張晶晶，程鵬飛，蔡艷輝，沈 楠

（中國(guó)測(cè)繪科學(xué)研究院，北京 100039）

一、引 言

整周模糊度的固定問(wèn)題一直是GNSS精密定位和實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)定位的關(guān)鍵，也是網(wǎng)絡(luò)RTK動(dòng)態(tài)定位的關(guān)鍵［1-2］。國(guó)內(nèi)外學(xué)者在整周模糊度的確定方面作了很多研究。目前，使用最多、理論最成熟的是LAMBDA方法（最小二乘模糊度降相關(guān)方法）。P J G Teunissen在1993年提出了LAMBDA方法，之后他就LAMBDA方法的整數(shù)降相關(guān)、搜索策略、模糊度搜索成功率，以及模糊度固定理論等方面作了深入完整的研究［3-4］。LAMBDA方法固定整周模糊度的步驟主要分為整數(shù)降相關(guān)和整周模糊度的搜索。De Dong等對(duì)LAMBDA方法的具體實(shí)現(xiàn)給出了詳細(xì)的說(shuō)明［5］。而后的學(xué)者不斷發(fā)展和改進(jìn)了LAMBDA方法:一部分學(xué)者對(duì)LAMBDA方法的整數(shù)降相關(guān)技術(shù)進(jìn)行了改進(jìn)；還有一部分學(xué)者改進(jìn)了LAMBDA方法中模糊度的搜索策略［6-7］。X Yang等提出了同時(shí)改進(jìn)整數(shù)降相關(guān)技術(shù)和整周模糊度搜索技術(shù)的改進(jìn) LAMBDA 方法 （MLAMBDA）［8］。MLAMBDA 方法降低了計(jì)算機(jī)計(jì)算復(fù)雜度，用時(shí)更少，適用于高維模糊度固定的方法。

但是，LAMBDA方法及后來(lái)改進(jìn)的各種LAMBDA方法都是以整數(shù)矩陣降相關(guān)為基礎(chǔ)的，而整數(shù)降相關(guān)只能使得方差陣更加對(duì)角化，不能保證對(duì)角線(xiàn)元素在一個(gè)量級(jí)，從而不能保證搜索的區(qū)域接近球形，顯然不是理想狀態(tài)。而實(shí)數(shù)矩陣作為轉(zhuǎn)換矩陣時(shí)的優(yōu)勢(shì)是:只要設(shè)定要達(dá)到的理想狀態(tài)，都可以通過(guò)實(shí)數(shù)轉(zhuǎn)換矩陣達(dá)到，而且過(guò)程是可逆的。因此，EES方法采用實(shí)數(shù)矩陣進(jìn)行降相關(guān)，從而進(jìn)行整周模糊度的確定。

二、EES固定整周模糊度的原理

參數(shù)之間的方差-協(xié)方差矩陣決定了一個(gè)誤差橢圓，誤差橢圓長(zhǎng)軸的指向和誤差橢圓的大小決定了模糊度備選項(xiàng)的分布，進(jìn)行模糊度搜索時(shí)最理想的情況就是使誤差橢圓既可以包含模糊度的正確值，同時(shí)可以減少搜索次數(shù)和搜索中斷次數(shù)，以最小的范圍找到正確的整周模糊度。一般原始的誤差橢圓并不具有這些優(yōu)良的性質(zhì)，可以通過(guò)實(shí)數(shù)矩陣變換，將原來(lái)參數(shù)之間的誤差橢圓轉(zhuǎn)換到理想的誤差橢圓，以縮小搜索范圍、提高搜索的成功率。

1.方差-協(xié)方差矩陣決定的最佳誤差橢圓

假設(shè)模糊度實(shí)數(shù)解之間的方差-協(xié)方差矩陣如下

根據(jù)Qa，計(jì)算誤差橢圓的要素［9］:

誤差橢圓的長(zhǎng)半軸

誤差橢圓的短半軸

誤差橢圓的長(zhǎng)軸指向

假設(shè)x0、y0是模糊度的實(shí)數(shù)解，為了方便書(shū)寫(xiě)，設(shè)誤差橢圓的長(zhǎng)軸指向偏離X軸角度為α（φE=α），那么原始坐標(biāo)系下誤差橢圓的一般方程為

那么誤差橢圓上任意一點(diǎn)的斜率為

則這個(gè)橢圓的外切矩形的長(zhǎng)和寬為

為了減少搜索范圍，需要橢圓兩條0°切線(xiàn)之間的距離與兩條90°切線(xiàn)之間的距離近似相等，此時(shí)橢圓的外切四邊形是正方形。這樣一來(lái)就不會(huì)出現(xiàn)某個(gè)方向的備選項(xiàng)很多，備選項(xiàng)在各個(gè)方向的分布比較均勻，縮小了搜索空間。

因此要使誤差橢圓各個(gè)方向搜索的備選項(xiàng)大致相等，最佳誤差橢圓的長(zhǎng)軸指向應(yīng)該為45°。

2.最佳誤差橢圓的計(jì)算

令所求的最佳誤差橢圓的方差-協(xié)方差矩陣為

誤差橢圓要素的計(jì)算同上一節(jié)。

所求的最佳誤差橢圓會(huì)降低模糊度之間的相關(guān)性，分析LAMBDA方法可以得到降相關(guān)之后方差協(xié)方差應(yīng)該滿(mǎn)足

那么模糊度之間的相關(guān)性因子為

在搜索過(guò)程中，設(shè)置ρ的值為（-0.5，+0.5）之間的任意一個(gè)值，則需要求的是a、b的大小。

由最佳誤差橢圓的指向可知

將QEE的計(jì)算公式代入上式，可得a=b。

至此，兩個(gè)模糊度之間的最佳誤差橢圓應(yīng)該滿(mǎn)足:兩個(gè)模糊度的方差相等（即a=b），方差之間的相關(guān)性在（-0.5，+0.5）之間。

3.最佳誤差橢圓固定整周模糊度原理

為了使三維模糊度搜索時(shí)誤差橢球近似接近球形，不出現(xiàn)某些方向過(guò)于扁長(zhǎng)，造成模糊度搜索的數(shù)量增多，最好使得Q矩陣的對(duì)角線(xiàn)元素對(duì)角線(xiàn)上的元素差不多都在一個(gè)量級(jí)，對(duì)角線(xiàn)元素之間互差不超過(guò)0.5。

三維模糊度變換時(shí)，每次兩兩之間搜索一個(gè)最佳誤差橢圓，如按照（N1，N2）、（N2，N3）、（N3，N1）的順序，會(huì)出現(xiàn)下一次的變換打破上一次變換的情況，如（N2，N3）變換完之后打破了原來(lái)（N1，N2）的變換。這種情況影響不大，等到3個(gè)模糊度都變換一輪之后，如果Q對(duì)角線(xiàn)不滿(mǎn)足互差小于0.5的要求，繼續(xù)按照上述變換順序進(jìn)行變換，直至對(duì)角線(xiàn)元素滿(mǎn)足要求。最多需要兩輪變換就能找到滿(mǎn)足要求的Q。

Q是通過(guò)原始的方差-協(xié)方差矩陣，按照最佳誤差橢圓的算法直接得到的。為了搜索整周模糊度，假設(shè)Qa到Q的整個(gè)過(guò)程是通過(guò)實(shí)數(shù)轉(zhuǎn)換矩陣K實(shí)現(xiàn)的，實(shí)數(shù)轉(zhuǎn)換矩陣K不僅完成了最佳誤差橢圓的搜索，而且還降低了模糊度之間的相關(guān)性。

由于Q、Qa都是對(duì)稱(chēng)矩陣，而且已知，都有唯一的LTL分解，所以可以很方便地求出K矩陣。

經(jīng)過(guò)實(shí)數(shù)矩陣K降相關(guān)之后，為了減少搜索時(shí)的中斷，需將Q對(duì)角線(xiàn)上的元素按照從大到小的順序排列［5］。經(jīng)過(guò)實(shí)數(shù)降相關(guān)的方差陣的對(duì)角線(xiàn)元素也要按照從大到小的順序排列，這需要單位矩陣變換IT（整數(shù)矩陣）來(lái)完成。最終轉(zhuǎn)換后的矩陣QZ為

這么做的好處是省去了整數(shù)變換過(guò)程的復(fù)雜，而且I的行列式的值就是1。

4.EES最終確定的整周模糊度

搜索到整數(shù)矩陣z之后，那么原始數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的模糊度應(yīng)該為

式中，Zamb是實(shí)數(shù)，取最接近Zamb的整數(shù)作為最終的整周模糊度。

5.EES方法有效性的評(píng)價(jià)

利用成功率［5-6］來(lái)判斷整周模糊度是否固定得準(zhǔn)確。成功率越高，搜索的整周模糊度的可信度就越高，就越接近真實(shí)的整周模糊度，成功率能反映是否提高了整數(shù)解的準(zhǔn)確性［6，10］。成功率的計(jì)算公式［6］為

三、試驗(yàn)分析

可通過(guò)試驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證EES方法是否是一種有效可行的固定整周模糊度方法。以下選擇兩條基線(xiàn)的實(shí)際觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行說(shuō)明:基線(xiàn)1（BaseLine1）數(shù)據(jù)的采樣率為30 s，基線(xiàn)長(zhǎng)度為31.749 45 m；基線(xiàn)2（BaseLine2）的采樣率為15 s，基線(xiàn)長(zhǎng)度為2433.565 m。試驗(yàn)中設(shè)定EES的相關(guān)性參數(shù)ρ為0.4、0.3、0.2這3種情況。

1.LAMBDA方法和EES方法固定模糊度成功率的比較

從試驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)和圖1、圖2可以看出:

圖1 BaseLine1使用LAMBDA方法和EES方法固定歷元的整周模糊度的成功率比較

圖2 BaseLine2使用LAMBDA方法和EES方法固定歷元的整周模糊度的成功率比較

1）對(duì)于 BaseLine1和 BaseLine2，ρ=0.4、ρ=0.3、ρ=0.2時(shí)EES方法模糊度固定的成功率都明顯高于LAMBDA方法。BaseLine1的基線(xiàn)長(zhǎng)度比較短，EES的成功率從第7個(gè)歷元開(kāi)始明顯高于LAMBDA方法，而且EES方法在18個(gè)歷元的時(shí)候成功率已經(jīng)達(dá)到1。而LAMBDA方法在第24個(gè)歷元才達(dá)到1。因此EES方法比LAMBDA方法提前搜索到正確的整周模糊度。

2）BaseLine2的長(zhǎng)度比BaseLine1長(zhǎng)很多，因此隨著基線(xiàn)長(zhǎng)度的增加，EES的優(yōu)勢(shì)體現(xiàn)得更明顯，從第4歷元開(kāi)始，EES的成功率就高于LAMBDA方法10%以上，直到第18歷元的時(shí)候，成功率提高了近30%，已經(jīng)達(dá)到了97%，而LAMBDA方法此時(shí)的成功率只有70%左右。因此EES方法搜索到正確整周模糊度需要的歷元數(shù)比LAMBDA方法少。

2.LAMBDA方法和EES方法降相關(guān)效果的比較

從圖3明顯可以看出，EES方法降相關(guān)之后的對(duì)角線(xiàn)元素的最大值與最小值的比值都在10以?xún)?nèi)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于LAMBDA方法處理的結(jié)果，說(shuō)明經(jīng)過(guò)EES處理過(guò)的對(duì)角線(xiàn)元素在一個(gè)量級(jí)，搜索空間更加接近球形。造成這種明顯差異的原因是，LAMBDA方法通過(guò)整數(shù)轉(zhuǎn)換矩陣進(jìn)行降相關(guān)，雖然可以使得方差陣更加對(duì)角化，但是并不能保證方差陣對(duì)角線(xiàn)元素在一個(gè)量級(jí)，進(jìn)而可能使得搜索的空間有些扁長(zhǎng)；而EES采用實(shí)數(shù)矩陣降相關(guān)，可以達(dá)到各種設(shè)定的理想狀態(tài)，使得降相關(guān)之后的方差陣的對(duì)角線(xiàn)元素幾乎在一個(gè)量級(jí)之上。

3.ρ取不同值對(duì)EES方法成功率的影響

從表1可以看出，只要將ρ設(shè)置在0.5以?xún)?nèi)，EES方法的成功率和固定基線(xiàn)解的精度都高于LAMBDA方法。從表1還可以看出，盡管成功率差距不是很大，但是很大程度上ρ=0.4的成功率高于ρ=0.3和ρ=0.2，因此并不是ρ越小效果越好。

圖3 LAMBDA方法和EES方法降相關(guān)效果的比較

表1 不同參數(shù)情況下EES模糊度固定成功率的比較

續(xù)表1

四、結(jié) 論

1）試驗(yàn)證明，通過(guò)實(shí)數(shù)矩陣變換的EES方法是一種切實(shí)有效的固定整周模糊度的方法。EES方法使搜索空間更加接近球形，成功率高于LAMBDA方法。而且EES方法搜索到整周模糊度所需要的歷元數(shù)少于LAMBDA方法。

2）隨著基線(xiàn)長(zhǎng)度的增加，EES方法固定整周模糊度的成功率明顯高于 LAMBDA方法，EES和LAMBDA方法固定模糊度的成功率都和觀測(cè)的時(shí)間長(zhǎng)短有關(guān)系，時(shí)間越長(zhǎng)效果越好。但EES方法達(dá)到90%以上成功率的用時(shí)更短，模糊度的固定效果會(huì)更好，搜索到正確的整周模糊度EES方法需要的歷元數(shù)更少。

3）EES方法中不同ρ值的設(shè)置對(duì)精度和成功率有影響，總體來(lái)說(shuō)只要ρ的值設(shè)置在（-0.5，+0.5）之間，基線(xiàn)的精度和模糊度固定的成功率相差不大，但是并不是ρ越小效果越好，一般取0.3～0.4。

4）LAMBDA方法雖然達(dá)到了降相關(guān)的效果，方差譜也相對(duì)平滑，但是有時(shí)對(duì)角線(xiàn)元素的數(shù)值量級(jí)相差較大，造成搜索空間某個(gè)方向有些扁長(zhǎng)；而EES方法在降相關(guān)的同時(shí)，使得對(duì)角線(xiàn)元素的數(shù)量級(jí)相差更小，幾乎是在同一量級(jí)。

目前對(duì)EES方法的研究還在低維，高維的EES方法有待進(jìn)一步的研究。

［1］ 祝會(huì)忠，劉經(jīng)南，唐衛(wèi)明，等.長(zhǎng)距離網(wǎng)絡(luò)RTK基準(zhǔn)站間整周模糊度單歷元確定方法［J］.測(cè)繪學(xué)報(bào)，2012，41（3）:359-365.

［2］ 高星偉，劉經(jīng)南，葛茂榮.網(wǎng)絡(luò)RTK基準(zhǔn)站間基線(xiàn)單歷元模糊度搜索方法［J］.測(cè)繪學(xué)報(bào)，2002，31（4）:305-309.

［3］ TEUNISSEN P J G.The Affine Constrained GNSS Attitude Model and Its Multivariate Integer Least-squares Solution［J］.Journal of Geodesy，2012，86（7）:547-563.

［4］ TEUNISSEN P J G.Least Squares Estimation of the Integer GPS Ambiguities.［C］∥Invited Lecture，Section IV Theory and Methodology，IAG General Meeting.Beijing:IAG，1993.

［5］ JONGE P P，TIBERIUS C.The LAMBDA Method for IntegerAmbiguity Estimation:Implementation Aspects［M］.Delft:Delft University of Technology，1996.

［6］ 周揚(yáng)眉.GPS精密定位的數(shù)學(xué)模型、數(shù)值算法以及可靠性理論［D］.武漢:武漢大學(xué)，2003.

［7］ 高成發(fā)，趙毅，萬(wàn)德鈞.用LAMBDA改進(jìn)算法固定GPS整周模糊度［J］.武漢大學(xué)學(xué)報(bào):信息科學(xué)版，2006，31（8）:744-747.

［8］ CHANG X W，YANG X，ZHOU T.MLAMBDA:A Modified LAMBDA Method for Integer Least-squares Estimation［J］.Journal of Geodesy，2005，79（9）:552-565.

［9］ 武漢法學(xué)測(cè)繪學(xué)院測(cè)量平差學(xué)科組.誤差理論與測(cè)量平差基礎(chǔ)［M］.武漢:武漢大學(xué)出版社，2003.

［10］ 李淑慧，劉經(jīng)南.整周模糊度搜索方法的效率比較和分析［J］.測(cè)繪通報(bào)，2003（10）:1-3.