朱西芳

線性規(guī)劃在近幾年的高考中備受青睞，而解決線性規(guī)劃問題的基礎(chǔ)是找出由線性（或非線性）約束條件確定的區(qū)域.教科書中給出了用特殊點(diǎn)尋找平面區(qū)域的方法，就是“直線定界，特殊點(diǎn)定域”，特殊點(diǎn)定域即利用“同則同域，異則異域”的思想.波利亞在《怎樣解題》中指出：“解題中的成功有賴于選擇正確的方面，有賴于從好接近的一側(cè)攻擊堡壘.為了找出哪個(gè)方面是正確的方面，哪一側(cè)是好接近的一側(cè)，我們從各個(gè)方面、各個(gè)側(cè)邊去試驗(yàn).”筆者在教學(xué)實(shí)踐中另辟蹊徑，從另一側(cè)找到了判斷平面區(qū)域的方法.

引理1：對(duì)于二元一次不等式Ax+By+C>0，若B>0，則其不等式所表示的平面區(qū)域?yàn)橹本€Ax+By+C=0的上方.

證明：設(shè)點(diǎn)為直線Ax+By+C=0上任一點(diǎn)，過點(diǎn)M作平行于y軸的直線，在點(diǎn)M的上方任意取一點(diǎn)N（x，y），都有x=x■，y>y■.

∵Ax■+By■+C=0，By■=-Ax■-C=-Ax-C

又∵y0，

∴By■

∴-Ax-C

即Ax+By+C>0，

因?yàn)辄c(diǎn)M（x■，y■）為直線上任意點(diǎn)，所以對(duì)于直線Ax+By+C=0上方的任一點(diǎn)（x，y），Ax+By+C>0都成立.

由此在平面直角坐標(biāo)系中，以二元一次不等式的解為坐標(biāo)的點(diǎn)的集合{（x，y）|Ax+By+C>0}是在直線上方的平面區(qū)域.

同理還可以得到以下性質(zhì)：

引理2：對(duì)于二元一次不等式Ax+By+C>0，若B<0，則其不等式所表示的平面區(qū)域?yàn)橹本€Ax+By+C=0的下方.

引理3：對(duì)于二元一次不等式Ax+By+C<0，若B>0，則其不等式所表示的平面區(qū)域?yàn)橹本€Ax+By+C=0的下方.

引理4：對(duì)于二元一次不等式Ax+By+C<0，若B<0，則其不等式所表示的平面區(qū)域?yàn)橹本€Ax+By+C=0的上方.

對(duì)以上性質(zhì)進(jìn)行比較研究不難得到以下定理（為了便于總結(jié)，不妨把“>”理解為正，“<”理解為負(fù)）：

定理：對(duì)于二元一次不等式Ax+By+C>0（或Ax+By+C<0），當(dāng)B的符號(hào)（正負(fù)性）與不等號(hào)“>”或“<”的符號(hào)相同時(shí)，其不等式表示的平面區(qū)域必在直線的上方；當(dāng)B的符號(hào)與不等號(hào)“>”或“<”的符號(hào)不同時(shí)，其不等式表示的平面區(qū)域必在直線的下方.上下方與A的符號(hào)無關(guān).

與復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷——同增異減一樣，我們可以把上面的定理簡(jiǎn)化為“同上異下”.

利用這個(gè)原則，在解有些題時(shí)可不用畫圖直接出答案，提高了解題速度；在解有些題時(shí)在圖上能很快判斷出平面區(qū)域.

例1：不等式2x-y-4<0表示的平面區(qū)域在直線2x-y-4=0的？搖 ？搖方.

解：因?yàn)閥的系數(shù)與“<0”的符號(hào)相反，根據(jù)“同上異下”原則空格處應(yīng)填“上”.

例2：已知ax+（a+x）y-3>0表示的平面區(qū)域是在直線ax+（a+x）y-3=0的下方，求a的取值范圍.

分析：此題用常規(guī)方法是：先取特殊點(diǎn)原點(diǎn)帶入，判斷出原點(diǎn)一定在對(duì)應(yīng)直線上方，再討論斜率，畫出直線的兩種可能性，然后利用截距的符號(hào)得出a的取值范圍.由于要分多種情況因而增加了題目的難度.但是如果用“同上異下”的原則，就很容易判斷出a的取值范圍.

解：因?yàn)橐阎钠矫鎱^(qū)域是在直線ax+（a+x）y-3=0的下方，所以y的系數(shù)的正負(fù)性與“>0”所表示的正號(hào)相反，即a+2<0，a<-2.

例3：用三條直線x+2y-2=0，2x+y-2=0，x-y-3=0圍成一個(gè)三角形，試寫出三角形內(nèi)部區(qū)域滿足的不等式組.

解：∵平面區(qū)域?yàn)槿切蔚膬?nèi)部區(qū)域，∴所求的不等式不能取“=”.

在平面直角坐標(biāo)系中畫出三條直線（如圖），得到三角形內(nèi)部區(qū)域?yàn)槿鐖D的△ABC的內(nèi)部.

因?yàn)槠矫鎱^(qū)域在直線x+2y-2=0的下方，在直線2x+y-2=0的下方，在直線x-y-3=0的上方，

所以由“同上異下”原則得到不等式組為：

x+2y-2<02x+y-2>0x-y-3<0

例4：（2007，浙江）設(shè)為實(shí)數(shù)，若{（x，y）|x-2y+5≥03-x≥0mx+y≥0}？哿{（x，y）}|x■+y■≤25|，則m的取值范圍是？搖？搖 ？搖？搖？搖？搖.

解析：題中所給的集合關(guān)系為兩個(gè)點(diǎn)集關(guān)系，數(shù)形結(jié)合，畫出其對(duì)應(yīng)圖形，在畫圖中唯一的麻煩是mx+y≥0是不容易確定，但利用“同上異下”原則加上對(duì)應(yīng)直線過原點(diǎn)這一定點(diǎn)，mx+y≥0所表示的平面區(qū)域必在直線mx+y=0的上方，由于第一個(gè)集合所表示的平面區(qū)域一定要在原點(diǎn)為圓心，5為半徑的圓上或圓內(nèi)，因此直線mx+y=0的斜率-m≤0，又點(diǎn)C（3，-4）對(duì)應(yīng)的斜率K■=-■，剛剛滿足，所以-m≤-■.

從而可得0≤m≤■.

參考文獻(xiàn)：

[1]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修5.

[2]波利亞.怎樣解題.

[3]唐紹友.線性規(guī)劃問題在高考中的走向.