劉 軍，李 娜，劉 鵬

(1.武漢工程大學計算機科學與工程學院，湖北 武漢 430205;2.武漢工程大學智能機器人湖北省重點實驗室，湖北 武漢 430205)/

0 引 言

攝像機標定是指建立攝像機幾何成像模型，描述空間坐標系中的景物點同它在圖像平面上的像點之間的對應關系，并求取該模型的各參數(shù)的過程[1].在雙目立體視覺系統(tǒng)中，要精確地從二維圖像中獲取三維信息，準確地得到三維圖像點與相應的圖像像素點之間的對應關系，攝像機標定是至關重要的，同時精確求取攝像機的內(nèi)外參數(shù)以及畸變系數(shù)不僅可以在三維恢復系統(tǒng)中提高精度，而且可以為后續(xù)的校正和特征匹配奠定良好的基礎.

隨著計算機視覺的發(fā)展，國內(nèi)外學者進行了大量的研究，也相應的提出了不同的攝像機標定方法，攝像機標定方法大體可以分為傳統(tǒng)的攝像機標定方法和攝像機自標定方法.傳統(tǒng)的攝像機標定方法需要精度很高的標定參照物，即在確定的攝像機模型下，通過拍攝已知尺寸、形狀的標定物來進行標定，再經(jīng)過一系列的數(shù)學變換和計算方法來計算其內(nèi)外參數(shù)，典型的張正友平面標定法[2]；而自標定方法是利用攝像機在拍攝過程中周圍環(huán)境約束與圖像位置約束之間的對應關系來求取攝像機模型的內(nèi)參數(shù)，自1992年Hartley[3]和Faugeras[4]首次提出自標定思想以來，其已經(jīng)成為了計算機視覺研究的熱點問題.

以射影幾何為基礎，根據(jù)其消失點的重要性質，大量學者提出了一系列的攝像機標定方法，如Liu Ying 等人提出了基于共面消失點的攝像機標定方法[5-6]，該方法要求制作精確定位的點陣模板；吳剛等人也根據(jù)射影幾何模型的相關性質提出了不同的攝像機標定方法，射影幾何中的調(diào)和共軛理論高精度的求出消失點，并結合消失點對攝像機內(nèi)參數(shù)的約束，給出了一種基于正方形模板的攝像機內(nèi)參數(shù)求取方法[7]，但該方法并未考慮鏡頭的畸變以及系數(shù)的全局優(yōu)化問題，影響實際的實驗精度.此外，以上方法大都進行的單目標定，而本文在研究了這一系列方法的基礎上，提出了一種改進的雙目視覺攝像機立體標定方法，根據(jù)射影幾何模型為基礎來建立攝像機的標定模型，利用消失點的重要性質，以正方形投影區(qū)域進行角點提取，確定角點坐標，結合張正友標定方法，初步求解出攝像機內(nèi)參數(shù)，通過計算空間中的景物點在左右攝像機成像平面上的位置關系，計算出雙目視覺系統(tǒng)中兩個攝像機之間的旋轉矩陣R和平移向量T，從而實現(xiàn)了立體標定，并利用非線性優(yōu)化方法對參數(shù)進行全局優(yōu)化.

1 攝像機成像模型

在立體標定時，多采用針孔攝像機模型，根據(jù)射影幾何中B雙空間幾何模型的相關性質定義了相應的攝像機標定模型，假設在三維歐氏空間中定義坐標系F(Oc，Xc，Yc，Zc)為攝像機參考坐標系，其中點Oc為攝像機的光心，軸X與軸Y分別與圖像平面的橫縱軸平行.用F系下的一個齊次向量π(πx，πy，πz)表示一個平面，對平面有如下限定：如果平面沒有穿過攝像機光心Oc，那么可以用一個三維向量ω(ωx，ωy，ωz)來表示該平面，并且滿足關系〈ω，X〉=1，其中X=[X，Y，Z]，對平面滿足解析表達式：

πxX+πyY+πzZ+πt=0

(1)

(2)

由此可進一步推導出ω與π的關系式：

(3)

(4)

圖1 標定模型圖Fig.1 Calibration model diagram

根據(jù)射影幾何的性質[7-8]：兩條平行直線在無窮遠處有一個交點，且一條直線上只有一個無窮遠點，所有的一組平行線共有一個無窮遠點，在本文中稱該無窮點在圖像平面上的投影點為消失點，并且消失點與攝像機光心的連線與此消失點所在的空間平面平行.根據(jù)此性質與射影幾何的交比性質結合，提出一種計算攝像機內(nèi)參數(shù)矩陣的改進方法.

2 改進的攝像機內(nèi)參數(shù)求解算法

由于本文中提出的標定方法是基于正方形區(qū)域的參數(shù)計算[7]，因此在利用該方法計算攝像機內(nèi)參數(shù)時，需要在圖像平面上找到一個正方形投影區(qū)域，投影后會相應的更新攝像機圖像坐標系和空間坐標系下的角點坐標值.如圖2所示，記一個平面上正方形區(qū)域的4個頂點分別為A、B、C、D，各自的投影點分別為：A1，B1，C1，D1，記A1B1所在的直線為α1，B1C1所在的直線為α2，A1D1所在的直線為α3，C1D1所在的直線為α4，對應向量分別為φ1，φ2，φ3，φ4；v1，v2，v3，v4分別為直線α1，α2，α3，α4的消失點.

圖2 正方形投影區(qū)域中點線的關系Fig.2 Square projection area between the midpoint of the line

由此假設空間中一對正交的平行線，P1，P2為各自的無窮點，p1，p2為相應的消失點，則由正方形投影中點線的關系有：

(5)

(6)

(7)

令Q=N-TN-1，結合式(4)將其展開后有：

Q=N-TN-1=

(8)

由分析可知Q是一個包含未知變量的對稱矩陣，因此可以定義向量Q=[Q1Q2Q3Q4Q5Q6]T，同時設v1，v2，v3，v4的坐標分別為(uv1，vv1)，(uv2，vv2)，(uv3，vv3)，(uv4，vv4)，則聯(lián)合式(7)、(8)有：

(9)

在實驗中同時獲得了兩幅以上的圖像，假設從不同的位置拍攝了N幅圖像，則需要建立N組類似式(9)的方程：XQ=0，其中X是2N×6的矩陣，且由于每一個消失點的坐標可以利用相應的射影幾何關系進行計算，則可以很容易計算出矩陣X；當N≥3時，利用最小二乘法可求解向量Q，從而得到攝像機的內(nèi)參數(shù)如下：

3 算法的實現(xiàn)

先利用射影幾何消失點與交比的性質求出攝像機的內(nèi)參數(shù)，然后結合張正友標定法與Brown方法求解出其外參數(shù)，并利用非線性優(yōu)化方法對參數(shù)進行全局優(yōu)化計算，從而得到最終精確的標定參數(shù)，具體完整的標定實現(xiàn)過程如下.

3.1 圖像采集及角點提取

采用黑白棋盤格圖像為9×7的方格圖作為標定板，每個方格的大小為27 mm×27 mm，固定并在不同的角度拍攝一系列圖片，一般而言，拍攝的圖片數(shù)量越多，其精度就相對較高，但所需時間也較長，就此本文中分別對左右攝像機采集了10幅圖像.在進行角點提取時，由于使用傳統(tǒng)的角點檢測算法在全部圖像范圍內(nèi)進行檢測，會存在較大的誤差，降低檢測精度；因此，本文為了避免這個問題，選取圖像區(qū)域為7×5的方格作為角點的檢測區(qū)域，再在這個區(qū)域內(nèi)采用harris算法進行角點檢測.符合本文改進的計算攝像機內(nèi)參數(shù)的求解方法中以正方形投影區(qū)域進行計算，因此在實驗中以選取的7×5方格區(qū)域左上角作為原點，對每一幅棋盤格圖建立角點的空間坐標系，同時確定每一個提取出的角點圖像坐標值.

3.2 計算攝像機內(nèi)參數(shù)及畸變系數(shù)

提取出角點后，利用前面所述的攝像機內(nèi)參數(shù)求解方法進行相應的求解.由于在標定過程中，鏡頭存在畸變等因素會影響標定的精度[9]，因此在本文中考慮了橫向畸變和徑向畸變，利用文獻[10]的畸變模型，將提取出的角點空間坐標和相應的圖像坐標進行運算，利用最小二乘法優(yōu)化，從而得到畸變系數(shù).最后利用Levenberg-Marquardt算法對所求解的內(nèi)外參數(shù)進行全局非線性優(yōu)化，得到最終的內(nèi)外參數(shù).

3.3 求解旋轉矩陣R和平移矩陣T

對雙目攝像頭標定不僅要得出每個攝像機的內(nèi)部參數(shù)，還需要通過標定來測量兩個攝像機之間的相對位置(即右攝像頭相對于左攝像頭的三維平移向量T和旋轉矩陣R).在空間中給定任一點P，假設點P在世界坐標系、左攝像機C1坐標系和右攝像機C2坐標系下的非齊次坐標分別為Xw，Xc1，Xc2，則三者滿足以下關系式：

(10)

其中R1，R2分別為左右攝像機與世界坐標系的旋轉矩陣，R，T2分別為左右攝像機與世界坐標系的平移向量，這4個變量可以通過前述方法進行計算出來.又由于在左右攝像機坐標系中Xc1，Xc2都表示點P的坐標，因此由式(10)可得Xc1，Xc2滿足：

Xc1=R1R2-1Xc2+T1-R1R2-1T2

(11)

若令R=R1R2-1，T=T1-R1R2-1T2，則左右攝像機之間的旋轉矩陣R和平移向量T就可以通過這樣的方式計算出來.

4 實驗結果及分析

為了驗證算法的有效性， 實驗中將左右攝像機各采集的10幅圖像，分別采用上述標定方法進行立體標定，標定結果如式(11)及表1所示.

(12)

表1 本文實驗標定結果

結果分析：圖3是采用本文改進的角點檢測方法進行檢測的結果，圖4顯示了具體檢測到的每個角點，從圖3及圖4中可以看出檢測出的角點就是在實驗所需要的全部角點信息，運用本文提供的內(nèi)參數(shù)求解算法可以得到相關參數(shù).由實驗結果可以看出，旋轉矩陣R基本接近單位矩陣，同時結合圖5顯示的左右攝像機與棋盤格標定板的位置關系可以得出左右攝像機的位置基本是前向平行的，另實驗中左右攝像機的實際距離是205 mm，而由實驗所得的平移向量T中兩相機的距離為201.308 55 mm，兩者比較接近；實驗結果總體符合實驗要求，標定結果達到了一定的精度，但在標定的過程中畸變?nèi)匀粚Y果有些影響，在后續(xù)的實驗中還需進一步優(yōu)化，提高實驗的精確度.

圖3 角點檢測結果Fig.3 Corner detection results

圖4 具體的角點檢測細節(jié)Fig.4 Specific details of corner detection

圖5 雙攝像頭與標定棋盤間的位置關系Fig.5 Dual cameras and calibration positional relationship between the board

5 結 語

以射影幾何模型為基礎，結合消失點的一些重要性質，在進行單目標定的基礎上，提出了上述雙目攝像機內(nèi)參數(shù)求取新方法，同時在該方法中對角點的提取也做了相應的改進，充分利用了圖像的點、線、面固有的性質，結合張正友標定方法的靈活性，使該方法在實驗中實現(xiàn)起來簡單方便，并能取得較高的精度，為后續(xù)進行立體校正與匹配奠定了基礎.

致 謝

本研究工作得到了湖北省教育廳青年人才項目、武漢工程大學科學研究基金項目及武漢工程大學研究生教育創(chuàng)新基金項目的資助，在此表示衷心的感謝.

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