郭立強(qiáng)，朱 明

（1.淮陰師范學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇淮安223300；2.中國(guó)科學(xué)院長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林長(zhǎng)春130033）

彩色圖像處理的可交換Clifford代數(shù)方法

郭立強(qiáng)1，2*，朱 明2

（1.淮陰師范學(xué)院計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇淮安223300；2.中國(guó)科學(xué)院長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林長(zhǎng)春130033）

采用可交換Clifford代數(shù)對(duì)彩色圖像建模，充分利用彩色圖像作為一個(gè)整體所具有的潛在顏色信息，實(shí)現(xiàn)彩色圖像各顏色分量的并行處理，可完成彩色圖像的整體處理。本文分析了彩色圖像的表示方法，系統(tǒng)研究了一類可交換Clifford代數(shù)—，定義了上元素的四則運(yùn)算規(guī)則、單位元、逆元、共軛、范數(shù)等。給出了基于可交換Clifford代數(shù)的彩色圖像表示方法，并介紹了一個(gè)架構(gòu)下的彩色圖像處理實(shí)例：彩色圖像邊緣檢測(cè)。與傳統(tǒng)的四元數(shù)彩色圖像表示方法相比，本文所提出的方法最大限度地去除了數(shù)據(jù)冗余，其算法復(fù)雜度也大大降低。結(jié)果顯示，基于可交換Clifford代數(shù)的彩色圖像表示方法可以應(yīng)用到彩色圖像處理中。

彩色圖像；圖像處理；可交換性；Clifford代數(shù)

1 引 言

數(shù)字圖像處理已有近半個(gè)世紀(jì)的研究歷史，但傳統(tǒng)的圖像處理技術(shù)大多關(guān)注灰度或二值圖像處理。近十幾年來(lái)，傳感器技術(shù)的發(fā)展使得獲取、處理及存儲(chǔ)彩色圖像變得更加容易，在計(jì)算機(jī)視覺(jué)與模式識(shí)別、生物醫(yī)學(xué)工程等領(lǐng)域中，圖像中的顏色信息發(fā)揮了更重要的作用，彩色圖像處理技術(shù)也越來(lái)越多地受到廣大科研人員的重視［1-6］。

彩色圖像處理大體上有3種方法：

第一種方法就是把彩色圖像轉(zhuǎn)換成灰度圖像，利用比較成熟的灰度圖像處理算法來(lái)間接地實(shí)現(xiàn)彩色圖像處理。這種處理方法直接導(dǎo)致了彩色圖像顏色信息的丟失，不利于后續(xù)的工程應(yīng)用。

第二種方法采用分而治之的思想，即對(duì)于特定的彩色圖像處理任務(wù)，先選用合適的顏色模型（如RGB、HSI、CMY、YCrCb等），把彩色圖像在顏色空間按顏色分量進(jìn)行分解來(lái)得到多個(gè)單通道圖像。分解得到的單通道信息可以用灰度圖像來(lái)描述，對(duì)每一通道圖像用已有的灰度圖像處理算法進(jìn)行處理。目前，基于分通道的彩色圖像處理的文獻(xiàn)較多，但是，這方面已沒(méi)有更新的理論突破。況且，對(duì)彩色圖像按某一顏色模型進(jìn)行分解，對(duì)各通道圖像的處理以及最后對(duì)結(jié)果的融合過(guò)程中不可避免地發(fā)生信息丟失，整個(gè)處理過(guò)程是將彩色圖像割裂開(kāi)來(lái)進(jìn)行的，忽略了彩色圖像各分量間的內(nèi)在聯(lián)系，不能體現(xiàn)彩色圖像像素作為一個(gè)整體所具有的色彩關(guān)聯(lián)性。

第三種方法就是整體轉(zhuǎn)換算法。簡(jiǎn)言之，不論采用什么顏色模型來(lái)表征彩色圖像，都把彩色圖像看成一個(gè)整體（類似于向量），對(duì)其進(jìn)行直接處理。這種方法的理論還并不完善，這主要是由于多通道數(shù)據(jù)的矢量信號(hào)處理理論尚未完全建立，仍有許多潛力可挖。目前比較成熟的模型是四元數(shù)理論，即用四元數(shù)來(lái)表征彩色圖像并進(jìn)行相應(yīng)的處理［7-15］。

在基于四元數(shù)的彩色圖像矩不變量構(gòu)造過(guò)程中，彩色圖像是以純四元數(shù)的形式進(jìn)行建模，即：

I（x，y）=IR（x，y）·i+IG（x，y）·j+

式中，IR（x，y）、IG（x，y）和IB（x，y）分別是彩色圖像I（x，y）的R、G和B顏色分量；i、j和k為3個(gè)相互正交的虛部算子，滿足如下乘法規(guī)則：

用四元數(shù)來(lái)表征彩色圖像的像素存在著數(shù)據(jù)冗余以及計(jì)算量大的缺點(diǎn)。冗余性體現(xiàn)在：四元數(shù)由1個(gè)實(shí)部和3個(gè)虛部構(gòu)成，而彩色圖像只有3個(gè)顏色分量。用3個(gè)虛部來(lái)表征彩色圖像，經(jīng)過(guò)一系列運(yùn)算后，其數(shù)值結(jié)果是包含實(shí)部的一個(gè)四元數(shù)。計(jì)算量大體現(xiàn)在：一次四元數(shù)乘法是由十六次實(shí)數(shù)乘法和十二次實(shí)數(shù)加法構(gòu)成。另外，由式（3）可知，四元數(shù)的乘法運(yùn)算不滿足交換律，不利于快速算法的設(shè)計(jì)。

為了解決四元數(shù)方法所固有的缺點(diǎn)，需要找到更好的數(shù)學(xué)模型來(lái)對(duì)彩色圖像進(jìn)行建模。本文研究了可交換Clifford代數(shù)（Clcom2），定義了Clcom2上元素的四則運(yùn)算規(guī)則、單位元、逆元、共軛、范數(shù)等，給出了基于可交換Clifford代數(shù)的彩色圖像表示方法。與傳統(tǒng)的四元數(shù)彩色圖像表示方法相比，本文所提出的方法最大限度地去除了數(shù)據(jù)冗余，同時(shí)其算法復(fù)雜度也大大降低。

2 可交換Clifford代數(shù)

本節(jié)系統(tǒng)研究了二維可交換Clifford代數(shù)及其相關(guān)知識(shí)。首先看一下Clifford代數(shù)的定義。

2.1 Clifford代數(shù)

近年來(lái)，Clifford代數(shù)已逐漸被工程技術(shù)領(lǐng)域的科研人員所重視［16-24］。Clifford代數(shù)又稱為幾何代數(shù)，由W.K.Clifford于1878年提出。Clifford代數(shù)結(jié)合了Hamilton的四元數(shù)和Grassmann的擴(kuò)張代數(shù)，能夠進(jìn)行高維的幾何計(jì)算。

對(duì)于整數(shù)n，［n］=｛1，2，……，n｝，［n］的冪集記為2［n］。Clifford代數(shù)定義如下：

定義1.對(duì)于n≥1的整數(shù)，2n維代數(shù)Clp，q，（p+q=n）定義為由｛ei|i=1，2，…，n｝生成的結(jié)合代數(shù)。其中，e0=eφ=1∈R，ei滿足如下乘法規(guī)則：

Clifford代數(shù)的乘法是由2［n］的子集按字典順序形成：

上述定義中，由集合｛1，e1e2，e1e3，e2e3｝生成的空間同構(gòu)于四元數(shù)空間，也就是說(shuō)，Clifford代數(shù)本身是四元數(shù)的高維推廣，四元數(shù)是一類特殊的Clifford代數(shù)［17］。

由式（4）可知，Clifford代數(shù)的乘法運(yùn)算不滿足交換律。為了減少Clifford代數(shù)在工程應(yīng)用中算法復(fù)雜度高的缺點(diǎn)，研究的重點(diǎn)集中在一類具有可交換性質(zhì)（乘法運(yùn)算滿足交換律）的Clifford代數(shù)上。

2.2 可交換Clifford代數(shù)的定義

可交換Clifford代數(shù)定義如下：

定義2.可交換Clifford代數(shù)。在定義1的基礎(chǔ)上，對(duì)于i=1，2，…，n，令

由式（4）可知，

同時(shí)定義：

由式（8）和（9）可知，“εi”的乘法運(yùn)算滿足交換律。記是由集合

由式（12）可以看出，f與g的乘法運(yùn)算結(jié)果只含有ε1、ε2和ε12分量，沒(méi)有多余的分量產(chǎn)生。

因此，二維可交換Clifford代數(shù)克服了以往四元數(shù)在進(jìn)行彩色圖像建模所體現(xiàn)出來(lái)的數(shù)據(jù)冗余性。

式（12）中：

同理，有

此外，

由式（13）～（15）可以看出，ε12是上的單位元。

式（17）中，Δ定義如下：

由式（19）得到如下方程組：

對(duì)上述方程組求解便得到式（17）中各個(gè)分量的值。上述方程組有解的前提是Δ≠0，因此并不是Cl

2com中所有的元素都存在共軛。由此，Cl2com上元素f的逆元定義為：

式中，IR（x，y）、IG（x，y）和IB（x，y）分別是彩色圖像的R、G和B顏色分量。

具體地，把彩色圖像的R、G和B顏色分量分別賦給二維可交換Clifford代數(shù)的ε1、ε2和ε12分量，把彩色圖像以可交換Clifford代數(shù)值矩陣的形式進(jìn)行重新表示。圖像的各個(gè)像素都賦予了一個(gè)可交換Clifford代數(shù)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。

通過(guò)以上敘述，利用二維可交換Clifford代數(shù)實(shí)現(xiàn)了彩色圖像的建模，該方法最大限度地降低了數(shù)據(jù)冗余性?？山粨QClifford代數(shù)中的一次乘法運(yùn)算是由九次實(shí)數(shù)乘法和六次實(shí)數(shù)加法構(gòu)成，相對(duì)于四元數(shù)的乘法運(yùn)算，其計(jì)算量明顯降低。同時(shí)，可交換Clifford代數(shù)的乘法運(yùn)算滿足交換律，這樣一來(lái)在具體的編程計(jì)算過(guò)程中，其計(jì)算復(fù)雜度遠(yuǎn)低于四元數(shù)。

3 應(yīng) 用

3.1 可交換Clifford卷積

則二維可交換Clifford卷積由式（25）給出。

式（25）與傳統(tǒng)卷積的表達(dá)式一樣，所不同的是f（x，y）和h（x，y）是取值于，并且積分結(jié)果也是一個(gè)二維可交換Clifford代數(shù)。

3.2 彩色圖像邊緣檢測(cè)

把彩色圖像以二維可交換Clifford代數(shù)的形式進(jìn)行表示，把它與邊緣檢測(cè)模板進(jìn)行可交換Clifford卷積運(yùn)算，把卷積結(jié)果進(jìn)行適當(dāng)?shù)臍w一及閾值化處理便可得到邊緣圖像。

x軸和y軸方向的邊緣檢測(cè)模板定義如下：

彩色圖像邊緣檢測(cè)流程圖如圖1所示，把彩色圖像與式（26）和（27）的模板進(jìn)行卷積運(yùn)算得到x軸和y軸方向的邊緣信息Ex和Ey，然后計(jì)算接下來(lái)以E（x，y）中的最大值對(duì)其進(jìn)行歸一化處理。本文中，閾值為0.2，對(duì)E（x，y）逐像素點(diǎn)進(jìn)行比較，凡是范數(shù)值大于0.2的像素點(diǎn)標(biāo)記為邊緣點(diǎn)，最終遍歷E（x，y）中的所有值得到邊緣圖像。

圖2是對(duì)經(jīng)典的彩色圖像進(jìn)行邊緣檢測(cè)得到的結(jié)果。從圖2中的三組實(shí)驗(yàn)可以看出基于可交換Clifford卷積的彩色圖像邊緣檢測(cè)算法基本上能夠檢測(cè)出彩色圖像中的有效邊緣。

圖1 邊緣檢測(cè)流程圖Fig.1 Block diagram of edge detection

圖2 彩色圖像邊緣檢測(cè)試驗(yàn)Fig.2 Experiment of color edge detection

4 結(jié) 論

針對(duì)四元數(shù)方法對(duì)彩色圖像進(jìn)行建模所帶來(lái)的數(shù)據(jù)冗余及計(jì)算量大的缺點(diǎn)，本文提出了基于二維可交換Clifford代數(shù)的彩色圖像表示方法。此外，本文還給出了上元素的四則運(yùn)算規(guī)則、單位元、逆元、共軛、范數(shù)等。最后給出了基于二維可交換Clifford代數(shù)的應(yīng)用：彩色圖像邊緣檢測(cè)。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果來(lái)看，本文算法能夠有效地檢測(cè)出圖像中的彩色邊緣。未來(lái)的工作將繼續(xù)深入研究基于二維可交換Clifford代數(shù)的彩色圖像處理算法。

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Commutative Clifford algebramethod for color image processing

GUO Li-qiang1，2*，ZHU Ming2
（1.School of Computer Science and Technology，Huaiyin Normal University，Huaian 223300，China；2.Changchun Institute of Optics，F(xiàn)ine Mechanics and Physics，Chinese Academy of Sciences，Changchun 130033，China）
*Corresponding author，E-mail：math_circuit@qq.com

By using the commutative Clifford algebramethod tomodel for a color image，the parallel processing of R，G and B components in the color image can be realized in a holisticmanner and the integrating processing for the color image can be implemented.This paper reviews the progress of color imagemodeling，researches a type of commutative Clifford algebra，namely Clcom2and gives the definitions of the arithmetic operations，unit element，inverse element，conjugation，and the norm for the commutative Clifford algebra.Then，it describes the expression of the color image based on the commutative Clifford algebra and introduces an application example of thismethod：the edge detection of color image.In comparison with the quaternion-based color imagemodeling，the proposed method can remove the data redundancy and reduce the computational complexity to the utmostextent.The proposed color imagemodelingmethod can be applied in color image processing tasks as a useful tool.

color image；image processing；commutativity；Clifford algebra

TP391.4

A

10.3788/CO.20130606.0885

郭立強(qiáng)（1982—），男，吉林汪清人，副教授，2011年于中國(guó)科學(xué)院長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所獲得博士學(xué)位，主要從事圖像處理、計(jì)算機(jī)視覺(jué)與模式識(shí)別方面的研究。E-mail：math_circuit@ qq.com

朱 明（1964—），男，江西南昌人，研究員，博士生導(dǎo)師，1991年于中國(guó)科學(xué)院長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所獲得碩士學(xué)位，主要從事視頻圖像處理、光電成像測(cè)量技術(shù)、自動(dòng)目標(biāo)識(shí)別與電視跟蹤等方面的研究。E-mail：zhu_mingca@163.com

1674-2915（2013）06-0885-07

2013-09-21；

2013-11-23

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（No.61203242；No.60902067.）；吉林省重大科技攻關(guān)資助項(xiàng)目（No. 11ZDGG001）