外大于方.圓與方必須相交.

2.它們相交有8個(gè)點(diǎn)，這說明，圓從圓心向四周發(fā)了8條射線.

3.這時(shí)，圓露出4個(gè)小弓形于方外，方露出4個(gè)小尖角于圓外.在圓與方面積相等時(shí)，圓的小弓形等于方的小尖角.

4.經(jīng)過分析，當(dāng)圓的小弓形的弧長等于圓半徑時(shí)，圓與方面積相等.

三、作出與圓面積相等的正方形

1.用尺規(guī)——半圓規(guī)（又名量角器，去掉刻度），作出給定圓.

2.將圓對(duì)折，得到半圓；再次折疊，得四分之一圓.將四分之一圓展開，并畫出十字折疊線.折疊線的交點(diǎn)就是圓心，半徑也一目了然.

3.作出4條弧度線.用半圓規(guī)的圓邊，在圓半徑直線上滾動(dòng)，得到與半徑等長的弧GH，得到點(diǎn)H——弧度點(diǎn)，再作出H與圓心F的直線FH——弧度線，并延伸，得到另一條弧度線.然后，作出FH過F點(diǎn)的垂直線——另外兩條弧度線，從而得到圓的4條弧度線.并且在圓周上得到8個(gè)點(diǎn)，即折疊十字線與圓相交的4個(gè)點(diǎn)和4條弧度線與圓相交的4個(gè)點(diǎn)，共8個(gè)點(diǎn).

4.把這8個(gè)點(diǎn)，如圖相連，并延伸，使它們?cè)诮o定圓外，相交4個(gè)點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正方形BCDE.

5.求證：正方形BCDE的面積等于給定圓的面積.

證明：

∵GH弧=圓半徑，

∴S扇形FGH=S△FGI.S扇形FHI=S弓形GHI.

∵已知（步驟二，第3點(diǎn)已證出）當(dāng)○=匚時(shí)，

S小弓形GH=S小尖角HCI，

∴S弓形GHI=S△GCI.

∵S扇形FHI=S弓形GHI，S弓形GHI=S△GCI，

∴S扇形FHI=S△GCI.

∵S1/4圓=S扇形FGH+S扇形FHI=S△FGI+ S△GCI=S1/4方，

∴正方形BCDE的面積等于給定圓的面積.

四、后 記

1.圓與方面積可以相等，而且任意一個(gè)圓都有和它面積相等的正方形.它們的關(guān)系是一一對(duì)應(yīng)相等.

2.如果圓的面積是個(gè)無理數(shù)，那么方的面積也是無理數(shù).如果方的面積是整數(shù)，圓的面積也是整數(shù).

3.我們用直尺畫出直線.其實(shí)作出直線的方法很多，比如將線兩端固定，拉直；比如我們搞建筑，木工用的墨線.

4.我們用兩腳規(guī)畫圓.其實(shí)，我們作圓的方式很多，比如用半圓規(guī)、環(huán)圓規(guī)、孔圓規(guī).因此，我們把圓規(guī)限定為兩腳規(guī)，是不科學(xué)的，也是不明智的.

5.半圓規(guī)，其實(shí)就是尺規(guī).因?yàn)樗瓤梢援?dāng)尺用，作直線，又可以當(dāng)圓規(guī)用，作圓.它凝聚了尺與規(guī)的雙重功能，把尺規(guī)統(tǒng)一了起來.所以，它應(yīng)該叫做尺規(guī).兩千多年前，規(guī)定的尺規(guī)的兩腳規(guī)沒有圓的滾動(dòng)和折疊的功能，是有缺陷的圓規(guī).為了對(duì)圓進(jìn)行更深刻的研究，我們就必須運(yùn)用圓自身的運(yùn)動(dòng)功能，圓的滾動(dòng)和折疊功能.過去，我們沒有用到圓的自身的滾動(dòng)和折疊的功能，忽視了圓的運(yùn)動(dòng)，以至于畫圓為方問題，兩千五百多年來沒有答案.

6.今天，我用到了圓的滾動(dòng)和折疊的運(yùn)動(dòng)功能，很輕松地解決了.兩千多年來數(shù)學(xué)家、科學(xué)家未能解答的數(shù)學(xué)神話，這是一個(gè)傳奇.