張哲鵬　劉曉莉

摘 要： 現(xiàn)有的單快拍波束形成算法多是基于空間平滑原理提出的，缺點是損失了陣列孔徑，且降低了系統(tǒng)的自由度。對此提出了一種基于Toeplitz化的單快拍穩(wěn)健波束形成方法：首先Toeplitz化接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣，然后根據(jù)約束準則得到實際期望信號的導向矢量，利用Capon法得到最優(yōu)權(quán)。該方法充分利用了陣列的孔徑和自由度，保證了期望信號方向的增益，且對陣列誤差具有一定的穩(wěn)健性。仿真實驗驗證了所提方法的有效性。

關(guān)鍵詞： Toeplitz化； 單快拍； 協(xié)方差矩陣； 穩(wěn)健波束形成

中圖分類號：TN911 文獻標志碼：A 文章編號：1006-8228（2013）08-14-05

0 引言

傳統(tǒng)的自適應波束形成算法要求用足夠多的統(tǒng)計獨立同分布數(shù)據(jù)來估計協(xié)方差矩陣，而實際環(huán)境往往呈現(xiàn)非均勻、非平穩(wěn)特性，難以獲得獨立同分布的快拍，導致采樣協(xié)方差矩陣估計出現(xiàn)偏差，自適應波束形成方法性能急劇下降，此時采用單快拍或小快拍數(shù)實現(xiàn)自適應波束形成算法顯得更為有效。現(xiàn)有的單快拍自適應波束形成方法多是基于空間平滑原理提出的，文獻[1]提出了一種基于直接數(shù)據(jù)域最小二乘（D3LS）的單快拍自適應波束形成方法，它通過空間平滑重構(gòu)數(shù)據(jù)矩陣和非期望信號矩陣，利用廣義特征分解得到最優(yōu)權(quán)；文獻[2]首先利用阻塞矩陣將期望信號阻塞，對阻塞后的信號平滑重構(gòu)，得到信號子空間，將期望導向矢量向信號子空間投影得到最優(yōu)權(quán)。這兩種方法在得到了自適應處理所需的樣本的同時，也損失了陣列孔徑，降低了系統(tǒng)的自由度以及目標的信噪比；文獻[3]針對D3LS存在的孔徑損失問題提出了一種改進的D3LS方法（MD3LS），它首先通過對樣本數(shù)據(jù)進行預處理，形成子陣級輸出，然后通過一個變換矩陣恢復最優(yōu)權(quán)維數(shù)，但它需要精確估計期望信號的復幅度，否則性能會明顯下降。

理想情況下，等距線陣的非相干信號協(xié)方差矩陣具有Toeplitz性質(zhì)。當存在相干源或陣列誤差時，協(xié)方差矩陣不再滿足Toeplitz性，而Toeplitz化可以有效地解相干[4-5]，校正陣列誤差[6]，提高自適應波束形成的穩(wěn)健性[7]。在單快拍情況下，陣列協(xié)方差矩陣的秩為1，顯然不再具有Toeplitz性，鑒于此，本文提出了一種基于Toeplitz化的單快拍穩(wěn)健波束形成方法（簡記為TRB—Toeplitz Robust Beamforimg）。它首先Toeplitz化接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣，然后根據(jù)約束準則得到實際期望信號的導向矢量，利用Capon法得到最優(yōu)權(quán)。該方法既不損失陣列孔徑和自由度，還對陣列誤差具有一定的穩(wěn)健性。

1 研究背景

1.1 信號模型

不失一般性，對信號模型作如下假設[8]：

⑴ 信號源數(shù)小于陣元數(shù)目；

⑵ 信號與噪聲是統(tǒng)計獨立的，且噪聲服從零均值的高斯分布；

⑶ P個信號源為窄帶遠場平面波。

陣列的接收數(shù)據(jù)矢量可以寫成如下形式：

其中，1?tk?L，L為快拍數(shù)，x（tk）=[x1（tk），…，xN（tk）]T，s（tk）=[s1（tk），…，sp（tk）]T和n（tk）=[n1（tk），…，nN（tk）]T分別表示tk時刻的數(shù)據(jù)矢量，信號復包絡和加性高斯白噪聲，（·）T表示轉(zhuǎn)置操作符。a（θi）為導向矢量，且 ，A（θ）=[a（θ1），…，a（θp）]表示陣列流型，d和λ分別為陣元間距和電磁波波長。

簡單起見，用A表示A（θ），k表示tk，則xk，sk，s1k，nk和n1k分別表示x（tk），s（tk），s1（tk），n（tk）和n1（tk）。

在理想情況下，等距線陣接收非相干信號的相關(guān)矩陣[9-10]為：

顯然Rx為Toeplitz矩陣。式中 “（·）H”表示共軛轉(zhuǎn)置，表示信號功率，為噪聲功率。實際中常常用 SMI[10]（采樣協(xié)方差矩陣求逆）算法來估計協(xié)方差矩陣，即

由式⑸可知，此時為秩1矩陣，存在嚴重秩虧，即無法直接應用于自適應波束形成。

1.2 Capon自適應波束形成

最優(yōu)準則為[12]：

2 算法描述（TRB）

Toeplitz預處理[6，8]通常用于解相干源或校正陣列誤差等問題，這里將它應用于單快拍的情況。通過Toeplitz化單快拍協(xié)方差矩陣，使其接近于理想的協(xié)方差矩陣，同時恢復了矩陣的秩。另外協(xié)方差矩陣的Toeplitz化處理還能使其對誤差具有一定的穩(wěn)健性，如陣列的擾動，通道的幅相誤差等。

Toeplitz預處理主要是解決如下的優(yōu)化問題：

其中，RT為所需要的Toeplitz矩陣，ST為Toeplitz矩陣集。關(guān)于⑼式的近似求解有很多種方法，比如Toeplitz近似方法（TOP）、修正的Toeplitz近似方法（MTOP）和迭代的Toeplitz近似方法（ITOP）。由于TOP和MTOP受陣元數(shù)的影響較大，在陣元數(shù)較小的情況下，性能不佳，故這里考慮的是ITOP方法，它的具體步驟為：

其中λav表示小特征值的平均。

由于Capon自適應波束形成要求精確已知期望信號的導向矢量，否則主瓣會指偏，甚至會在期望信號方向出現(xiàn)凹口，導致信號相消。實際中由于各種誤差的存在，期望信號的導向矢量往往不能精確得到。當存在指向誤差時，可以通過式（11）得到實際期望導向矢量的閉式解[13]，解決了對角加載量難確定的問題[14]，即：

其中，Un為協(xié)方差矩陣RIT對應的噪聲子空間，ar，分別為實際的期望導向矢量和理想的期望信號導向矢量。表示將實際期望信號的導向矢量向理想導向矢量的正交補空間投影，約束它最小，即要求實際期望信號的導向矢量盡可能地逼近理想的期望信號導向矢量。

利用拉格朗日乘子法，可得：

式（12）為廣義特征值的形式，實際期望信號的導向矢量ar為矩陣束的主特征值對應的特征矢量。

用ar和分別替代⑺式的a（θd）和，解得最優(yōu)權(quán)為：

本文方法利用接收數(shù)據(jù)直接計算協(xié)方差矩陣，所以不會損失陣列孔徑和系統(tǒng)自由度。另外，Toeplitz化協(xié)方差矩陣還對陣列誤差，如陣元擾動誤差，幅相誤差等具有一定的穩(wěn)健性，所以相對于MD3LS本文方法更加穩(wěn)健。

該算法的流程圖如圖1所示。

3 計算機仿真分析

仿真1：均勻線陣陣元數(shù)為11，陣元間距為半波長，子陣數(shù)為L+1=6個。假設期望信號的波達方向為0?，信噪比SNR=0dB，且與噪聲不相關(guān)。分別考慮非相干干擾和相干干擾兩種情況，干噪比INR=50dB，入射方向為-30?，40?（假設導向矢量精確已知）。

由圖2可知，當不存在指向誤差時，無論是非相干還是相干干擾，MD3LS和ITOP算法都能有效地進行自適應波束形成，而D3LS算法的主波束發(fā)生了畸變，導致期望信號方向增益很低，副瓣很高，這主要是由于其孔徑變小引起的。

仿真2：其余參數(shù)同仿真1，假設存在5?的指向誤差。

從圖3可見，當存在5?指向誤差時，無論是非相干還是相干干擾， ITOP算法仍然有效，而MD3LS和D3LS算法性能很差，在期望信號方向出現(xiàn)了凹口，這主要是由于實際期望信號的導向矢量和理想的不匹配造成的，當指向誤差較小時，主瓣可能指偏，但當指向誤差增大時，會導致期望信號相消。

仿真3：均勻線陣陣元數(shù)為11，陣元間距為半波長，子陣數(shù)為L+1=6個。假設期望信號的波達方向為10?，實際中存在5?的指向誤差，干噪比INR=50dB，入射方向為-30?，40?。分別觀察期望信號方向的增益隨輸入信噪比和不同樣本數(shù)據(jù)的變化。（200次蒙特卡洛實驗）

由圖4（a）可見，當存在指向誤差時，MD3LS和D3LS算法受信噪比影響較大，信噪比越高，期望信號方向增益下降越嚴重，當信噪比為20dB時，分別衰減到-8dB和-18dB，而本文方法對信噪比的變化不敏感，一直保持在7.5dB左右。圖4（b）表明樣本數(shù)據(jù)的選取對期望信號方向的增益影響不大。

仿真4：均勻線陣陣元數(shù)為11，陣元間距為半波長，子陣數(shù)為L+1=6個。假設期望信號的波達方向為10?，信噪比SNR=20dB，干噪比INR=50dB，入射方向為-30?，40?。分別觀察期望信號方向的增益隨幅相誤差和指向誤差的變化曲線。

說明：

由圖5（a）可見，三種算法對幅相誤差都不敏感，但本文方法具有更好性能，保證期望信號方向增益一直保持在理論值附近。圖5（b）表明，MD3LS和D3LS算法受指向誤差的影響較大，隨著指向誤差的增大，期望信號方向增益急劇下降，而本文方法由于對實際期望信號的導向矢量與理想的期望信號導向矢量進行了約束，可以有效地校正指向誤差，所以隨著指向誤差的增大期望信號的增益曲線變化不大。

4 結(jié)束語

實際非均勻非平穩(wěn)環(huán)境中，SMI算法估計協(xié)方差矩陣將失效，采用單快拍或者極少快拍數(shù)實現(xiàn)自適應波束形成為人們的追求?，F(xiàn)有的單快拍算法多是基于空間平滑原理提出的，利用空間平滑對數(shù)據(jù)矩陣進行重構(gòu)，其缺點是損失陣列孔徑和系統(tǒng)自由度。本文利用了理想情況下等距線陣非相干源信號協(xié)方差矩陣的Toeplitz性質(zhì)，提出了基于Toeplitz化的單快拍穩(wěn)健波束形成方法。首先直接利用接收數(shù)據(jù)形成協(xié)方差矩陣，然后對其進行Toeplitz預處理，考慮到實際中可能存在指向誤差，對實際期望信號的導向矢量和標稱值進行約束，得到實際期望信號的導向矢量，再利用LCMV準則進行波束形成。該方法充分利用了陣列孔徑和自由度，同時，對陣列誤差具有一定的穩(wěn)健性。仿真實驗驗證了該算法的有效性。

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