朱宜新

ax2+bx+c=0（a、b、c是常數(shù)，a≠0）這種形式叫做一元二次方程的一般形式，這里的條件是a≠0.在解決問題時，同學們往往會忽略這一個隱含條件，導致解題失誤.

例1：已知方程kx2-（2k+1）x+k=0有兩個不相等的實數(shù)根，求k的取值范圍.

錯解：因為方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以b2-4ac>0，即【-（2k+1）】2-4k2>0解之得：k>-.

剖析：因為方程有兩個不相等的實數(shù)根，即說明該方程是一元二次方程，對于一元二次方程ax2+bx+c=0，隱含著a≠0 .

正解：k>-且k≠0 .

例2：關于x的一元二次方程（a-1）x2+x+a2-1=0的一個根為0，則a的值為_________.

錯解：因為方程有一個根為0，所以a2-1=0，解之得：a=±1.

剖析：因為方程（a-1）x2+x+a2-1=0是關于x的一元二次方程，隱含著二次項系數(shù)a-1≠0，即a≠1.

正解：a=-1.

例3：關于x的方程（m-2）xm-2+x+1=0是一元二次方程，則m的值為_____________.

錯解：因為方程 是一元二次方程，根據(jù)一元二次方程的定義可知m2-2=2，解之得m=±2.

剖析：因為原方程是一元二次方程，所以m-2≠0，即m≠2.

正解：m=-2.

例4：已知：關于x的一元二次方程（1-k）x2-2x-1=0，有兩個不相等的實數(shù)根，則k的最大整數(shù)值為（ ）

A. 2 B. 1 C. 0 D. -1

錯解：因為原方程有兩個不相等的實數(shù)根.所以b2-4ac>0，即（-2）2-4（1-k）×（-1）>0，解之得k<2，又因為k<2的最大整數(shù)為1，故選B.

剖析：因為原方程是一元二次方程，所以1-k≠0，即k≠1.

正解：k=0，故選C.

例5：已知：關于x的方程（m+1）x2+2mx+（m-3）=0，有實數(shù)根，求m的取值范圍.

錯解：因為方程有實數(shù)根，所以b2-4ac≥0，即4m2-4（m+1）（m-3）≥0，解之得m≥-，又因為m+1≠0，即m≠-1，所以m的取值范圍為m≥-且m≠-1.

剖析：關于x的方程（m+1）x2+2mx+（m-3）=0有實數(shù)根，沒有說明一定是一元二次方程，也可以是一元一次方程.

正解：①當m+1=0時，即m=-1，原方程變?yōu)?2x-4=0，x=-2，符合題意；

②當m+1≠0時，因為方程有實數(shù)根，所以b2-4ac≥0，即4m2-4（m+1）（m-3）≥0，解之得：m≥-.

綜上所述：m的取值范圍為m≥-.

（作者單位：江蘇省泗陽縣實驗初級中學）