孫宏海，劉艷瀅

（1.中國(guó)科學(xué)院長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所航空光學(xué)成像與測(cè)量中國(guó)科學(xué)院重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，吉林長(zhǎng)春130033；2.中國(guó)科學(xué)院長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林長(zhǎng)春130033）

改進(jìn)的盲解卷積技術(shù)在遠(yuǎn)距離激光光斑圖像復(fù)原中的應(yīng)用

孫宏海1，2*，劉艷瀅2

（1.中國(guó)科學(xué)院長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所航空光學(xué)成像與測(cè)量中國(guó)科學(xué)院重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，吉林長(zhǎng)春130033；2.中國(guó)科學(xué)院長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林長(zhǎng)春130033）

為了提高外場(chǎng)實(shí)驗(yàn)中遠(yuǎn)距離測(cè)量激光光斑位置的精度，提出利用盲解卷積技術(shù)對(duì)光斑圖像進(jìn)行事后復(fù)原來削弱大氣湍流對(duì)光斑成像的影響。首先，介紹了經(jīng)典盲解卷積算法，分析了其不足之處，并提出了一種改進(jìn)的盲解卷積算法。為了提高目標(biāo)函數(shù)的收斂性和收斂速度，在TV（Total Variation）目標(biāo)函數(shù)加入懲罰項(xiàng)，并對(duì)交替迭代法進(jìn)行改進(jìn)。然后，用數(shù)學(xué)方法證明了改進(jìn)的盲解卷積算法的收斂性。最后，進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)。與傳統(tǒng)算法相比，用改進(jìn)算法恢復(fù)的圖像信噪比至少提升了15%。文中給出了外場(chǎng)試驗(yàn)圖像的實(shí)際復(fù)原效果。

圖像復(fù)原；盲解卷積；TV算法；大氣湍流；激光光斑

1 引 言

在激光半主動(dòng)末制導(dǎo)導(dǎo)彈、炮彈及炸彈等武器系統(tǒng)外場(chǎng)試驗(yàn)時(shí)，常常利用激光照射器監(jiān)測(cè)系統(tǒng)對(duì)激光照射器照射光斑的時(shí)序特性和空間特性進(jìn)行監(jiān)測(cè)，以檢驗(yàn)激光照射器照射目標(biāo)的精度。外場(chǎng)實(shí)驗(yàn)時(shí)，大氣湍流擾動(dòng)會(huì)使大氣介質(zhì)的折射系數(shù)發(fā)生隨機(jī)波動(dòng)，使激光光束在傳播過程中發(fā)生光學(xué)波前失真，產(chǎn)生光束漂移和光強(qiáng)閃爍等現(xiàn)象，嚴(yán)重影響激光光束在大氣中遠(yuǎn)距離傳播后的激光光斑成像質(zhì)量。紅外傳感器可以觀測(cè)到激光光斑圖像明顯的模糊退化現(xiàn)象。自適應(yīng)光學(xué)技術(shù)［1］是消除大氣湍流對(duì)成像影響有效方法之一。在典型的自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)中，通過波前探測(cè)器探測(cè)到光學(xué)波前失真，控制系統(tǒng)驅(qū)動(dòng)變形鏡對(duì)畸變波前進(jìn)行補(bǔ)償，實(shí)時(shí)校正波前，可消除大氣擾動(dòng)。天文等領(lǐng)域的一些應(yīng)用經(jīng)常使用自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)對(duì)模糊退化進(jìn)行補(bǔ)償，但是自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，造價(jià)昂貴，故有些應(yīng)用利用價(jià)格低廉的部分補(bǔ)償系統(tǒng)，但這種系統(tǒng)會(huì)導(dǎo)致相位錯(cuò)誤。為解決上述問題，本文提出采用盲解卷積技術(shù)對(duì)激光光斑圖像進(jìn)行事后圖像復(fù)原，削弱大氣湍流對(duì)光斑圖像的影響，從而提高計(jì)算激光光斑位置的精度。

2 盲解卷積介紹

在成像應(yīng)用中，一幅觀測(cè)到的圖像，如果忽略加性噪聲，可以認(rèn)為是源圖像f（x，y）和點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)h（x，y）的卷積：

式中，?表示卷積算子。若用這些函數(shù)相應(yīng)的大寫字母表示其傅里葉變換，那么式（1）的傅里葉變換可以表示為：

解卷積圖像復(fù)原方法應(yīng)用很廣泛，例如天文光斑成像、遙感成像、醫(yī)學(xué)成像等。在大多數(shù)情況下，點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)h（x，y）都作為先驗(yàn)條件，這就是經(jīng)典線性圖像復(fù)原問題。解決這類問題的解卷積方法很多［2］，如逆濾波、維納濾波、最小二乘濾波、遞歸卡爾曼濾波、約束迭代解卷積等。但是在解決實(shí)際問題時(shí)，點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)通常很難精確地計(jì)算或測(cè)量；由于點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的隨機(jī)抖動(dòng)很難定性，因此也無法精確建模。在實(shí)時(shí)圖像處理中，點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)不能預(yù)先確定，而用于退化估計(jì)的在線識(shí)別技術(shù)也將會(huì)導(dǎo)致嚴(yán)重的錯(cuò)誤。而且關(guān)于源圖像的可用信息也不多，想要獲得關(guān)于成像目標(biāo)的先驗(yàn)信息在物理上講，通常是不可能的。例如在遙感和天文應(yīng)用中，很難通過統(tǒng)計(jì)對(duì)原始圖像建模，或者是得到之前從未觀測(cè)過的目標(biāo)確切信息。將點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)和待恢復(fù)的未知圖像從卷積g（x，y）中估計(jì)出來，這類估計(jì)問題就是所謂的盲解卷積問題，在改善圖像質(zhì)量方面有廣泛應(yīng)用。

經(jīng)典盲解卷積方法有Ayers和Dainty提出迭代盲解卷積算法［3］（Iterative Blind Deconvolution，IBD），該算法通過迭代循環(huán)估計(jì)出源圖像，但是在求逆時(shí)會(huì)產(chǎn)生較大的誤差，而且使用“最陡下降法”進(jìn)行搜索，收斂性較差。McCallum的模擬退火算法（Simulated Annealing，SA）［4］能夠在噪聲存在的條件下給出合理的解，其主要缺點(diǎn)是目標(biāo)函數(shù)全局最小化的收斂速率很慢，算法的收斂速率在很大程度上依賴于溫度參數(shù)下降的速率，為了得到一個(gè)優(yōu)秀解往往需要經(jīng)過長(zhǎng)時(shí)間的運(yùn)算。以后Kundur提出了NAS-RIF（Nonnegativity and Support constraints Recursive Inverse Filtering）算法［5］，該算法的優(yōu)點(diǎn)在于能夠保證在噪聲存在的條件下收斂于全局最小值解，而且收斂速度要比IBD算法快得多，但是該方法需要額外的約束條件支持，限制了應(yīng)用范圍。TV（Total Variation）方法由Rudin［6］首先提出并用于圖像去噪，此后Tony等人［7］將TV方法用于圖像復(fù)原，基本形式為：

式中，Di是正則化算子，權(quán)值取常數(shù)合并到正則化參數(shù)α1和α2中。Dif和Djh表示源圖像和點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的離散梯度，其他一般微分算子（如Tikhonov-like算子）雖然可以將目標(biāo)函數(shù)最小化問題轉(zhuǎn)化成較為簡(jiǎn)單的線性系統(tǒng)方程求解問題，但是通常恢復(fù)后的源圖像過于平滑，很難保存圖像的某些特性，如明顯的邊緣等信息。但是由于TV函數(shù)的不可微和非線性等特點(diǎn)，對(duì)于式（3）的求解是困難的。上述方法為單幀盲解卷積方法，也可以利用多幀圖像盲解卷積，但是在盲解前需要對(duì)多幀圖像進(jìn)行配準(zhǔn)［8］，也可以對(duì)多幀圖像中的目標(biāo)進(jìn)行預(yù)測(cè)［9］，對(duì)圖像頻域添加新的約束［10］等方法。本文中需要復(fù)原的是光斑目標(biāo)邊緣，而且只能夠利用單幀信息，因此本文對(duì)傳統(tǒng)TV方法進(jìn)行了改進(jìn)，并通過數(shù)學(xué)證明求得的改進(jìn)的TV方法的解是收斂的。

3 改進(jìn)的盲解卷積算法

3.1 目標(biāo)函數(shù)的建立

為了提高目標(biāo)函數(shù)的收斂速度和收斂性，采用懲罰機(jī)制對(duì)TV正則化方法進(jìn)行改進(jìn)，改進(jìn)后的算法稱為PTV（Penalized Total Variation），如下式所示：

改進(jìn)的算法中引入加入兩個(gè)變量u和v，β為懲罰系數(shù)；式（4）和式（5）中第一項(xiàng)為懲罰項(xiàng)；目標(biāo)函數(shù)可以定義為：

3.2 交替最小化方法

由于懲罰項(xiàng)的引入，增加了兩個(gè)新的變量，交替最小化方法也進(jìn)行相應(yīng)的改進(jìn)，基本步驟為：

（1）給定初始值f00、h00及允許誤差ε；

（2）求h0使得下式取最小值：

①利用初始值h00求v0，使得下式取最小值：

求解可得：

②利用得到的v0求h01，使得下式取最小值：

求解可得：

③驗(yàn)證是否滿足PTV（v0，h01）＜ε，如果不滿足該條件則繼續(xù)循環(huán)；若滿足則使h0=h0n，繼續(xù)進(jìn)行下一步算法。

（3）求f1使得下式取最小值：

①利用初始值f10=f00求u0，使得下式取最小值：

求解可得：

②利用得到的u0求f11，使得下式取最小值：

求解可得：

③驗(yàn)證是否滿足PTV（u0，f11）＜ε，如果不滿足該條件則繼續(xù)循環(huán)；若滿足則使f1=f1n，繼續(xù)進(jìn)行下一步算法。

（4）將f1和h0代入目標(biāo)函數(shù)（6）中，驗(yàn)證其是否滿足L（f1，h0）＜ε，如果不滿足則繼續(xù)循環(huán)；若滿足則停止循環(huán)。

改進(jìn)的交替最小化算法中，“*”代表復(fù)共軛，“?”代表逐個(gè)元素取乘積。隨著β→∞，式（6）的解收斂于式（3）的解。下面將證明對(duì)于一個(gè)固定值β＞0改進(jìn)交替迭代算法的收斂性。

3.3 改進(jìn)交替迭代算法的收斂性

不難發(fā)現(xiàn)，改進(jìn)交替迭代算法的收斂性等價(jià)于下面兩個(gè)問題的收斂性：

下面以證明式（17）的收斂性為例，即證明由上述改進(jìn)交替迭代算法得到的序列｛（uk，fk）｝收斂到式（17）的解。定義一個(gè)收縮算子s：?2→?2，對(duì)于任意a∈?2，有：

如果定義0?（0/0）=0，可以得到：

交換a，b可得：

將兩式相加得：

因此從式（20）可以得到：

如果‖s（a）-s（b）‖=‖a-b‖，那么P（a）=P（b），s（a）-s（b）=a-b-（P（a）-P（b））。

定義兩個(gè)正定對(duì)稱矩陣：

定義一個(gè)線性算子p：?2n→?2n2使得：

由于目標(biāo)函數(shù)（17）是凸的、有下限界的，因此至少有一個(gè)最小化對(duì)（u*，f*）使得目標(biāo)函數(shù)值隨著交替最小化迭代的進(jìn)行不再繼續(xù)減小，則必須滿足：

由式（29）可知序列｛uk｝位于一個(gè)緊集中，因此至少存在一個(gè)點(diǎn)，。設(shè)?為S?p的不動(dòng)點(diǎn)即?=S?p（?），于是可得：

因此存在下面的極限：

這意味著所有｛uk｝的極限點(diǎn)和?的距離都相等，由S?p的連續(xù)性可知：

因此S?p（u*）是｛uk｝的一個(gè)極限點(diǎn)，和u*同樣與?的距離相等：

因?yàn)?是S?p任意不動(dòng)點(diǎn)，用u*替換?，即可建立｛uk｝的收斂性：。同樣對(duì)于序列｛fk｝也將按式（28）收斂于某個(gè)f*，因此（u*，f*）滿足式（29）和式（30），是式（6）的一個(gè)解。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論

本文提出一種改進(jìn)盲解卷積迭代算法用于事后圖像復(fù)原，本小節(jié)進(jìn)行一些仿真實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證算法的性能。這里采用Lena和Cameraman作為原始參考圖像，并設(shè)計(jì)兩個(gè)高斯函數(shù)作為使參考圖像退化的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)（Point Spread Function，PSF），如圖1所示。

圖1 仿真實(shí)驗(yàn)原始圖像和點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)Fig.1 Original images and PSFs

試驗(yàn)方法為：利用方差為9和5的高斯點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)對(duì)參考圖像進(jìn)行高斯模糊處理；為了驗(yàn)證算法抗噪聲能力，同時(shí)加入模糊信噪比（Blured Signal Noise Ratio，BSNR）為40和20 dB的高斯加性噪聲，結(jié)果如圖2所示。

為了與采用不同事后圖像復(fù)原算法處理圖像進(jìn)行恢復(fù)質(zhì)量比較，采用以下準(zhǔn)則：

（1）均方根誤差準(zhǔn)則，假設(shè)圖像大小為M× N，則參考圖像R和復(fù)原圖像F之間的均方根誤差為：

圖2 觀測(cè)圖像Fig.2 Observed images

均方根誤差值越小，說明算法所復(fù)原圖像質(zhì)量越好。

（2）互信息準(zhǔn)則，復(fù)原圖像F和參考圖像R的互信息為：

式中，PR為參考圖像R的概率密度，PF為復(fù)原圖像F的概率密度，PR，F(xiàn)為F和R的聯(lián)合概率密度，L為灰度級(jí)數(shù)?；バ畔⒃酱?，復(fù)原圖像的質(zhì)量越好。

（3）改善信噪比（Improvement in Signal-to-Noise Ratio，ISNR）準(zhǔn)則，反映了圖像的恢復(fù)質(zhì)量，改善信噪比值越大，表示圖像復(fù)原質(zhì)量越好。

式中，f，g，u分別代表源圖像、觀測(cè)圖像和復(fù)原圖像。

圖3 恢復(fù)圖像Fig.3 Restored images

在本文實(shí)驗(yàn)中，使用觀測(cè)圖像作為初始迭代圖像，使用δ函數(shù)作為初始點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)。提出本文迭代算法約束條件，將迭代過程中點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)和迭代圖像負(fù)值部分設(shè)置為零，迭代結(jié)束條件ε設(shè)定為1×10-4。得到改進(jìn)算法恢復(fù)的圖像如圖3所示。

表1～4所示為利用IBD算法、TV算法，及本文提出的改進(jìn)算法恢復(fù)的圖像結(jié)果，從表1～4中統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以看出，本文提出的算法恢復(fù)圖像的效果都有明顯的提升，其中信噪比至少提高15%以上。

表1 高斯點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)方差為9的Lena圖像復(fù)原與其它算法結(jié)果的比較Tab.1 Comparison of restored image Lena w ith different algorithm s（PSF variation is 9）

表2 高斯點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)方差為5的Lena圖像復(fù)原與其它算法結(jié)果的比較Tab.2 Comparison of restored image Lena w ith different algorithm s（PSF variation is 5）

表3 高斯點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)方差為9的Cameraman圖像復(fù)原與其它算法結(jié)果的比較Tab.3 Comparison of restored image Cameraman w ith different algorithms（PSF variation is 9）

表4 高斯點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)方差為5的Cameraman圖像復(fù)原與其它算法結(jié)果的比較Tab.4 Comparison of restored image Cameraman w ith different algorithms（PSF variation is 5）

從以上數(shù)據(jù)比較可以看出，本文提出的算法可以很好地復(fù)原仿真圖像。下面利用該算法對(duì)實(shí)際外場(chǎng)采集的激光光斑圖像進(jìn)行復(fù)原，結(jié)果如圖4所示。

圖4 外場(chǎng)光斑圖像復(fù)原結(jié)果Fig.4 Restoration results of spot image

5 結(jié) 論

本文設(shè)計(jì)了一種改進(jìn)的盲解卷積方法，并從數(shù)學(xué)上證明了算法收斂性。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，和經(jīng)典盲解算法相比，改進(jìn)方法的性能具有一定的優(yōu)越性；從實(shí)際外場(chǎng)采集到的光斑圖像復(fù)原效果顯示，光斑邊緣變得清晰，這時(shí)再利用細(xì)分定位算法計(jì)算光斑位置，可以獲得較高精度。

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Application of improved blind deconvolution technology in long-ranged laser spot image restoration

SUN Hong-hai1，2*，LIU Yan-ying2
（1.Key Laboratory of Airborne Optical Imaging and Measurement，Changchun Institute of Optics，F(xiàn)ine Mechanics and Physics，Chinese Academy of Sciences，Changchun 130033，China；2.Changchun Institute of Optics，F(xiàn)ine Mechanics and Physics，Chinese Academy of Sciences，Changchun 130033，China）
*Corresponding author，E-mail：shh426@gmail.com

To improve the precision of long-ranged laser spot positionmeasurement in an outdoor experiment，blind deconvolution technology was proposed to restore the spot image afterwards to lower the impact of atmospheric turbulence on spot imaging.First，classical blind deconvolution algorithms were introduced，of which the shortage is analyzed.Second，an improved blind deconvolution algorithm was designed.The penalty terms were added to TV（Total Variation）objective function and the alternative iterativemethod was also redesigned. Then，the convergence of the improved method was testified mathematically.Finally，the improved methodwas compared with other classicalmethods by experimental simulation.The capability of improvedmethod was testified with several objective figures，and the results show that the Signal to Noise Ratio（SNR）is improved by 15%at least.The restoration result of outdoor experiment proves that the improved method is effective.

image restoration；blind deconvolution；Total Variation（TV）algorithm；atmospheric turbulence；laser spot

TP391.4

A

10.3788/CO.20130606.0868

孫宏海（1980—），男，吉林長(zhǎng)春人，博士，副研究員，主要從事數(shù)字圖像處理和高速成像與實(shí)時(shí)處理系統(tǒng)方面的研究。E-mail：shh426@gmail.com

劉艷瀅（1965—），女，吉林長(zhǎng)春人，碩士生導(dǎo)師，研究員，主要從事數(shù)字圖像處理方面的研究。E-mail：liuyy@ciomp.ac.cn

1674-2915（2013）06-0868-08

2013-09-10；

2013-11-16

國(guó)家高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃（863計(jì)劃）資助項(xiàng)目（No.2012AA7031010B）；吉林省重大科技攻關(guān)資助項(xiàng)目（No.11ZDGG001）