譚 成，張克平

(甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院，甘肅蘭州 730070)

顆粒流體數(shù)學(xué)模型研究進(jìn)展

譚 成，張克平

(甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)工學(xué)院，甘肅蘭州 730070)

顆粒流廣泛存在于工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)過程中，分析顆粒體系的流體動(dòng)力學(xué)特征越來越受到眾多科研工作者的關(guān)注，但是人們對(duì)于其機(jī)理認(rèn)識(shí)的還不深入。介紹了描述顆粒流動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，深入分析了各個(gè)模型的適用范圍和優(yōu)缺點(diǎn)，探討了目前存在的問題和今后研究的重點(diǎn)。

顆粒流；數(shù)值模擬；數(shù)學(xué)模型；兩相流

在自然環(huán)境中，以顆粒狀態(tài)存在的物質(zhì)非常之多。所謂“顆粒流”，是指顆粒在其內(nèi)應(yīng)力和所受到的外力的共同作用下發(fā)生的類似流體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)[1-2]。在食品、生物制藥等很多工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)領(lǐng)域都會(huì)遇到顆粒流問題，但人們一直對(duì)顆粒流方面的知識(shí)尤其是它的機(jī)理認(rèn)識(shí)不夠深入。據(jù)相關(guān)部門統(tǒng)計(jì)，在相關(guān)的工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)部門中，單憑輸送顆粒材料所遭遇的問題，在工農(nóng)業(yè)設(shè)備利用能力方面造成的浪費(fèi)就已經(jīng)達(dá)到40%左右，與節(jié)約能源和優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)要求相差甚遠(yuǎn)[3]。顆粒流是一個(gè)復(fù)雜的多相體系，研究者大多將其視為兩相流來研究。在20世紀(jì)之前，就有相關(guān)科研工作者展開了對(duì)溝渠中泥沙的顆粒兩相流的研究[4]。但是真正對(duì)顆粒流系統(tǒng)展開理論研究，是從20世紀(jì)40年代末開始。近些年來，研究工作者們根據(jù)不同的假設(shè)以及觀點(diǎn)建立了不同的顆粒流動(dòng)的數(shù)學(xué)模型。主要?dú)w結(jié)為2類觀點(diǎn)：一是把顆粒群體看作離散體系，把流體看作連續(xù)介質(zhì)；二是把顆粒群體看作擬流體，把流體看作連續(xù)介質(zhì)，假設(shè)顆粒群體在空間上有連續(xù)的速度場(chǎng)和溫度場(chǎng)分布，即連續(xù)介質(zhì)模型、離散顆粒模型和流體擬顆粒模型。

本研究綜述了顆粒流動(dòng)兩相流的3種數(shù)學(xué)模型，分析了各個(gè)模型的適用范圍和特點(diǎn)，并對(duì)其進(jìn)行展望。

1 連續(xù)介質(zhì)模型

1.1連續(xù)介質(zhì)模型定義及常見的3種數(shù)學(xué)表達(dá)式

在對(duì)顆粒兩相流進(jìn)行研究的過程中，很多研究工作者把離散的顆粒相看成是擬流體，擬流體與真實(shí)流體在同一時(shí)間充滿同一個(gè)空間，這就是連續(xù)介質(zhì)模型。

連續(xù)介質(zhì)模型主要包括3種：塑性模型﹑黏性流動(dòng)模型﹑勢(shì)流模型。塑性模型主要由2個(gè)內(nèi)容組成，一是屈服函數(shù)，二是流動(dòng)判據(jù)。

在Mohr-Coulomb條件下屈服條件的數(shù)學(xué)表達(dá)式如式(1)所示。

|τn|=c+σntanΦ。

(1)

式中：σn為單位黏聚力；Φ為內(nèi)摩擦角。

黏性流動(dòng)模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式如式(2)所示。

div(εsρsvΦ-εsμsgradΦ)=-εsgradPs-εsρsg+F。

(2)

式中：μs為固體顆粒黏度；F為除重力以外的其他作用力。

勢(shì)流模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式可分別由連續(xù)方程和動(dòng)量方程表示，表達(dá)式如式(3)和式(4)所示。

連續(xù)方程：

div(ρsv)=s；

(3)

動(dòng)量方程：

div(-ρsgradψs)=s。

(4)

1.2連續(xù)介質(zhì)模型的特點(diǎn)

CFD軟件是計(jì)算流體力學(xué)軟件的簡(jiǎn)稱，是基于流體控制方程對(duì)流體問題模型求解，用來進(jìn)行流場(chǎng)分析、計(jì)算、預(yù)測(cè)的專用工具，隨著計(jì)算機(jī)硬件技術(shù)的飛速發(fā)展，已逐漸作為一種新手段受到重視。近幾十年來CFD軟件得到了蓬勃的發(fā)展[5-7]，在顆粒兩相流的研究成果上有很多。而在一般情況下，顆粒單相流動(dòng)的方程形式恰恰與顆粒兩相流動(dòng)的方程形式差別不是很大，因而可借助CFD對(duì)顆粒兩相流的研究成果。另外，在連續(xù)介質(zhì)模型的數(shù)學(xué)方程中，用“場(chǎng)”來表示固相方程，使得研究工作者可以很方便地運(yùn)用高等數(shù)學(xué)中的微積分方法來求解固相方程[8]。

連續(xù)介質(zhì)模型的缺點(diǎn)如下：首先，該模型沒有把顆粒的直徑、顆粒的形態(tài)、顆粒的大小、顆粒的分布等因素對(duì)顆粒的影響考慮在內(nèi)；其次，該模型的基本假設(shè)是連續(xù)性假設(shè)，即假設(shè)離散在流體中的顆粒是充滿整個(gè)空間并且完全沒有空隙的流體。然而，在實(shí)際工況中，當(dāng)流體中的顆粒濃度相對(duì)較低或者存在不均勻分布這一特點(diǎn)時(shí)，顯然該模型的基本假設(shè)是不成立的[9]。

1.3連續(xù)介質(zhì)模型的分類及其應(yīng)用發(fā)展

宏觀上連續(xù)介質(zhì)模型可以分成2種：一是通過對(duì)非連續(xù)的顆粒相平均處理來研究顆粒相群體的平均行為，解決的方法跟單相流動(dòng)相似，都是利用各種實(shí)驗(yàn)結(jié)果﹑已知的經(jīng)驗(yàn)公式將偏微分方程組封閉，然后再進(jìn)行求解；二是把顆粒流體系統(tǒng)分為不同的連續(xù)介質(zhì)，然后通過引入不同連續(xù)介質(zhì)之間的相互作用建立數(shù)學(xué)模型。例如：在流態(tài)化研究中，科研工作者使用Davidson氣泡模型[10]。該模型把顆粒流體系統(tǒng)分為乳化顆粒連續(xù)介質(zhì)和氣泡連續(xù)介質(zhì)，乳化顆粒連續(xù)介質(zhì)和氣泡連續(xù)介質(zhì)兩者間是相互獨(dú)立的，互相不包含彼此，氣泡往上運(yùn)動(dòng)，乳化顆粒向兩邊運(yùn)動(dòng)，通過這兩者之間的相互作用建立數(shù)學(xué)模型。

連續(xù)介質(zhì)模型具體可細(xì)分為3種，分別是擴(kuò)散模型﹑單流體模型﹑雙(多)流體模型，其中雙流體模型包括小滑移雙流體模型和完整的有滑移-擴(kuò)散的雙流體模型[11]。

1.4連續(xù)介質(zhì)模型的應(yīng)用發(fā)展

基于上述的優(yōu)點(diǎn)，GIDASPOW等在運(yùn)用該模型對(duì)氣固流態(tài)化進(jìn)行模擬的研究中，獲得了較有影響的研究成果[12-14]?；谇笆龅娜秉c(diǎn)，該模型產(chǎn)生的誤差較大，模擬精度不高，適用范圍有局限，所以該模型仍然處于一個(gè)發(fā)展的初期。

2 離散顆粒模型及其特點(diǎn)、應(yīng)用

2.1離散顆粒模型

離散顆粒模型是把顆粒當(dāng)作離散體系，在拉格朗日坐標(biāo)系中，對(duì)顆粒與顆粒﹑流體與顆粒之間的相互作用力分別列出運(yùn)動(dòng)方程，直接模擬顆粒與顆粒之間的碰撞過程。對(duì)顆粒與顆粒之間的碰撞存在2種假設(shè)，一是硬球模型，二是軟球模型。

2.1.1 硬球模型

硬球模型假設(shè)顆粒與顆粒之間的碰撞是瞬時(shí)的，碰撞的過程中顆粒本身不會(huì)產(chǎn)生明顯的塑性變形，3個(gè)以上的顆粒同時(shí)碰撞不作考慮，僅考慮2個(gè)顆粒的瞬時(shí)碰撞。該模型能跟蹤所有顆粒，然而由于該模型假設(shè)顆粒間的碰撞是瞬時(shí)碰撞，所以不能對(duì)靜態(tài)系統(tǒng)模擬。另外，在大顆粒系統(tǒng)中，該模型選取的各個(gè)參數(shù)是真實(shí)值，其推導(dǎo)的公式具有合理的理論基礎(chǔ)，但是模擬系統(tǒng)的顆粒數(shù)目不能太多。

針對(duì)模擬系統(tǒng)的顆粒數(shù)目不能太多這一缺點(diǎn)，TSUJI曾使用硬球模型與Monte-Carlo相結(jié)合的方法，對(duì)大規(guī)模顆粒構(gòu)成的氣固兩相流動(dòng)進(jìn)行了數(shù)值模擬。但是，在固相濃度較大時(shí)，顆粒間的碰撞率小于1的條件以及顆粒與顆粒之間的碰撞是瞬時(shí)的這個(gè)假設(shè)都將不能滿足。因此，硬球模型主要適用于顆粒相濃度低、顆粒流相對(duì)比較快的顆粒流中。

2.1.2 軟球模型

與硬球模型相比，軟球模型假設(shè)顆粒與顆粒之間的碰撞不是瞬時(shí)的，可以持續(xù)一段時(shí)間，把3個(gè)以上的顆粒同時(shí)碰撞也放在考慮范圍之內(nèi)，因此軟球模型適用范圍比較廣。另外，軟球模型可以跟蹤顆粒流場(chǎng)中的所有顆粒，所以它能夠相對(duì)比較準(zhǔn)確地描述顆粒碰撞接觸過程中產(chǎn)生的碰撞力。

但是，軟球模型的計(jì)算工作量大，因此模擬顆粒的直徑、數(shù)量等這參數(shù)將受到嚴(yán)格限制，與實(shí)際規(guī)模的數(shù)值模擬相比具有較大差距。從現(xiàn)實(shí)的狀況來看，目前該模型的應(yīng)用成果仍局限于裝置規(guī)模小、直徑相對(duì)比較大的顆粒、時(shí)間周期短的模擬。

2.2離散顆粒模型的特點(diǎn)及其應(yīng)用發(fā)展

離散顆粒模型能相對(duì)比較準(zhǔn)確地描述顆粒兩相流的實(shí)際運(yùn)動(dòng)原理，而且由碰撞模型理論所得到的顆粒兩相流方程很好求解。不足的是，離散顆粒模型在建立模擬碰撞方程時(shí)，所得到的顆粒運(yùn)動(dòng)方程與顆粒數(shù)同樣多，這就造成了計(jì)算工作量大，模擬真實(shí)流場(chǎng)的精度不高；另外數(shù)值模擬迭代次數(shù)大，易出現(xiàn)收斂問題。

為了克服計(jì)算工作量大的缺點(diǎn)，YONEMURA的直接模擬Mmonte-Carlo法引入了碰撞幾率的概念，認(rèn)為顆粒間的碰撞由碰撞幾率而不是顆粒的運(yùn)動(dòng)軌跡所決定[15]。這種降低計(jì)算量的簡(jiǎn)化處理方法使得軌道模型不再完全跟蹤所有顆粒的運(yùn)動(dòng)，在一定程度上淹沒了離散顆粒模型的跟蹤運(yùn)動(dòng)的優(yōu)點(diǎn)。

3 流體擬顆粒模型

3.1流體擬顆粒模型的提出背景

在使用連續(xù)介質(zhì)模型的過程中，科研工作者們所采用的微元，雖然它們的內(nèi)部結(jié)構(gòu)相對(duì)比較豐富，但這些微元不是完全處于近平衡狀態(tài)，這時(shí)簡(jiǎn)單的本構(gòu)關(guān)系就不再適用。另外，由于人們對(duì)多尺度結(jié)構(gòu)的形成和相互作用的機(jī)理知之甚少，所以很不合理也很無可奈何地舍去了其中的一些差別影響，主要從現(xiàn)象的描述入手，用那些可靠性和適用范圍均有局限性的經(jīng)驗(yàn)和理論來估計(jì)修正結(jié)構(gòu)的影響。在沒有系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)情況下，各種龐雜的修正之間容易產(chǎn)生相互沖突甚至?xí)霈F(xiàn)違背基本原理的情況。

當(dāng)然目前也有一些模型，如Davidson鼓泡模型[16]﹑環(huán)核結(jié)構(gòu)模型[17]和EMMS模型[18]等已經(jīng)考慮不均勻結(jié)構(gòu)和間斷性的存在，但它們都結(jié)合了具體系統(tǒng)的特性，對(duì)結(jié)構(gòu)設(shè)定了先驗(yàn)的輪廓，而且只是對(duì)系統(tǒng)中典型的整體和時(shí)均行為的描述，因而還是相當(dāng)粗略的，難以系統(tǒng)地改進(jìn)微元模型。

3.2流體擬顆粒模型的核心思想

為了能準(zhǔn)確地模擬顆粒流體系統(tǒng)在連續(xù)介質(zhì)尺度上的行為，必須從更小的尺度上模擬顆粒及其周圍流體的運(yùn)動(dòng)?；诖?，研究者提出了流體擬顆粒模型[19]。該模型把顆粒當(dāng)作離散相，將氣體當(dāng)成離散的氣體“顆粒”微團(tuán)，通過模擬氣體“顆粒”與真實(shí)固體顆粒之間的碰撞等相互作用，來描述研究對(duì)象，從而精確把握顆粒兩相流動(dòng)中的一些宏觀現(xiàn)象和微觀特性。

3.3流體擬顆粒模型模擬中的一些限制

在開展用擬顆粒模型來模擬顆粒兩相流的研究中，為了保證復(fù)現(xiàn)所需的現(xiàn)象，一般顆粒與擬顆粒間應(yīng)有相對(duì)比較大的尺度差別。擬顆粒模擬可借鑒MD模擬中的刻畫準(zhǔn)則，即用Knudson數(shù)Kn=λ/D

3.4流體擬顆粒模型的應(yīng)用發(fā)展

擬顆粒模型目前發(fā)展還不成熟，對(duì)顆粒兩相流的數(shù)值模擬還局限于理想狀況，如利用擬顆粒模型對(duì)二維單圓柱繞流的模擬。在該模擬中，其精確結(jié)果僅限于2種極限情況：一是雷諾數(shù)無限接近于0；二是流體體積份額無限接近于1[21]。另外，葛蔚等針對(duì)流體擬顆粒模型計(jì)算量大的缺點(diǎn)，提出了采用加權(quán)平均和有限差分等手段，將粒子間作用提升到符合N-S方程的流體微元尺度的宏觀擬顆粒模擬，能初步應(yīng)用于實(shí)際問題的求解[22]。

事實(shí)上，流體擬顆粒模型對(duì)實(shí)際顆粒兩相流的模擬終究過于微觀，因此有關(guān)科研工作者試圖以類似SPH中所采用的流體微元間作用代替粒子間的碰撞，以擴(kuò)散擬顆粒模擬，稱之為宏觀擬顆粒模擬[23]。這方面的工作仍處在探索中。

4 結(jié) 語

描述了顆粒兩相流動(dòng)的3種數(shù)學(xué)模型，分析了這3種數(shù)學(xué)模型的運(yùn)用范圍和特點(diǎn)，并對(duì)其進(jìn)行了展望。認(rèn)為連續(xù)介質(zhì)模型目前存在的關(guān)鍵問題是用什么方法對(duì)顆粒相方程進(jìn)行封閉﹑校正，離散顆粒模型目前存在的關(guān)鍵問題是如何解決計(jì)算時(shí)間過長(zhǎng)以及建立顆粒與顆粒之間比較準(zhǔn)確的碰撞模型。對(duì)流體擬顆粒模型的進(jìn)一步深入研究，可以為連續(xù)介質(zhì)模型方程中同相之間﹑不同相之間作用力的封閉問題提供理論指導(dǎo)。

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Research advance in granular flow mathematical model

TAN Cheng, ZHANG Keping

(School of Engineering, Gansu Agricultural University, Lanzhou Gansu 730070，China)

Granular flow exists widely in the production process of industry and agriculture. Scientists pay more and more attention to the analysis of fluid dynamic features of particles, but the mechanism is not well understood yet. The mathematical model of granular flow is introduced, and the scope of application, the advantages as well as the shortcomings of various models are analyzed. The existing problem and the key points to be studied in the future are discussed.

granular flow; numerical simulation; mathematical model; two-phase flow

1008-1542(2013)04-0293-04

10.7535/hbkd.2013yx04006

TQ018

A

2013-04-03；

2013-05-05；責(zé)任編輯：馮 民

國(guó)家自然科學(xué)基金(51265001)；甘肅農(nóng)業(yè)大學(xué)伏羲青年英才培養(yǎng)計(jì)劃

譚 成(1988-)，男，江蘇鹽城人，碩士研究生，主要從事農(nóng)產(chǎn)品加工機(jī)械方面的研究。

張克平博士。E-mail：zhangkp@gsau.edu.cn